2018年高考數(shù)學 100題系列 第21題 函數(shù)零點的性質問題 理

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1、 第21題 函數(shù)零點的性質問題 I．題源探究·黃金母題 【例1】求函數(shù)的零點的個數(shù)． 【答案】1． 【解析】的定義域為． 由零點存在性定理知有零點．又在上是單調遞增函數(shù)，只有一個零點． 精彩解讀 【試題來源】人教版A版必修1P88例1． 【母題評析】本題考查了零點存在性定理、函數(shù)零點個數(shù)的判斷． 【思路方法】判斷函數(shù)是否存在零點可用零點存在性定理或利用數(shù)形結合法．而要判斷函數(shù)有幾個零點，還需要借助函數(shù)的單調性． II．考場精彩·真題回放 【例2】【2017高考山東卷】已知當時，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)的取值范圍是

2、 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當時，，單調遞減，且，單調遞增，且，此時有且僅有一個交點；當時，，在上單調遞增，所以要有且僅有一個交點，需，故選B． 【例3】【2016高考天津卷】已知函數(shù)f（x）=（a>0，且a≠1）在R上單調遞減，且關于x的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】由在上遞減可知，由方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，可知，，又∵時，拋物線與直線相切，也符合題意，

3、∴實數(shù)的去范圍是，故選C． 【命題意圖】本題主要考查分段函數(shù)的零點問題． 本題能較好的考查考生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)形結合、轉化與化歸能力等． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大． 【難點中心】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解． 【例4】【2016高考山東卷】已知函數(shù)其中，

4、若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是________________． 【答案】 【解析】畫出函數(shù)圖象如下圖所示： 由圖所示，要有三個不同的根，需要紅色部分圖象在深藍色圖象的下方，即，解得． 【命題意圖】本題主要考查二次函數(shù)函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念，考查學生分析問題與解決問題的能力． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較大，往往是高中數(shù)學主要知識的交匯題． 【難點中心】解答這類問題的關鍵在于能利用數(shù)形結合思想，通過對函數(shù)圖象的分析，轉化得到代數(shù)不等式．本題能較好的考查考生數(shù)形

5、結合思想、轉化與化歸思想、基本運算求解能力等． III．理論基礎·解題原理 函數(shù)零點、方程的根、函數(shù)圖象交點的相互轉化： 有關零點個數(shù)及性質的問題會用到這三者的轉化，且這三者各具特點： （1）函數(shù)的零點：有“零點存在性定理”作為理論基礎，可通過區(qū)間端點值的符號和函數(shù)的單調性確定是否存在零點； （2）方程的根：方程的特點在于能夠進行靈活的變形，從而可將等號兩邊的表達式分別構造為兩個可分析的函數(shù)，為作圖做好鋪墊； （3）函數(shù)圖象的交點：通過作圖可直觀的觀察到交點的個數(shù)，并能初步判斷交點所在區(qū)間． 三者轉化：函數(shù)的零點方程的根方程的根函數(shù)與的交點． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試

6、方向】 這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，一般綜合性較強，難度較大． 【技能方法】 1．已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法： （1）直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； （2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決； （3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解． 2．此類問題的處理步驟： （1）作圖：可將零點問題轉化成方程，進而通過構造函數(shù)將方程轉化為兩個圖象交點問題，并作出函數(shù)圖象； （2）確定變量范圍：通過圖象與交點位置確定參數(shù)和零點的取值范圍

7、； （3）觀察交點的特點（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達式的值． 【易錯指導】 對函數(shù)零點存在的判斷需要注意以下兩點：（1）函數(shù)在上連續(xù)；（2）滿足． 上述方法只能求變號零點，對于非變號零點不能用上述方法求解． 另外需要注意的是：（1）若函數(shù)的圖象在與軸相切，則零點通常稱為不變號零點； （2）函數(shù)的零點不是點，它是函數(shù)與軸的交點的橫坐標，是方程的根． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 【例1】【2018豫西南部分示范高中高三第一學期聯(lián)考】函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ） A． B．

