2018年高考數(shù)學(xué) 熱點題型和提分秘籍 專題11 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 文
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1、 專題11 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值(最值)、結(jié)合單調(diào)性與不等式的成立情況求參數(shù)范圍是高考命題的熱點。 2.常與基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解析幾何、不等式、方程等交匯命題,主要考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用。 3.題型主要以解答題為主,屬中高檔題。 熱點題型一 判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性 例1、【2017課標(biāo)II,】若是函數(shù)的極值點,則的極小值為( ) A. B. C. D.1 【答案】A 調(diào)遞減,所以的極小值為,故選
2、A. 【變式探究】設(shè)a∈[-2,0],已知函數(shù)f(x)= 證明f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增。 【解析】設(shè)函數(shù)f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3-x2+ax(x≥0)。 ①f′1(x)=3x2-(a+5),由于a∈[-2,0], 從而當(dāng)-1<x≤0時, f′1(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0, 所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(-1,0]內(nèi)單調(diào)遞減。 【提分秘籍】導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟 (1)求f′(x); (2)確認f′(x)在(a,b)內(nèi)的符號; (3)作出結(jié)論:f′(x)>
3、0時為增函數(shù);f′(x)<0時為減函數(shù)。 【舉一反三】 已知函數(shù)f(x)=x2-ex,試判斷f(x)的單調(diào)性并給予證明。 【解析】f(x)=x2-ex,f(x)在R上單調(diào)遞減, f′(x)=2x-ex,只要證明f′(x)≤0恒成立即可。 設(shè)g(x)=f′(x)=2x-ex,則g′(x)=2-ex, 當(dāng)x=ln2時,g′(x)=0, 當(dāng)x∈(-∞,ln2)時,g′(x)>0, 當(dāng)x∈(ln2,+∞)時,g′(x)<0。 ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln2)=2ln2-2<0, ∴f′(x)<0恒成立, ∴f(x)在R上單調(diào)遞減。 熱點題型二 求函數(shù)的單
4、調(diào)區(qū)間 例2、【2017天津,】設(shè),已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點,為的導(dǎo)函數(shù). (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)設(shè),函數(shù),求證:; (Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù),使得對于任意的正整數(shù),且 滿足. 【答案】(Ⅰ)增區(qū)間是, ,遞減區(qū)間是.(Ⅱ)見解析;(III)見解析. 【解析】(Ⅰ)解:由,可得, 進而可得.令,解得,或. ,故當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;當(dāng)時, , 單調(diào)遞增.因此,當(dāng)時, ,可得. 令函數(shù),則.由(Ⅰ)知, 在上單調(diào)遞增,故當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;當(dāng)時, , 單調(diào)遞減.因此,當(dāng)時, ,可得. 所以, . (III)證明:對于任意的正整數(shù) ,,且, 令,函
5、數(shù). 【變式探究】已知函數(shù)f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。 【解析】f′(x)=x2+2x+a, 二次方程x2+2x+a=0的判別式Δ=4-4a=4(1-a),若a≥1,則Δ≤0,f′(x)=x2+2x+a≥0, ∴f(x)在R上單調(diào)遞增。 若a<1,則Δ>0,方程x2+2x+a=0有兩個不同的實數(shù)根,x1=-1-,x2=-1+, 當(dāng)x<x1或x>x2時,f′(x)>0;當(dāng)x1<x<x2時,f′(x)<0, ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1-)和(-1+,+∞), 單調(diào)遞減區(qū)間為(-1-,-1+)。 【提分秘籍】 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)
6、間的“兩個方法” 方法一 (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x); (3)解不等式f′(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間; (4)解不等式f′(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間。 方法二 (1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根; (3)把函數(shù)f(x)的間斷點(即f(x)的無定義點)的橫坐標(biāo)和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來,然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間; (4)確定f′(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)
7、在每個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。 【舉一反三】 設(shè)f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6)。 (1)確定a的值; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。 16a=8a-6,故a=。 (2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0), f′(x)=x-5+=。 令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3。 當(dāng)0<x<2或x>3時,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上為增函數(shù);當(dāng)2<x<3時,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上為減函數(shù)。 由此可知f(x)在x=2處取得極大值
