高三數(shù)學北師大版理一輪教師用書：第9章 第6節(jié) 拋物線 Word版含解析

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1、 第六節(jié)　拋物線 [最新考綱]　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).2.理解數(shù)形結合思想.3.了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用． 1．拋物線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線： (1)在平面內(nèi)； (2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等； (3)定點不在定直線上． 2．拋物線的標準方程與幾何性質(zhì) 標準 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點

2、 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半徑(其中 P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． (3)以弦AB為直徑的圓與

3、準線相切． (4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長度等于2p，通徑是過焦點最短的弦． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．(　　) (2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切．(　　) (3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.(　　) (4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．過拋物線y2＝4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1，y1)

4、，Q(x2，y2)兩點，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　) A．9　　 B．8　　　　 C．7　　 D．6 B　[拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.] 2．若拋物線y＝4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是(　　) A. B. C. D.0 B　[M到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y＝－，設M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 3．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　) A．4 B．6

5、C．8 D．12 B　[如圖所示，拋物線的準線l的方程為x＝－2，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點P作PA⊥y軸，垂足是A，延長PA交直線l于點B， 則|AB|＝2.由于點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到準線l的距離|PB|＝4＋2＝6，所以點P到焦點的距離|PF|＝|PB|＝6.故選B.] 4．頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過點P(－4，－2)的拋物線的標準方程是________． y2＝－x或x2＝－8y　[若焦點在y軸上，設拋物線方程為x2＝my，由題意可知16＝－2m，∴m＝－8，即x2＝－8y.若焦點在x軸上，設拋物線方程為y2＝nx，由題意，得4＝－4n，∴n＝－1，∴y2＝－x.

6、 綜上知，y2＝－x或x2＝－8y.] 考點1　拋物線的定義及應用 　(1)應用拋物線定義的兩個關鍵點 ①由拋物線定義，把拋物線上點到焦點距離與到準線距離相互轉(zhuǎn)化． ②注意靈活運用拋物線上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. (2)解決與過拋物線焦點的弦有關問題的重要途徑是：“看到準線想焦點，看到焦點想準線”． 　(1)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到準線的距離為(　　) A．　 B．　　　 C．1　 D．3 (2)設P是拋物線y2＝4x上的一個動點，若B(3,2)

7、，則|PB|＋|PF|的最小值為________． (1)B　(2)4　[(1)∵F是拋物線y2＝x的焦點， ∴F，準線方程x＝－， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，根據(jù)拋物線的定義可得 |AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋， ∴|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝3. 解得x1＋x2＝，∴線段AB的中點橫坐標為， ∴線段AB的中點到準線的距離為＋＝.故選B. (2)如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.] [母題探究] 1．若將例

8、(2)中的B點坐標改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值． [解]　由題意可知點B(3,4)在拋物線的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，F(xiàn)(1,0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF| ＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值為2. 2．若將例(2)中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值． [解]　由題意知，拋物線的焦點為F(1,0)． 點P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|

9、的最小值為點F到直線l的距離， 故d2＋|PF|的最小值為＝3， 所以d1＋d2的最小值為3－1. 　與拋物線有關的最值問題的轉(zhuǎn)換方法 (1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解． (2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決． 　(2017· 全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________. 6　[如圖，不妨設點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B

10、，交y軸于點P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] 考點2　拋物線的標準方程及其性質(zhì) 　求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程. 　(1)(2019·濰坊模擬)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點

11、，M為拋物線上一點，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面積為4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝ (2)[一題多解]在平面直角坐標系xOy中，設拋物線y2＝4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的傾斜角為120°，那么|PF|＝________. (1)B　(2)4　[(1)設M(x，y)，因為|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由拋物線定義知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p. 又△MFO的面積為4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以拋物線的方程為y2＝8x.

12、 (2)法一：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°.又tan 60°＝，所以yA＝2.因為PA⊥l，所以yP＝y(tǒng)A＝2.將其代入y2＝4x，得xP＝3，所以|PF|＝|PA|＝3－(－1)＝4. 法二：拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.因為PA⊥l，所以|PA|＝|PF|.又因為直線AF的傾斜角為120°，所以∠AFO＝60°，所以∠PAF＝60°，所以△PAF為等邊三角形，所以|PF|＝|AF|＝＝4.] 　在解決與拋物線的性質(zhì)有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別

13、是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此． 　1.(2016·全國卷Ⅰ)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點到準線的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B　[設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準線方程為x＝－， ∴不妨設A，D. ∵點A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴ ∴＋8＝＋5，∴p＝4(負值舍去)． ∴C的焦點到準線的距離為4.] 2.如圖所示，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點

