新版一輪優(yōu)化探究理數(shù)蘇教版練習(xí)：第七章 第四節(jié)　基本不等式 Word版含解析

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1、 1

2、 1 一、填空題 1．已知0

3、： 3．已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是________． 解析：＋＋2≥2 ＋2≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時取“＝”． 答案：4 4．不等式4x＋a·2x＋1≥0對一切x∈R恒成立，則a的取值范圍是________． 解析：由題可得a≥－－2x恒成立，由基本不等式可知－－2x≤－2，所以a≥－2. 答案：[－2，＋∞) 5．當(dāng)x2－2x<8時，函數(shù)y＝的最小值是________． 解析：由x2－2x<8，得－2

4、3z＝0，的最小值是________． 解析：由x－2y＋3z＝0，得y＝，將其代入，得≥＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時取“＝”． 答案：3 7．設(shè)a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于________． 解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b時取等號)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于－4. 答案：－4 8．已知m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，滿足條件的點(diǎn)(m，n)是圓(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中點(diǎn)，則此弦所在的直線方程為________． 解析：因(

5、s＋t)(＋)＝m＋n＋＋≥m＋n＋2， 所以m＋n＋2＝4， 從而mn＝1，得m＝n＝1，即點(diǎn)(1,1)， 而已知圓的圓心為(2,2)，所求弦的斜率為－1， 從而此弦的方程為x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 9．從等腰直角三角形紙片ABC上，剪下如圖所示的兩個正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，則這兩個正方形的面積之和的最小值為________． 解析：設(shè)兩個正方形邊長分別為a，b，則由題意可得a＋b＝1，且≤a，b≤，S＝a2＋b2≥2×()2＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號． 答案： 二、解答題 10．已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)． (1)求xy

6、的最小值； (2)求x＋y的最小值． 解析：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，得 (1)∵x>0，y>0， ∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0， 即3()2－2－1≥0， ∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立．∴xy的最小值為1. (2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2， ∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0， ∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時取等號，∴x＋y的最小值為2. 11．在銳角△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a

7、、b、c，向量m＝(2sin (A＋C)，)，n＝(cos 2B，2cos2 －1)，且向量m、n共線． (1)求角B的大??； (2)如果b＝1，求△ABC的面積S△ABC的最大值． 解析：(1)∵m∥n， ∴2sin (A＋C)(2cos2 －1)－cos 2B＝0. 又∵A＋C＝π－B， ∴2sin Bcos B＝cos 2B，即sin 2B＝cos 2B. ∴tan 2B＝，又∵△ABC是銳角三角形，∴0

8、c＝a2＋c2≥2ac，即(2－)ac≤1， ∴ac≤＝2＋，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c＝時，等號成立． ∴S△ABC＝acsin B＝ac≤. ∴△ABC的面積最大值為. 12．為了保護(hù)一件珍貴文物，博物館需要在一種無色玻璃的密封保護(hù)罩內(nèi)充入保護(hù)氣體．假設(shè)博物館需要支付的總費(fèi)用由兩部分組成：①保護(hù)罩的容積大于0.5立方米，罩內(nèi)該種氣體的體積比保護(hù)罩的容積少0.5立方米，且每立方米氣體的費(fèi)用為1千元；②需支付一定的保險(xiǎn)費(fèi)用，且支付的保險(xiǎn)費(fèi)用與保護(hù)罩容積成反比，當(dāng)容積為2立方米時，支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為8千元． (1)求博物館支付的總費(fèi)用y(單位：千元)與保護(hù)罩的容積V(單位：立方米)之間的函數(shù)關(guān)系式；

9、 (2)求博物館支付的總費(fèi)用y(單位：千元)的最小值； (3)如果要求保護(hù)罩為正四棱柱形狀，且保護(hù)罩的底面(不計(jì)厚度)正方形的邊長不得少于1.1米，高規(guī)定為2米． 當(dāng)博物館需支付的總費(fèi)用不超過8千元時，求保護(hù)罩的底面積的最小值(可能用到的數(shù)據(jù)：≈2.87，結(jié)果保留一位小數(shù))． 解析：(1)依據(jù)題意，當(dāng)保護(hù)罩的容積等于V時，需支付的保險(xiǎn)費(fèi)用為(其中k為比例系數(shù)，k>0)， 且當(dāng)V＝2時，＝8，所以k＝16， 所以y＝1·(V－0.5)＋＝V＋－0.5(V>0.5)． (2)y＝V＋－0.5≥7.5， 并且僅當(dāng)V＝，即V＝4時等號成立， 所以，博物館支付的總費(fèi)用的最小值為7.5千元． (3)設(shè)S(單位：平方米)為底面正方形的面積，由題意得不等式：V＋－0.5≤8，V＝2S， 代入整理得4S2－17S＋16≤0， 解得1.41≈≤S≤≈2.84. 又底面正方形的面積最小不得少于1.1×1.1＝1.21，所以，保護(hù)罩的底面積的最小值是1.4平方米．