8、f(2)=+6ln2,在x=3處取得極小值f(3)=2+6ln3。 熱點題型三 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍 例3.【2017課標(biāo)1,】已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)若有兩個零點,求a的取值范圍. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】(1)的定義域為, , (?。┤簦瑒t,所以在單調(diào)遞減. (ⅱ)若,則由得. 當(dāng)時, ;當(dāng)時, ,所以在單 【變式探究】函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0)。 (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù),求a的取值范圍。 【解析】(1)f′(x)=3ax2+6x+3,f′(x)=0的
9、判別式Δ=36(1-a)。 ①若a≥1,則f′(x)≥0,且f′(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)a=1,x=-1。故此時f(x)在R上是增函數(shù)。 ②由于a≠0,故當(dāng)a<1時,f′(x)=0有兩個根; x1=,x2=。 若0<a<1,則當(dāng)x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)時f′(x)>0,故f(x)分別在(-∞,x2),(x1,+∞)是增函數(shù); 數(shù); 當(dāng)x∈(x1,x2)時f′(x)>0,故f(x)在(x1,x2)是增函數(shù)。 (2)當(dāng)a>0,x>0時,f′(x)=3ax2+6x+3>0,故當(dāng)a>0時,f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)。 當(dāng)a<0時,f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f
10、′(1)≥0且f′(2)≥0,解得-≤a<0。 綜上,a的取值范圍是∪(0,+∞)。 【提分秘籍】 已知函數(shù)單調(diào)性,求參數(shù)范圍的兩個方法 (1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集。 (2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來求解:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f′(x)≤0”。 [提醒:]f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0。應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略,否則漏解。 【舉一反三】 已知函數(shù)f(x)=x3+mx2-3
11、m2x+1,m∈R。 (1)當(dāng)m=1時,求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程; (2)若f(x)在區(qū)間(-2,3)上是減函數(shù),求m的取值范圍。 【解析】(1)當(dāng)m=1時, f(x)=x3+x2-3x+1, 又f′(x)=x2+2x-3,所以f′(2)=5。 又f(2)=, 熱點題型四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 例4、【2017山東】已知函數(shù),,其中是自然對數(shù)的底數(shù). (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程; (Ⅱ)令,討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值. 【答案】(1) (2)見解析 【解析】 (Ⅰ)由題意 又, 所以, 因此 曲線在點處
12、的切線方程為 , 即 . (Ⅱ)由題意得 , 因為 , 令 則 由 得 , ①當(dāng)時, , 當(dāng)時, , 單調(diào)遞增; 當(dāng)時, , 單調(diào)遞減; 當(dāng)時, , 單調(diào)遞增. 所以 當(dāng)時取得極大值. 極大值為, 當(dāng)時取到極小值,極小值是 ; ②當(dāng)時, , 數(shù)有極大值,也有極小值, 極大值是 極小值是; 當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; 當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減,函數(shù)有極大值,也有極小值, 極大值是; 極小值是. 【變式探究】已知函數(shù)f(x)=x-1+(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù))。 (1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1
13、))處的切線平行于x軸,求a的值; (2)求函數(shù)f(x)的極值。 【提分秘籍】 求函數(shù)f(x)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域; (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x); (3)解方程f′(x)=0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根; (4)列表檢驗f′(x)在f′(x)=0的根x0左右兩側(cè)值的符號,如果左正右負,那么f(x)在x0處取極大值,如果左負右正,那么f(x)在x0處取極小值。 【舉一反三】 設(shè)f(x)=2x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′(x),若函數(shù)y=f′(x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱,且f′(1)=0。 (1)求實數(shù)a,b的值; (2)求函數(shù)f(x)的極值。 熱點
