《電磁場與電磁波》（第四版）習(xí)題集：第4章 時變電磁場

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1、 第4章 時變電磁場 在時變的情況下，電場和磁場相互激勵，在空間形成電磁波，時變電磁場的能量以電磁波的形式進(jìn)行傳播。電磁場的波動方程描述了電磁場的波動性，本章首先對電磁場的波動方程進(jìn)行討論。 在時變電磁場的情況下，也可以引入輔助位函數(shù)來描述電磁場，使一些復(fù)雜問題的分析求解過程得以簡化。本章對時變電磁場的位函數(shù)及其微分方程進(jìn)行了討論。 電磁能量一如其它能量服從能量守恒原理，本章將討論電磁場的能流和表征電磁場能量守恒關(guān)系的坡印廷定理。 本章在最后討論了隨時間按正弦函數(shù)變化的時變電磁場，這種時變電磁場稱為時諧電磁場或正弦電磁場。 4. 1 波動方程 由麥克斯韋方程可以建立電磁場的波動方

2、程，揭示了時變電磁場的運動規(guī)律，即電磁場的波動性。下面建立無源空間中電磁場的波動方程。 在無源空間中，電流密度和電荷密度處處為零，即、。在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中，和滿足的麥克斯韋方程為 （4.1.1） （4.1.2） （4.1.3） （4.1.4） 對式（4.1.2）兩邊取旋度，有 將式（4.1.1）代入上式，得到 利用矢量恒

3、等式和式（4.1.4），可得到 （4.1.5） 此式即為無源區(qū)域中電場強度矢量滿足的波動方程。 同理可得到無源區(qū)域中磁場強度矢量滿足的波動方程為 （4.1.6） 無源區(qū)域中的或可以通過求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波動方程得到。 在直角坐標(biāo)系中，波動方程可以分解為三個標(biāo)量方程，每個方程中只含有一個場分量。例如，式（4.1.5）可以分解為 （4.1.7） （4.1.8） （4.

4、1.9） 在其它坐標(biāo)系中分解得到的三個標(biāo)量方程都具有復(fù)雜的形式。 波動方程的解是在空間中沿一個特定方向傳播的電磁波。研究電磁波的傳播問題都可歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件下求波動方程的解。當(dāng)然，除最簡單的情況外，求解波動方程常常是很復(fù)雜的。 4. 2 電磁場的位函數(shù) 在靜態(tài)場中引入了標(biāo)量電位來描述電場，引入了矢量磁位和標(biāo)量磁位來描述磁場，使對電場和磁場的分析得到很大程度的簡化。對于時變電磁場，也可以引入位函數(shù)來描述，使一些問題的分析得到簡化。 4.2.1 矢量位和標(biāo)量位 由于磁場的散度恒定于零，即，因此可以將磁場表示為一個矢量函數(shù)的旋度，即

5、 （4.2.1） 式中的矢量函數(shù)稱為電磁場的矢量位，單位是。 將式（4.2.1）代入方程，有 即 這表明是無旋的，可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，即 （4.2.2） 式中的標(biāo)量函數(shù)稱為電磁場的標(biāo)量位，單位是。由式（4.2.2）可將電場強度矢量用矢量位和標(biāo)量位表示為 （4.2.3） 由式（4.2.1）和式（4.2.3）定義的矢量位和標(biāo)量位并不是惟一的，也就是說，對于同樣的和，除了可用一組和來表示外，還存在另外的和，使得和。實際上，設(shè)為任意標(biāo)量函數(shù)，令

6、 （4.2.4） 則有 由于為任意標(biāo)量函數(shù)，所以由式（4.2.4）定義的和有無窮多組。出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因在于確定一個矢量場需要同時規(guī)定該矢量場的散度和旋度，而式（4.2.1）只規(guī)定了矢量位的旋度，沒有規(guī)定矢量位的散度。因此，通過適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量位的散度，不僅可以得到惟一的和，而且還可以使問題的求解得以簡化。在電磁場工程中，通常規(guī)定矢量位的散度為 （4.2.5） 此式稱為洛侖茲條件。 4.2.2 達(dá)朗貝爾方程 在線性、各向同性的均勻媒質(zhì)中，將和代入方程，則有

