高一數學（人教A版）必修4能力提升：2-4-2 平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

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1、 能 力 提 升 一、選擇題 1．(2013內蒙古包頭一中)已知a、b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a＋3b|＝(　　) A. B. C. D．4 [答案]　C [解析]　易知|a|＝1，|b|＝1，a·b＝， ∴|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13， ∴|a＋3b|＝. 2．(2011～2012·廣東佛山高三質檢)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，則向量a、b的夾角為(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由于2a＋b＝(4,2)， 則b＝(4,2)－2a＝(2,0)， 則a·

2、b＝2，|a|＝，|b|＝2. 設向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝＝. 又θ∈[0，π]，所以θ＝. 3．(2011～2012·重慶南開中學)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則a·b＝(　　) A. B．1 C. D. [答案]　B [解析]　|a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝1. 4．(2012·全國高考重慶卷)設x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D．10 [答案]　B [解析]　由a⊥c，得2x－4

3、＝0　則x＝2，由b∥c得－4＝2y則y＝－2， |a＋b|＝＝ [考點定位]　本題主要考查兩個向量垂直和平行的坐標表示、模長公式，解決問題的關鍵在于根據a⊥c，b∥c，得到x，y的值，只要記住兩個向量垂直、平行和向量的模的坐標形式的充要條件，就不會出錯，注意數字的運算。 5．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b＝，則b等于(　　) A. B. C. D．(1,0) [答案]　B [解析]　方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，則 將②代入①得x2＋(－x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0， ∴x＝1(舍去，此時y＝0)或x＝?y＝. 方法2：

4、排除法，D中y＝0不合題意；C不是單位向量，舍去；代入A，不合題意，故選B. 6．(2011～2012·河北省正定中學模擬)已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，則向量a、b的夾角為(　　) A.－θ B．θ－ C.＋θ D．θ [答案]　A [解析]　 解法一：由三角函數定義知a的起點在原點時，終點落在圓x2＋y2＝4位于第二象限的部分上 (∵<θ<π)，設其終點為P，則∠xOP＝θ， ∴a與b的夾角為－θ. 解法二：cos〈a，b〉＝＝ ＝－sinθ＝cos， ∵θ∈，∴－θ∈， 又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝－θ.

5、 二、填空題 7．設a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a與b的夾角為鈍角，則m的取值范圍是________． [答案]　 [解析]　∵a與b的夾角為鈍角，設為θ，則cosθ<0且cosθ≠－1， ∴解得m<－. 8．(2013·新課標理)已知兩個單位向量a、b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________. [答案]　2 [解析]　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°， ∴a·b＝，|b|2＝1， ∵b·c＝ta·b＋(1－t)b＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2. 9．(2011～2012·金華十校)△ABO三頂點坐標為A(1,0)、

6、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐標平面內一點，滿足·≤0，·≥0，則·的最小值為________． [答案]　3 [解析]　∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0， ∴x≤1，∴－x≥－1， ∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0， ∴y≥2. ∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3. 三、解答題 10．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b和c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m與向量n的夾角的大?。? [解析]　(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12. ∵a⊥c，∴

7、3×4＋4y－0＝0.∴y＝－3. ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)， 設m，n的夾角為θ，則cosθ＝ ＝＝＝－. ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝，即m，n的夾角為. 11．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)試計算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a與b夾角的余弦值． [解析]　(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)， b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,

8、3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝＝＝. (2)由a·b＝|a||b|cosθ， ∴cosθ＝＝＝. 12．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，當k為整數時，向量m＝ka＋b與n＝a＋kb的夾角能否為60°？證明你的結論． [解析]　假設m、n的夾角能為60°， 則cos60°＝， ∴m·n＝|m||n|.① 又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)， ∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0. ∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，② |m||n|＝·＝k2＋1.③ 由①②③，得2k＝(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0. ∵該方程無整數解． ∴m、n的夾角不能為60°.