14、題型五 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值 例5、已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(a∈R)。 (1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)a>0時,求函數(shù)f(x)在[1,2]上的最小值。 【解析】(1)f′(x)=-a(x>0), ①當(dāng)a≤0時,f′(x)=-a>0, 即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)。 ②當(dāng)a>0時,令f′(x)=-a=0, 可得x=,當(dāng)0<x<時,f′(x)=>0; 當(dāng)x>時,f′(x)=<0,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為, 單調(diào)遞減區(qū)間為。 (2)由(1)知,①當(dāng)≤1,即a≥1時, 【提分秘籍】 求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小
15、值的步驟 (1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值; (2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b); (3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的一個為最小值。 【舉一反三】 設(shè)函數(shù)f(x)=alnx-bx2(x>0),若函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切。 (1)求實數(shù)a,b的值; (2)求函數(shù)f(x)在上的最大值。 【解析】(1)f′(x)=-2bx, ∵函數(shù)f(x)在x=1處與直線y=-相切, ∴解得 熱點題型六 函數(shù)極值與最值的綜合問題 例6、【2017江蘇】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是的零點.(極
16、值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值) (1)求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域; (2)證明:; (3)若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍. 【答案】(1),定義域為.(2)見解析(3). 【解析】(1)由,得. 當(dāng)時, 有極小值. 因為的極值點是的零點. 所以,又,故. 因為有極值,故有實根,從而,即. 時, ,故在R上是增函數(shù), 沒有極值; 時, 有兩個相異的實根, . 列表如下 x + 0 – 0 + 極大值 極小值 (3)由(1)知, 的極值點是,且, . 從而
17、 記, 所有極值之和為, 因為的極值為,所以, . 因為,于是在上單調(diào)遞減. 因為,于是,故. 因此a的取值范圍為. 【提分秘籍】 求一個函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值時,方法是不同的。求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值。 【舉一反三】 已知函數(shù)f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0。 (1)當(dāng)a=-4時,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為8,求a的值。 【解析】(1)當(dāng)a=-4時,由f′(
18、x)==0得x=或x=2,由f′(x)>0得x∈或x∈(2, ②當(dāng)1<-≤4時,即-8≤a<-2時,f(x)在[1,4]上的最小值為f=0,不符合題意。 ③當(dāng)->4時,即a<-8時,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4處取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),當(dāng)a=-10時,f(x)在(1,4)單調(diào)遞減,f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8,符合題意。 綜上有,a=-10。 熱點題型七 利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題 例7、某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)。設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h
19、米,體積為V立方米。假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建筑成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)。 (1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域; (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大。 【解析】(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100×2πrh=200πrh元,底面的總成本為160πr2元,所以蓄水 由此可知,V(r)在r=5處取得最大值,此時h=8,即當(dāng)r=5,h=8時,該蓄水池的體積最大。 【提分秘籍】 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的四個步驟 (1)分析實際問題中各
20、量之間的關(guān)系,列出實際問題的數(shù)學(xué)模型,寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)。 (2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0。 (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和f′(x)=0的點的函數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值。 (4)回歸實際問題作答。 【舉一反三】 請你設(shè)計一個包裝盒。如圖所示,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒。E、F在AB上,是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點。設(shè)AE=FB=x(cm)。 (1)若廣告商要