7、 利用矢量恒等式，可得到 （4.2.6） 同樣，將代入，可得到 （4.2.7） 式（4.2.6）和式（4.2.7）是關(guān)于和得一組耦合微分方程，可通過適當(dāng)?shù)匾?guī)定矢量位的散度來加以簡化。利用洛侖茲條件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到 （4.2.8） （4.2.9） 式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛侖茲條件下，矢量位和標(biāo)量位所滿足的微分方程，稱為達(dá)朗貝爾方程。 由式（4.2.8）和

8、式（4.2.9）可知，采用洛侖茲條件使矢量位和標(biāo)量位分離在兩個獨立的方程中，且矢量位僅與電流密度有關(guān)，而標(biāo)量位僅與電荷密度有關(guān)，這對方程的求解是有利的。如果不采用洛侖茲條件，而選擇另外的，得到的和的方程將不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最終由和求出的和是相同的。 4. 3 電磁能量守恒定律 電場和磁場都具有能量，在線性、各向同性的媒質(zhì)中，電場能量密度與磁場能量密度能量密度分別為 (4.3.1) (4.3.2) 在時變電磁場中，電磁場能量密度

9、等于電場能量密度與磁場能量密度之和，即 (4.3.3) 當(dāng)場隨時間變化時，空間各點的電磁場能量密度也要隨時間改變，從而引起電磁能量流動。為了描述能量的流動狀況，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流動方向，其大小表示單位時間內(nèi)穿過與能量流動方向相垂直的單位面積的能量。能流密度矢量又稱為坡印廷矢量，用表示，其單位為（瓦/米2）。 電磁能量一如其它能量服從能量守恒原理。下面將討論表征電磁場能量守恒關(guān)系的坡印廷定理，以及描述電磁能量流動的坡印廷矢量的表達(dá)式。 坡印廷定理可由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來。假設(shè)閉合面包圍的體積中無外加源，媒質(zhì)是線性和各向同性

10、的，且參數(shù)不隨時間變化。分別用點乘方程、點乘方程，得 將以上兩式相減，得到 在線性、各向同性的媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)不隨時間變化時 于是得到 再利用矢量恒等式 可得到 (4.3.4) 在體積上，對式(4.3.4)兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到 (4.3.5) 這就是表征電磁能量守恒關(guān)系的坡印廷定理。 在式(4.3.5)中，右端第一項是在單位時間內(nèi)體積中所增加的電磁場能量；右端第二項是在單位時間內(nèi)電場對體積中的電流所作的功，在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積內(nèi)總的損耗功率。根據(jù)能量守恒關(guān)系，式(4.3.5)左端

11、的則是單位時間內(nèi)通過曲面進(jìn)入體積的電磁能量，所以矢量是一個與垂直通過單位面積的功率相關(guān)的矢量。因此，我們將定義為電磁能流密度矢量，即 (4.3.6) 這樣，若已知某點的和，由式(4.3.6)即可求出該點的能流密度矢量。 由式(4.3.6)可知，既垂直于也垂直于，又由于和也是相互垂直的，因此、、三者是相互垂直的，且成右旋關(guān)系，如圖4.3.1所示。由此可知，任一時刻、空間任以點的能流密度矢量的大小為 (4.3.7) 由于式中的和都是瞬時值，所以能流密度也是瞬時值，只有當(dāng)和同時達(dá)到最大值時，能流密度才達(dá)

12、到最大。若某一時刻，或為零，則能流密度也為零。 例4.3.1 同軸線地內(nèi)導(dǎo)體半徑為、外導(dǎo)體地內(nèi)半徑為，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為，導(dǎo)體中流過的電流為。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，計算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率。 解：（1）在內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導(dǎo)體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場和磁場分別為 （） （） 內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量為