14、A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x B　[如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D，設準線與x軸交于點G，設|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30° ， 則在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，又|AF|＝4，∴|AC|＝4＋3a，|AE|＝4，∴4＋3a＝8，從而得a＝，∵AE∥FG， ∴＝，即＝，p＝2.∴拋物線的方程為y2＝4x.故選B.] 考點3　直線與拋物線的位置關系 　求解拋物線綜合問題的方法 (1)研

15、究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用． (2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點在x軸正半軸)，若不過焦點，則必須用弦長公式． 提醒：涉及弦的中點、弦所在直線的斜率時一般用“點差法”求解． 　(1)過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝4x僅有一個公共點，這樣的直線有________條． (2)(2019·全國卷Ⅰ)已知拋物線C：y2＝3x的焦點為F，斜

16、率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P. ①若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； ②若＝3，求|AB|. (1)3　[結合圖形分析可知(圖略)，滿足題意的直線共有3條：直線x＝0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x＝0)．] (2)[解]　設直線l：y＝x＋t，A，B. ①由題設得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋， 由題設可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－. 從而由－＝，得t＝－. 所以l的方程為y＝x－. ②由＝3得y1＝－3y2. 由 ，得y2－2y＋2t＝0

17、. 所以y1＋y2＝2. 從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 故|AB|＝. 　解答本例(2)第②問的關鍵是從條件“＝3”中發(fā)現(xiàn)變量間的關系“y1＝－3y2”，從而為方程組的消元提供明確的方向． [教師備選例題] 1．(2018·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． [解]　(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)．設A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得k

18、2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0， 故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8， 解得k＝－1(舍去)或k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 2．(2019·金華模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)在第一象限內(nèi)的點P(2，t)到焦點F的距離

19、為. (1)若N，過點N，P的直線l1與拋物線相交于另一點Q，求的值； (2)若直線l2與拋物線C相交于A，B兩點，與圓M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E兩點，O為坐標原點，OA⊥OB，試問：是否存在實數(shù)a，使得|DE|為定值？若存在，求出a的值；若不存存，請說明由． [解]　(1)∵點P(2，t)到焦點F的距離為， ∴2＋＝，解得p＝1， 故拋物線C的方程為y2＝2x，P(2,2)， ∴l(xiāng)1的方程為y＝x＋，聯(lián)立得解得xQ＝， 又|QF|＝xQ＋＝，|PF|＝，∴＝＝. (2)設直線l2的方程為x＝ny＋m(m≠0)，代入拋物線方程可得y2－2ny－2m＝0，設A(x1，

20、y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，① 由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0， 整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，② 將①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，滿足Δ＝4n2＋8m>0，∴直線l2：x＝ny＋2， ∵圓心M(a,0)到直線l2的距離d＝， ∴|DE|＝2， 顯然當a＝2時，|DE|＝2，∴存在實數(shù)a＝2，使得|DE|為定值． 　1.過拋物線y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|＝2|BF|，則|AB|等于(　　) A．4 B． C．5 D．6 B　[法一：(直接法

21、)易知直線l的斜率存在，設為k，則其方程為y＝k(x－1)． 由 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 得xA·xB＝1，① 因為|AF|＝2|BF|，由拋物線的定義得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，② 由①②解得xA＝2，xB＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝. 法二：(應用性質(zhì))由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BE⊥AD于E， 設|BF|＝m，直線l的傾斜角為θ， 則|AB|＝3m， 由拋物線的定義知 |AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝＝，所以tan

22、 θ＝2.則sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦長公式|AB|＝＝. 法三：(應用性質(zhì))因為|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.] 2．(2019·臨沂模擬)已知點A(m,4)(m＞0)在拋物線x2＝4y上，過點A作傾斜角互補的兩條直線l1和l2，且l1，l2與拋物線的另一個交點分別為B，C. (1)求證：直線BC的斜率為定值； (2)若拋物線上存在兩點關于BC對稱，求|BC|的取值范圍． [解]　(1)證明：∵點A(m,4)在拋物線上， ∴16＝m2，∴m＝±4， 又m

23、＞0，∴m＝4. 設B(x1，y1)，C(x2，y2)， 則kAB＋kAC＝＋＝＝0， ∴x1＋x2＝－8. ∴kBC＝＝＝＝－2， ∴直線BC的斜率為定值－2. (2)設直線BC的方程為y＝－2x＋b，P(x3，y3)，Q(x4，y4) 關于直線BC對稱，設PQ的中點為M(x0，y0)，則 kPQ＝＝＝＝，∴x0＝1. ∴M(1，－2＋b)． 又點M在拋物線內(nèi)部， ∴－2＋b＞，即b＞. 由 得x2＋8x－4b＝0， ∴x3＋x4＝－8，x3x4＝－4b. ∴|BC|＝|x3－x4| ＝· ＝×. 又b＞，∴|BC|＞10. ∴|BC|的取值范圍為(10，＋∞)．