21、求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值? (2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問x應(yīng)取何值?并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值。 熱點題型八 利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題 例8、設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ex-xex。 (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)x∈[-2,2]時,不等式f(x)>m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍。 【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞), 因為f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 由f′(x)=x(1-ex)>0得x<0,f′(x)<0得x>0, 則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞
22、減區(qū)間為(0,+∞)。 (2)由(1)知,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,在[-2,0)上單調(diào)遞增, 又f(-2)=2+,f(2)=2-e2,且2+>2-e2, 所以x∈[-2,2]時,[f(x)]min=2-e2, 故m<2-e2時,不等式f(x)>m恒成立。 【提分秘籍】 利用導(dǎo)數(shù)解決參數(shù)問題主要涉及以下方面 (1)已知不等式在某一區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍:一般先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解。 (2)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍:轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立的問題。 (3)已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍:利用函數(shù)的單調(diào)
23、性、極值畫出函數(shù)的大致圖象,數(shù)形結(jié)合求解。 【舉一反三】 設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0)。 (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍。 【解析】(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t>0),∴當(dāng)x=-t時,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1, 熱點題型九 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題 例9、已知函數(shù)f(x)=ax-ex(a>0)。 (1)若a=,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)當(dāng)1≤a≤1+e時,求證:f(x)≤x。 【解析】(1)當(dāng)a=時,f(x)=
24、x-ex。 f′(x)=-ex,令f′(x)=0,得x=-ln2。 當(dāng)x<-ln2時,f′(x)>0; 當(dāng)x>-ln2時,f′(x)<0, ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-ln2), 單調(diào)遞減區(qū)間為(-ln2,+∞)。 (2)證明:法一:令F(x)=x-f(x)=ex-(a-1)x, (ⅰ)當(dāng)a=1時,F(xiàn)(x)=ex>0, ∴f(x)≤x成立。 (ⅱ)當(dāng)1<a≤1+e時, F′(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a-1), ∴當(dāng)x<ln(a-1)時,F(xiàn)′(x)<0; 當(dāng)x>ln(a-1)時,F(xiàn)′(x)>0, ∴F(x)在(-∞,ln(a-1))上單調(diào)遞減
25、, ∴F(x)≥0,即f(x)≤x成立。 綜上,當(dāng)1≤a≤1+e時,有f(x)≤x。 【提分秘籍】 利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)>0,其中一個重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零,這往往就是解決問題的一個突破口。 【舉一反三】 已知函數(shù)f(x)=x2-ax3(a>0),函數(shù)g(x)=f(x)+ex(x-1),函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x)。 (1)求函數(shù)f(x)的極值; (2)若a=e。 ①求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間; ②求證:
26、x>0時,不等式g′(x)≥1+lnx恒成立。 x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,h(x)是增函數(shù), ∴h(x)≥h(1)=1>0, 則在(0,+∞)上,g′(x)>0; 在(-∞,0)上,g′(x)<0, ∴函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞), 1.【2017浙江,7】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是 【答案】D 【解析】原函數(shù)先減再增,再減再增,且由增變減時,極值點大于0,因此選D. 【考點】 導(dǎo)函數(shù)的圖象 2.【2017課標(biāo)1,文14】曲線在點(1,2)處的切線方程為______________.
27、 【答案】 【解析】設(shè),則,所以, 所以曲線在點處的切線方程為,即. 【考點】導(dǎo)數(shù)幾何意義 3.【2017課標(biāo)1,文21】已知函數(shù)=ex(ex﹣a)﹣a2x. (1)討論的單調(diào)性; (2)若,求a的取值范圍. 【答案】(1)當(dāng),在單調(diào)遞增;當(dāng),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(2). 【考點】導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 4.【2017課標(biāo)II,文21】設(shè)函數(shù). (1)討論的單調(diào)性; (2)當(dāng)時,,求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)在 和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增(Ⅱ) f’(x)<0 所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)單調(diào)遞減,在(-1-,-1+)單調(diào)遞