13、電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源向負(fù)載，如圖4.3.2所示。穿過任意橫截面的功率為 與電路中的分析結(jié)果相吻合?？梢娡S線傳輸?shù)墓β适莾?nèi)外導(dǎo)體間的電磁場傳遞到負(fù)載，而不是經(jīng)過導(dǎo)體內(nèi)部傳遞的。 圖4.3.2 同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況） （2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場 內(nèi) 根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場的切向分量連續(xù)，即內(nèi)z。因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場為 磁場則仍為 內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為 由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，

14、如圖4.3.3所示。進(jìn)入每單位長度內(nèi)導(dǎo)體的功率為 式中是單位長度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。 圖4.3.3 同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況） 以上分析表明電磁能量是電磁場傳輸?shù)模瑢?dǎo)體僅起著定向引導(dǎo)電磁能流的作用。當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為有限值時，進(jìn)入導(dǎo)體中的功率全部被導(dǎo)體所吸收，成為導(dǎo)體中的焦耳熱損耗功率。 4. 4 惟一性定理 在分析有界區(qū)域的時變電磁場問題時，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程

15、的解的惟一問題。 惟一性定理指出：在以閉曲面為邊界的有界區(qū)域內(nèi)，如果給定時刻的電場強度和磁場強度的初始值，并且在時，給定邊界面上的電場強度的切向分量或磁場強度的切向分量，那么，在時，區(qū)域內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。 下面利用反證法對惟一性定理給予證明。假設(shè)區(qū)域內(nèi)的解不是惟一的，那么至少存在兩組解、和、滿足同樣的麥克斯韋方程，且具有相同的初始條件和邊界條件。令 、 則時，在區(qū)域內(nèi)，和的初始值為零；在時，邊界面上電場強度的切向分量為零或磁場強度的切向分量為零，且、滿足麥克斯韋方程 因此，根據(jù)坡印廷定理，應(yīng)有 根據(jù)或的邊界條件，上式左端的被積函數(shù)為 所以

16、，得 由于和的初始值為零，將上式兩邊在上對積分，可得 上式中兩項積分的被積函數(shù)均為非負(fù)的，要使得積分為零，必有 ， 即 ， 這就證明了惟一性定理。 惟一性定理指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁場問題的求解提供了理論依據(jù)，具有非常重要的意義和廣泛的應(yīng)用。 4. 5 時諧電磁場 在時電磁場中，如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為時諧電磁場或正弦電磁場。在工程上，應(yīng)用最多的就是時諧電磁場，同時任意的時變場在一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊

17、加。因此，研究時諧電磁場具有重要意義。 4.5.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示 對于時諧電磁場可采用復(fù)數(shù)方法使問題的分析得以簡化。設(shè)是一個以角頻率隨時間呈時諧變化的標(biāo)量函數(shù)，其瞬時表示式為 （4.5.1） 式中為振幅，它僅為空間坐標(biāo)的函數(shù)，為角頻率，是與時間無關(guān)的初相位。 利用復(fù)數(shù)取實部表示方法，可將式（4.5.1）寫成 （4.5.2） 式中 稱為復(fù)振幅，或稱為的復(fù)數(shù)形式。為了區(qū)別復(fù)數(shù)形式與實數(shù)形式，這里用打“·”的符號表示復(fù)數(shù)形式。 任意時諧矢量函數(shù)可分解為三個分量，每一個分量都是時諧標(biāo)量函數(shù)，即

18、 它們可用復(fù)數(shù)表示為 于是 （4.5.3） 其中 （4.5.4） 稱為時諧矢量函數(shù)的復(fù)矢量。 式（4.5.3）是瞬時矢量與復(fù)矢量的關(guān)系。對于給定的瞬時矢量，由式（4.5.3）可寫出與之相應(yīng)的復(fù)矢量；反之，給定一個復(fù)矢量，由式（4.5.3）可寫出與之相應(yīng)的瞬時矢量。 必須注意，復(fù)矢量只是一種數(shù)學(xué)表示方式，它只與空間有關(guān)，而時間無關(guān)。復(fù)矢量并不是真實的場矢量，真實的場矢量是與之相應(yīng)的瞬時矢量。而且，只有頻率相同的時諧場之間才能使用復(fù)矢量的方法進(jìn)行運算。 例4.5.1

