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1、新編高考數學復習資料
第五節(jié) 指數與指數函數
考點一
指數冪的化簡與求值
[例1] 化簡：(1)(a＞0，b＞0)；
(2)－＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0.
[自主解答] (1)原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1.
(2)原式＝－＋－－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.[來源:]
【方法規(guī)律】
指數冪的運算規(guī)律
指數式的化簡求值問題，要注意與其他代數式的化簡規(guī)則相結合，遇到同底數冪相乘或相除，可依據同底數冪的運算規(guī)則進行化簡，一般情況下，宜化負指數為正指數，化根式為分數指數冪．對于化簡結果，形式力
2、求統一．
計算：(1) ÷ ；
(2)(0.027)－－－2＋－(－1)0；
(3)已知m＋m－＝4，求.
解：(1)原式＝(aa－)÷(a－a)＝(a3)÷(a2)＝a÷a＝1.
(2)原式＝－－72＋－1＝－49＋－1＝－45.
(3)∵m＋m－＝4，∴m＋m－1＋2＝16，
∴m＋m－1＝14，
∴＝＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
考點二
指數函數的圖象
[例2] (1)已知函數f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的圖象如圖所示，則函數g(x)＝ax＋b的圖象是( )
A B C
3、 D
(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點，則b的取值范圍是________．
[自主解答] (1)由已知并結合圖象可知0
4、2x－1|”，且與直線y＝b有兩個公共點，求b的取值范圍．
解：曲線y＝|2x－1|與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線y＝|2x－1|與直線y＝b有兩個公共點，則b的取值范圍是(0,1)．
【方法規(guī)律】
指數函數圖象的應用
(1)與指數函數有關的函數圖象的研究，往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．
(2)一些指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象數形結合求解．
1．若函數y＝ax＋b－1(a＞0且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，則a、b的取值范圍分別是________．
解析：因為函數y＝ax＋b－1(a＞
5、0且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，所以即
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
2．(2014·金華模擬)若直線y＝2a與函數y＝|ax－1|(a＞0，a≠1)的圖象有兩個公共點，則實數a的取值范圍為________．
解析：分底數0＜a＜1與a＞1兩種情況，分別在同一直角坐標系中作出兩函數的圖象，如圖，
圖1 圖2
從圖中可以看出，只有當0＜a＜1，且0＜2a＜1，即0＜a＜時，兩函數才有兩個交點．
所以實數a的取值范圍為.
答案：
高頻考點
考點三 指數函數的性質及應用
1．高考常以選擇題或填空題的形式考查指數函數的性質及應
6、用，難度偏小，屬中低檔題．[來源:]
2．高考對指數函數的性質的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)比較指數式的大小；
(2)解簡單的指數方程或不等式；
(3)求解指數型函數中參數的取值范圍．
[例3] (1)(2012·天津高考)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，則a，b，c的大小關系為( )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
(2)(2014·紹興模擬)設偶函數f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則{x|f(x－2)>0}＝( )
A．{x|x＜－2或x＞4} B．
7、{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
(3)(2012·山東高考)若函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值為m，且函數g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數，則a＝________.
[自主解答] (1)∵a＝21.2，b＝－0.8＝20.8，
∴a＞b＞1.
又c＝2log52＝log54＜1，∴a＞b＞c.
(2)f(x)為偶函數，
當x＜0時，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝[來源:]
當f(x－2)＞0時，
有或
解得x＞4或x＜0.
(3)g(x
8、)在[0，＋∞)上為增函數，則1－4m>0，即m<.若a>1，則函數f(x)在[－1,2]上單調遞增，最小值為＝m，最大值為a2＝4，解得a＝2，m＝，與m<矛盾；當0
9、值范圍問題．在解決涉及指數函數的單調性或最值問題時，應注意對底數a的分類討論．
1．設a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，則a，b，c的大小關系為( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：選A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2.即a＞b＞c.
2．若函數f(x)＝則不等式－≤f(x)≤的解集為( )
A．[－1,2)∪[3，＋∞) B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
C.
10、 D．(1， ]∪[3，＋∞)
解析：選B 函數f(x)＝和函數g(x)＝±的圖象如圖所示，從圖象上可以看出不等式的解集是兩個無限區(qū)間．當x<0時，是區(qū)間(－∞，－3]，當x≥0時，是區(qū)間[1，＋∞)，故不等式－≤f(x)≤的解集為(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
3.(2014·紹興模擬)設a＞0且a≠1，函數y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，則a的值為________．
解析：令t＝ax(a＞0且a≠1)，
則原函數化為y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①當0＜a＜1時，
x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此時f(t)在上為增函數．
所以f(t)ma
11、x＝f＝2－2＝14.
所以2＝16，
即a＝－或a＝.
又因為a＞0，所以a＝.
②當a＞1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈，
此時f(t)在上是增函數．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
所以(a＋1)2＝16，即a＝－5或a＝3，[來源:]
又因為a>0，所以a＝3.
綜上得a＝或a＝3.
答案：或3
—————————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————
1個關系——分數指數冪與根式的關系
根式與分數指數冪的實質是相同的，分數指數冪與根式可以互化，通常利用分數指數冪進行根式的化簡運算．
2個注意點——應用指數函數性質時應注意的兩點
(1)指數函數y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與0
新編高考數學復習：第二章 ：第五節(jié) 指數與指數函數突破熱點題型