28、增 (2) f (x)=(1+x)(1-x)ex 當(dāng)a≥1時,設(shè)函數(shù)h(x)=(1-x)ex,h’(x)= -xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,而h(0)=1, 故h(x)≤1,所以 f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1 當(dāng)0<a<1時,設(shè)函數(shù)g(x)=ex-x-1,g’(x)=ex-1>0(x>0),所以g(x)在在[0,+∞)單調(diào)遞增,而g(0)=0,故ex≥x+1 當(dāng)0<x<1,,,取 則 當(dāng) 綜上,a的取值范圍[1,+∞) 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立 5.【2017課標(biāo)3,文21】已知函數(shù)=lnx+
29、ax2+(2a+1)x. (1)討論的單調(diào)性; (2)當(dāng)a﹤0時,證明. 【答案】(1)當(dāng)時, 在單調(diào)遞增;當(dāng)時,則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;(2)詳見解析 在單調(diào)遞減. (2)由(1)知,當(dāng)a<0時,f(x)在取得最大值,最大值為 . 所以等價于,即. 設(shè)g(x)=lnx-x+1,則. 當(dāng)x∈(0,1)時, ;當(dāng)x∈(1,+)時, .所以g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(1,+)單調(diào)遞減.故當(dāng)x=1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.所以當(dāng)x>0時,g(x)≤0.從而當(dāng)a<0時, ,即. 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證不等式 6.【2017山東,文20】(
30、本小題滿分13分)已知函數(shù)., (I)當(dāng)a=2時,求曲線在點處的切線方程; (II)設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值. 【答案】(I),(2)(II)⑴無極值;⑵極大值為,極小值為; ⑶極大值為,極小值為. 令, 則, 所以在上單調(diào)遞增, 因為, 所以,當(dāng)時, ;當(dāng)時, . (1)當(dāng)時, , 當(dāng)時, , , 單調(diào)遞增; 當(dāng)時, , , 單調(diào)遞減; 當(dāng)時, , , 單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時取到極大值,極大值是, 當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是,極小值是; 當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值; 當(dāng)時
31、,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)既有極大值,又有極小值,極大值是,極小值是. 【考點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 7.【2017北京,文20】已知函數(shù). (Ⅰ)求曲線在點處的切線方程; (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)最大值1;最小值. 【考點】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義;2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值. 8.【2017江蘇,20】 已知函數(shù)有極值,且導(dǎo)函數(shù)的極值點是 的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值) (1)求關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域; (2)證明:; (3)若,這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求的取值范圍
32、. 【答案】(1),定義域為.(2)見解析(3). 【解析】 (1)由,得. x + 0 – 0 + 極大值 極小值 故的極值點是. 從而, 因此,定義域為. (2)由(1)知, . 設(shè),則. 當(dāng)時, ,從而在上單調(diào)遞增. 因為,所以,故,即. 因此. 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值及零點 1.【2016高考江蘇卷】(本小題滿分16分) 已知函數(shù). 設(shè). (1)求方程的根; (2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的最大值; (3)若,函數(shù)有且只有1個零點,求的值。 【答案】(1)①0
33、②4(2)1 【解析】 (1)因為,所以. ①方程,即,亦即, 所以,于是,解得. ②由條件知. 因為對于恒成立,且, 所以對于恒成立. 而,且, 若,則,于是, 又,且函數(shù)在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷,所以在和之間存在的零點,記為. 因為,所以,又,所以與“0是函數(shù)的唯一零點”矛盾. 若,同理可得,在和之間存在的非0的零點,矛盾. 因此,. 于是,故,所以. 2.【2016高考天津理數(shù)】(本小題滿分14分) 設(shè)函數(shù),,其中 (I)求的單調(diào)區(qū)間; (II) 若存在極值點,且,其中,求證:; (Ⅲ)設(shè),函數(shù),求證:在區(qū)間上的最大值不小于. 【答案】
34、(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)詳見解析(Ⅲ)詳見解析 【解析】 + 0 - 0 + 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,. (Ⅱ)證明:因為存在極值點,所以由(Ⅰ)知,且, 由題意,得,即, 進而. 又, , 所以. (2)當(dāng)時,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,, 所以在區(qū)間上的取值范圍為,因此 3.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù),其中,記的最大值為. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求; (Ⅲ)證明. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)見解析. 【解析】 (Ⅰ).