19、將下列場矢量的瞬時值形式寫為復(fù)數(shù)形式 （1） （2） 解：（1）由于 根據(jù)式（4.5.3），可知電場強度的復(fù)矢量為 （2）因為 所以 例4.5.2 已知電場強度復(fù)矢量，其中和為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量。 解：根據(jù)式（4.5.3），可得電場強度的瞬時矢量 4.5.2 復(fù)矢量的麥克斯韋方程 對于一般的時變電磁場，麥克斯韋方程組為 在時諧電磁場中，對時間的導(dǎo)數(shù)可用復(fù)數(shù)形式表示為 利用此運算規(guī)律，可將麥克斯韋方程組寫成 將微分算子“”與實部符號“”交換順序，有 由于以上表示式對于

20、任何時刻均成立，故實部符號可以消去，于是得到 （4.5.5） （4.5.6） （4.5.7） （4.5.8） 這就是時諧電磁場的復(fù)矢量所滿足的麥克斯韋方程，也稱為麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式。 這里為了突出復(fù)數(shù)形式與實數(shù)形式的區(qū)別，用打“·”符號表示復(fù)數(shù)形式。由于復(fù)數(shù)形式的公式與實數(shù)形式的公式之間存在明顯的區(qū)別，將復(fù)數(shù)形式的“·”去掉，并不會引起混淆。因此以后用復(fù)數(shù)形式時不再打“·”符

21、號，并略去下標(biāo)，故將麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式寫成 （4.5.9） （4.5.10） （4.5.11） （4.5.12） 4.5.3 復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率 實際的媒質(zhì)都是有損耗的，電導(dǎo)率為有限值的導(dǎo)電媒質(zhì)存在歐姆損耗，電介質(zhì)的極化存在電極化損耗，磁介質(zhì)的磁化存在磁化損耗。損耗的大小除與媒質(zhì)的材料有關(guān)外，也與場隨時間變化的快慢有關(guān)。一些媒質(zhì)在低頻場中損耗可以

22、忽略，而在高頻場中損耗往往就不能忽略了。 在時諧電磁場中，對于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，式（4.5.9）可寫為 （4.5.13） 式中 （4.5.14） 由此可見，這類導(dǎo)電媒質(zhì)的歐姆損耗以負(fù)虛數(shù)形式反映在媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系中。因此，稱為等效復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。 類似地，對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，表征其電極化特性的介電常數(shù)是一個復(fù)數(shù) （4.5.15） 稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。表征電介質(zhì)中的電極化損耗，是大于零的正數(shù)。在高頻時諧場中，和都是頻率的函數(shù)。 當(dāng)媒質(zhì)同

23、時存在電極化損耗和歐姆損耗時，其等效復(fù)介電常數(shù)可寫為 （4.5.16） 在工程上，通常采用損耗角正切來表征電介質(zhì)的損耗特性，其定義為 （4.5.17） 對于導(dǎo)電媒質(zhì)，其損耗角正切為 （4.5.18） 描述了導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳導(dǎo)電流與位移電流的振幅之比。當(dāng)（通常取）時，媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于位移電流的振幅，因此稱為弱導(dǎo)電媒質(zhì)或良絕緣體。而當(dāng)（通常?。r，媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流的振幅遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于位移電流的振幅，因此稱為良導(dǎo)體。應(yīng)當(dāng)注意，同一種媒質(zhì)在低頻時可

24、能是良導(dǎo)體，而在很高的頻率時就可能變得類似于絕緣體了。 與電介質(zhì)的情形相似，對于存在磁化損耗的磁介質(zhì)，表征其磁化特性的磁導(dǎo)率也是一個復(fù)數(shù) （4.5.19） 稱為復(fù)磁導(dǎo)率。其中，表征磁介質(zhì)中的磁化損耗，是大于零的正數(shù)。磁介質(zhì)的損耗角正切定義為 （4.5.20） 例4.5.3 海水的電導(dǎo)率、相對電容率。求海水在頻率和時的等效復(fù)電容率。 解 當(dāng)時 當(dāng)時 4.5.4 亥姆霍茲方程 對于時諧電磁場，將、，則由式（4.1.5）和式（4.1.6）可得到