35、 (Ⅱ)當(dāng)時, 時,取得極小值,極小值為. 令,解得(舍去),. (Ⅰ)當(dāng)時,在內(nèi)無極值點,,,,所以. (Ⅱ)當(dāng)時,由,知.又 ,所以. 綜上, (Ⅲ)由(Ⅰ)得. 當(dāng)時,. 當(dāng)時,,所以. 當(dāng)時,,所以. 4【2016高考浙江理數(shù)】(本小題15分)已知,函數(shù)F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2}, 其中min{p,q}= (I)求使得等式F(x)=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍; (II)(i)求F(x)的最小值m(a); (ii)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a). 【答案】(
36、I);(II)(i);(ii). 5.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)時,; (Ⅱ)證明:當(dāng)時,函數(shù)有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ)的定義域為. 因此在處取得最小值,最小值為 于是,由單調(diào)遞增 所以,由得 因為單調(diào)遞增,對任意存在唯一的 使得所以的值域是 綜上,當(dāng)時,有,的值域是 6.【2016年高考北京理數(shù)】(本小題13分) 設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為, (1)求,的值; (2)求的單調(diào)區(qū)間. 【答案】(Ⅰ),;(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】(
37、1)根據(jù)題意求出,根據(jù),,求,的值; (2)由題意知判斷,即判斷的單調(diào)性,知,即,由此求得的單調(diào)區(qū)間. 【2015高考新課標(biāo)2,理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),,當(dāng)時,,則使得成立的的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】記函數(shù),則,因為當(dāng)時,,故當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞減;又因為函數(shù)是奇函數(shù),故函數(shù)是偶函數(shù),所以在單調(diào)遞減,且.當(dāng)時,,則;當(dāng)時,,則,綜上所述,使得成立的的取值范圍是,故選A. 【2015高考新課標(biāo)1,理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1,若存在唯一的整數(shù),使得0,則的取值范圍是( ) (A)
38、[-,1) (B)[-,) (C)[,) (D)[,1) 【答案】D 【2015高考新課標(biāo)2,理21】(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù). (Ⅰ)證明:在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增; (Ⅱ)若對于任意,都有,求的取值范圍. 【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ). 若,則當(dāng)時,,;當(dāng)時,,. 若,則當(dāng)時,,;當(dāng)時,,. 所以,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,對任意的,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在處取得 【2015江蘇高考,17】(本小題滿分14分)某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路,為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀,計劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊
39、界的直線型公路,記兩條相互垂直的公路為,山區(qū)邊界曲線為C,計劃修建的公路為l,如圖所示,M,N為C的兩個端點,測得點M到的距離分別為5千米和40千米,點N到的距離分別為20千米和2.5千米,以所在的直線分別為x,y軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,假設(shè)曲線C符合函數(shù) (其中a,b為常數(shù))模型. (1)求a,b的值; (2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點,P的橫坐標(biāo)為t. ①請寫出公路l長度的函數(shù)解析式,并寫出其定義域; ②當(dāng)t為何值時,公路l的長度最短?求出最短長度. 【答案】(1)(2)①定義域為, ②千米 【解析】 故,. ②設(shè),則.令,解得. 當(dāng)時,,是減函
40、數(shù); 當(dāng)時,,是增函數(shù). 從而,當(dāng)時,函數(shù)有極小值,也是最小值,所以, 此時. 答:當(dāng)時,公路的長度最短,最短長度為千米. (2014·四川卷)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù). (1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值; (2)若f(1)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點,求a的取值范圍. 【解析】解:(1)由f(x)=ex-ax2-bx-1,得g(x)=f′(x)=ex-2ax-b. 所以g′(x)=ex-2a. 當(dāng)x∈[0,1]時,g′(x)∈[1-2a,e
41、-2a].
當(dāng)a≤時,g′(x)≥0,所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1-b;
當(dāng)a≥時,g′(x)≤0,所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,
因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e-2a-b;
當(dāng)
42、,1]上單調(diào)遞減,故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個零點,都不合題意.
所以0,g(1)=e-2a-b>0.
(2014·安徽卷)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.
(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x∈[0,1]時 ,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.
【解析】解: (1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),
f′(x)=1+a-2x-3x2.
43、
令f′(x)=0,得x1=,
x2=,x1 44、′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
因為在區(qū)間上f′(x)=-xsin x<0,所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
從而f(x)≤f(0)=0.
(2)當(dāng)x>0時,“>a”等價于“sin x-ax>0”,“0對任意x∈恒成立.
當(dāng)c≥1時,因為對任意x∈,g′(x)=cos x-c<0,所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,
從而g(x) 45、0.
g(x)與g′(x)在區(qū)間上的情況如下:
x
(0,x0)
x0
g′(x)
+
0
-
g(x)
因為g(x)在區(qū)間(0,x0)上是增函數(shù),所以g(x0)>g(0)=0.進一步,“g(x)>0對任意x∈恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)g=1-c≥0,即0 46、1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:當(dāng)x>0時,x2 47、x>kx2成立.
而要使ex>kx2成立,則只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.
令h(x)=x-2ln x-ln k,則h′(x)=1-=.
方法三:(1)同方法一.
(2)同方法一.
(3)首先證明當(dāng)x∈(0,+∞)時,恒有x3 48、∞)時,恒有x2 49、π>2-.①
由①得,eln π>e>2.7×>2.7×(2-0.88)=3.024>3,
即eln π>3,亦即ln πe>ln e3,所以e3<πe.
又由①得,3ln π>6->6-e>π,即3ln π>π,
所以eπ<π3.
綜上可得,3e 50、*)式知,當(dāng)a≥1時,f′(x)≥0,
此時f(x)不存在極值點,因而要使得f(x)有兩個極值點,必有0-且x≠-2,
所以-2>-,-2≠-2,
解得a≠.此時,由(*)式易知,x1,x2分別是f(x)的極小值點和極大值點.
而f(x1)+f(x2)=ln(1+ax1)-+ln(1+ax2)-=ln[1+a(x1+x2)+a2x1x2]-=ln(2a-1)2-=ln(2a-1)2+-2.
令2a-1=x.由0
51、
(2014·江西卷)已知函數(shù)f(x)=(x2+bx+b)(b∈R).
(1)當(dāng)b=4時,求f(x)的極值;
(2)若f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求b的取值范圍.
【解析】解:(1)當(dāng)b=4時,f′(x)=,由f′(x)=0,得x=-2或x=0.
所以當(dāng)x∈(-∞,-2)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(-2,0)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,故f(x)在x=-2處取得極小值f(-2)=0,在x=0處取得極大值f(0)=4.
(2)f′(x)=,易知當(dāng)x∈時,<0,
依題意當(dāng)x∈時,有5x+(3b-2)≤0,從而+( 52、3b-2)≤0,得b≤.
所以b的取值范圍為.
(2014·遼寧卷)當(dāng)x∈[-2,1]時,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-5,-3] B.
C.[-6,-2] D.[-4,-3]
【答案】C
【解析】當(dāng)-2≤x<0時,不等式轉(zhuǎn)化為a≤,
令f(x)=(-2≤x<0),
則f′(x)==,故f(x)在[-2,-1]上單調(diào)遞減,在(-1,0)上單調(diào)遞增,此時有a≤=-2.當(dāng)x=0時,g(x)恒成立.當(dāng)0 53、6.
綜上,-6≤a≤-2.
(2014·全國卷)函數(shù)f(x)=ln(x+1)-(a>1).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a1=1,an+1=ln(an+1),證明: 54、(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值范圍是( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
【答案】C
【解析】當(dāng)a=0時,f(x)=-3x2+1,存在兩個零點,不符合題意,故a≠0.
由f′(x)=3ax2-6x=0,得x=0或x=.
若a<0,則函數(shù)f(x)的極大值點為x=0,且f(x)極大值=f(0)=1,極小值點為x=,且f(x)極小值=f=,此時只需>0,即可解得a<-2;
若a>0,則f(x)極大值=f(0)=1>0,此時函數(shù)f(x)一定存在小于零的零點,不符合題意.
綜上可 55、知,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2).
(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=aexln x+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)證明:f(x)>1.
【解析】解:(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.
由題意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2.
(2)證明:由(1)知,f(x)=exln x+ex-1,
從而f(x)>1等價于xln x>xe-x-.
設(shè)函數(shù)g(x)=xln x,
則g′(x)=1+ln x,
所以當(dāng)x∈時,g 56、′(x)<0;
當(dāng)x∈時,g′(x)>0.
故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+∞)上的最小值為g=-.