25、 （4.5.21） 式中 （4.5.22） 式（4.5.21）即為時諧電磁場的復(fù)矢量和在無源空間中所滿足的波動方程，通常又稱為亥姆霍茲方程。 如果媒質(zhì)是有損耗的，即介電常數(shù)或磁導(dǎo)率為復(fù)數(shù)，則也相應(yīng)地變?yōu)閺?fù)數(shù)。對于電導(dǎo)率的導(dǎo)電媒質(zhì)，用式（4.5.14）中的等效復(fù)介電常數(shù)代替式（4.5.22）中的，得到 （4.5.23） 波動方程（4.5.21）形式不變，只是將替換為。 4.5.5 時諧場的位函數(shù) 對于時諧電磁場的情形，矢量位和標(biāo)量位都可改用復(fù)數(shù)，即

26、 （4.5.24） 洛侖茲條件變?yōu)? （4.5.25） 達(dá)朗貝爾方程變?yōu)? （4.5.26） （4.5.27） 其中。 由洛侖茲條件（4.5.25），可將標(biāo)量位表示為 代入式（4.5.24），則可得到 （4.5.28） 4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量 前面討論的坡印廷矢量是瞬時值矢量，表示瞬時能流密度。在時諧電磁場中，一個周期內(nèi)的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）更

27、有意義。式(4.3.6)的平均值為 (4.5.29) 第 一 章 式中為時諧電磁場的時間周期。 也可以直接由場矢量的復(fù)數(shù)形式來計算。對于時諧電磁場，坡印廷矢量可寫為 代入式(4.5.29)，可得到 (4.5.30) 其中“”表示取共軛復(fù)數(shù)。 類似地，可以得到電場能量密度和磁場能量密度的時間平均值分別為 (4.5.31) (4.5.32) 由麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)形式可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理。設(shè)

28、介質(zhì)的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是復(fù)數(shù)。由恒等式 和 ， 得 即 將上式對體積積分，并應(yīng)用散度定理將左邊體積分變?yōu)槊娣e分，得 由于 于是得到 （4.5.33)） 式中、、分別是單位體積內(nèi)的磁損耗、介電損耗和焦耳熱損耗的平均值。式（4.5.33）即為復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理，其右端的兩項分別表示體積內(nèi)的有功功率和無功功率。式（4.5.33）左端的面積分是穿過閉合面的復(fù)功率，其實部為有功功率，即功率的時間平均值，被積函數(shù)的實部即為平均能流密度矢量。 例4.5.4在無源（、）的自由空間中，已知電磁場的電場強度復(fù)矢量 式中和為常數(shù)。求：(1) 磁場強

29、度復(fù)矢量；(2) 瞬時坡印廷矢量；(3) 平均坡印廷矢量。 解：（1）由，得 （2）電場、磁場的瞬時值為 所以，瞬時坡印廷矢量為 （3）由式(4.5.30)，可得平均坡印廷矢量 或由式(4.5.29)計算 思考題 4.1 在時變電磁場中是如何引入動態(tài)位和的？和不惟一的原因何在？ 4.2 什么是洛侖茲條件？為何要引入洛侖茲條件？在洛侖茲條件下，和滿足什么方程？ 4.3 坡印廷矢量是如何定義的？它的物理意義是什么？ 4.4 什么是坡印廷定理，它的物理意義是什么？ 4.5 什么是時變電磁場的惟一性定理？它有何重要意義？ 4.6 什么是時