(2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時,g(x)>0,求b的最大值;
(3)已知1.414 2<<1.414 3,估計ln 2的近似值(精確到0.001).
【解析】解:(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立,
所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e 57、-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,
g′(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]
=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).
(i)當(dāng)b≤2時,g′(x)≥0,等號僅當(dāng)x=0時成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.而g(0)=0,所以對任意x>0,g(x)>0.
(ii)當(dāng)b>2時,若x滿足2 58、時,g(ln)=-4+6ln 2>0,ln 2>>0.692 8;
當(dāng)b=+1時,ln(b-1+)=ln,
g(ln)=--2+(3+2)ln 2<0,
ln 2<<0.693 4.
所以ln 2的近似值為0.693.
(2014·山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)=-k(k為常數(shù),e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)k≤0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點,求k的取值范圍.
【解析】解:(1)函數(shù)y=f(x)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=-k
=-
=.
所以函數(shù)y=g(x)的最小值為g(ln k)=k(1 59、-ln k).
函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個極值點.
當(dāng)且僅當(dāng)
解得e 60、≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
設(shè)φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),
則φ′(x)=-=,
當(dāng)a≤1時,φ′(x)≥0(僅當(dāng)x=0,a=1時等號成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,又φ(0)=0,
證明如下:
方法一:上述不等式等價于++…+ 61、k+2),
即結(jié)論成立.
由①②可知,結(jié)論對n∈N+成立.
方法二:上述不等式等價于++…+ 62、1)由f(x)=x-aex,可得f′(x)=1-aex.
下面分兩種情況討論:
(i)a≤0時,f′(x)>0在R上恒成立,可得f(x)在R上單調(diào)遞增,不合題意.
(ii)a>0時,由f′(x)=0,得x=-ln a.
當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-ln a)
-ln a
(-ln a,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
-ln a-1
這時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-ln a);單調(diào)遞減區(qū)間是(-ln a,+∞).于是,“函數(shù)y=f(x)有兩個零點”等價于如下條件同時成立:①f(-ln a)>0; 63、②存在s1∈(-∞,-ln a),滿足f(s1)<0;③存在s2∈(-ln a,+∞),滿足f(s2)<0.
由f(-ln a)>0,即-ln a-1>0,解得0
64、x∈(1,+∞)時,u′(x)>0.因此,u(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,故對于任意的x∈(1,+∞),u(x)>u(1)=0,由此可得h′(x)>0,故h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
因此,由①可得x1+x2隨著t的增大而增大.
而由(2),t隨著a的減小而增大,所以x1+x2隨著a的減小而增大.
(2014·浙江卷)已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|(a∈R).
(1)若f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a),求M(a)-m(a);
(2)設(shè)b∈R,若[f(x)+b]2≤4對x∈[-1,1]恒成立,求3a+b的取值范圍.
【解析】解:(1)因 65、為f(x)=
所以f′(x)=
由于-1≤x≤1,
(i)當(dāng)a≤-1時,有x≥a,
-m(a)=-a3+3a+2.
(iii)當(dāng)a≥1時,有x≤a,故f(x)=x3-3x+3a,此時f(x)在(-1,1)上是減函數(shù),因此,M(a)=f(-1)=2+3a,m(a)=f(1)=-2+3a,
故M(a)-m(a)=(2+3a)-(-2+3a)=4.
綜上,M(a)-m(a)=
(2)令h(x)=f(x)+b,
則h(x)=
h′(x)=
因為[f(x)+b]2≤4對x∈[-1,1]恒成立,
即-2≤h(x)≤2對x∈[-1,1]恒成立,
所以由(1)知,(i)當(dāng)a≤-1時, 66、h(x)在(-1,1)上是增函數(shù),h(x)在[-1,1]上的最大值是h(1)=4-3a+b,最小值是h(-1)=-4-3a+b,則-4-3a+b≥-2且4-3a+b≤2,矛盾.
(ii)當(dāng)-10,t(a)在上是增函數(shù),故t(a)>t(0)=-2,
因此-2≤3a+b≤0.
(iii)當(dāng)
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