30、諧電磁場？研究時諧電磁場有何意義？ 4.7 時諧電磁場的復(fù)矢量是如何定義的？它與瞬時場矢量之間是什么關(guān)系？ 4.8 時諧電磁場的復(fù)矢量是真實的場矢量嗎？引入復(fù)矢量的意義何在？ 4.9 時諧場的平均坡印廷矢量是如何定義的？如何由復(fù)矢量計算平均坡印廷矢量？ 4.10 時諧場的瞬時坡印廷矢量與平均坡印廷矢量有何關(guān)系？是否有？ 4.11 試寫出復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程組。它與瞬時形式的麥克斯韋方程組有何區(qū)別？ 4.12 復(fù)介電常數(shù)的虛部描述了介質(zhì)的什么特性？如果不用復(fù)介電常數(shù)，如何表示介質(zhì)的損耗？ 4.13 如何解釋復(fù)數(shù)形式的坡印廷定理中各項的物理意義？ 習(xí) 題 4.1證明以下

31、矢量函數(shù)滿足真空中的無源波動方程，其中，為常數(shù)。 （1）；（2）； （3） 4. 2 在無損耗的線性、各向同性媒質(zhì)中，電場強度的波動方程為 已知矢量函數(shù)，其中和是常矢量。試證明滿足波動方程的條件是，這里。 4. 3 已知無源的空氣中的磁場強度為 利用波動方程求常數(shù)的值。 4.4 證明：矢量函數(shù)滿足真空中的無源波動方程，但不滿足麥克斯韋方程。 4.5 證明：在有電荷密度和電流密度的均勻無損耗媒質(zhì)中，電場強度和磁場強度的波動方程為： ， 4.6 在應(yīng)用電磁位時，如果不采用洛侖茲條件，而采用庫侖條件，導(dǎo)出和所滿足的微分方程。 4.7 證明在無源空間（，）中，可以引入矢量

32、位和標(biāo)量位，定義為 并推導(dǎo)和的微分方程。 4.8給定標(biāo)量位及矢量位，式中。（1）試證明：；（2）求、、和；（3）證明上述結(jié)果滿足自由空間的麥克斯韋方程。 4.9 自由空間中的電磁場為 式中。求：（1）瞬時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量；（3）任一時刻流入如題4. 9圖所示的平行六面體（長、橫截面積為）中的凈功率。 4. 10 已知某電磁場的復(fù)矢量為 式中，為真空中的光速，是波長。求：（1）、、各點處的瞬時坡印廷矢量；（2）以上各點處的平均坡印廷矢量。 4. 11 在橫截面為的矩形金屬波導(dǎo)中，電磁場的復(fù)矢量為 式中、、和都是實常數(shù)。求：（1）瞬時

33、坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。 4. 12 在球坐標(biāo)系中，已知電磁場的瞬時值 式中為常數(shù)，，。試計算通過以坐標(biāo)原點為球心、為半徑的球面的總功率。 4.13 已知無源的真空中電磁波的電場 證明，其中是電磁場能量密度的時間平均值，為電磁波在真空中的傳播速度。 4.14設(shè)電場強度和磁場強度分別為 和 證明其坡印廷矢量的平均值為 4.15在半徑為、電導(dǎo)率為的無限長直圓柱導(dǎo)線中，沿軸向通以均勻分布的恒定電流，且導(dǎo)線表面上有均勻分布的電荷面密度。 （1）導(dǎo)線表面外側(cè)的坡印廷矢量； （2）證明：由導(dǎo)線表面進(jìn)入其內(nèi)部的功率等于導(dǎo)線內(nèi)的焦耳熱損耗功率。 4.16 由半徑為的兩圓形導(dǎo)體平板構(gòu)成一平行板電容器，間距為，兩板間充滿介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的媒質(zhì)，如題4.16題所示。設(shè)兩板間外加緩變電壓，略去邊緣效應(yīng)，試求： 題4.16題 （1）電容器內(nèi)的瞬時坡印廷矢量和平均坡印廷矢量； （2）進(jìn)入電容器的平均功率；（3）電容器內(nèi)損耗的瞬時功率和平均功率。 4.17 已知真空中兩個沿方向傳播的電磁波的電場為 其中為常數(shù)、。證明總的平均坡印廷矢量等于兩個波的平均坡印廷矢量之和。 4.18 試證明電磁能量密度和坡印廷矢量在下列變換下都具有不變性： ， 其中為常數(shù)、。 ·17·