8、 C． D． 【答案】B 【解析】由題干知道原函數(shù)是增函數(shù)，故可以根據(jù)零點存在定理得到： ，故兩點存在于上，故選B． 【例2】【2018齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點中學第一次調研】已知函數(shù) 的零點分別為，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)函數(shù) 分別與 圖像交點，可知選C． 【跟蹤練習】 1．【2018河南省天一大聯(lián)考】函數(shù)的零點位于區(qū)間（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以由零點存在定理得零點位于區(qū)間，選C． 2．【2018湖北部分重點中學上學期

9、第一次聯(lián)考】函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考向2 由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍 【例3】【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】已知是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，且滿足，則實數(shù)的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【名師點睛】解題的關鍵是得到后，得到，然后將問題轉化成方程在上有解的問題處理．在解題的過程中分離參數(shù)的方法，轉化為求函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題處理，求最值時可用導數(shù)或基本不等式處理，具體求解中要注意合理的變形． 【例4】【2018南寧高三畢業(yè)班摸底聯(lián)

10、考】設函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，當時，，若在區(qū)間內關于的方程（且）有且只有4個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意可得函數(shù)f(x)的對稱軸為x=2，周期為T=4，原方程變形為，，所以只需畫出，兩個函數(shù)在區(qū)間(-2，6)的圖像，根據(jù)圖像求a的范圍，圖像如下，一定過（-1，0）點，當時，顯然只有一個交點，所以，只需要對數(shù)從點B，點C下面穿過就有4個零點，所以解得，選D． 【名師點睛】對于求不同類的兩個函數(shù)構成的方程，我們常把方程變形為f(x)=g(x)，然后根據(jù)y=f(x)與y=g(x)的兩個圖像交點個數(shù)來判斷

11、原方程根的個數(shù)．如本題把方程變形為，再畫出兩個函數(shù)的圖像，根據(jù)兩個圖像有4個交點，求出參數(shù)a的范圍． 【例5】【2018河南省天一大聯(lián)考】已知函數(shù)若關于的方程有3個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作圖如下： 因此要使方程有3個，實數(shù)的取值范圍是 ，選D． 【名師點睛】對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結合函數(shù)的單調性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調性、周期性等． 【例6】【2

12、018山西45校高三第一次聯(lián)考】函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上分別存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【例7】【2017江西上饒一模】已知是定義域為的單調函數(shù)，若對任意的，都有，且方程在區(qū)間上有兩解，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意知必存在唯一的正實數(shù)，滿足， ①，∴ ②，由①②得： ，∴，解得．故，由方程在區(qū)間上有兩解， 即有在區(qū)間上有兩解，由，可得，當時， ， 遞減；當時， ， 遞增． 在處取得最大值， ， ，分別作出，和的圖象，可得兩圖象只有一個交點

13、，將的圖象向上平移，至經過點，有兩個交點，由，即，解得，當時，兩圖象有兩個交點，即方程兩解．故選A． 【例8】【2018河南鄭州一中模擬】已知函數(shù)滿足，當時， ，當時，，若定義在上的函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 ，所以，則．所以， ，畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像與函數(shù)的圖像，由于直線是過定點斜率是的動直線，數(shù)形結合可知：當與相切時，即方程有唯一解，可求得，故結合圖像可知：當時，函數(shù)在區(qū)間上的圖像與直線的圖像有且只有三個不同的交點，即定義在上的函數(shù)有三個不同的零點，應填答案． 【名師點睛】解答本題的關鍵是充分運用題設條件先將函數(shù)在區(qū)間上的解

14、析表達式求出來，再畫出其圖像數(shù)形結合，從而將問題轉化為方程有唯一解，可求得，通過數(shù)形結合，求得當時，函數(shù)在區(qū)間上的圖像與直線的圖像有且只有三個不同的交點，即定義在上的函數(shù)有三個不同的零點． 【例9】【2017江蘇南師大附中模擬】函數(shù)其中，若函數(shù)有個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 ，則是兩個極值點，且極大值為，極小值為0．畫出函數(shù)的圖像，和直線的圖像，結合函數(shù)的圖像可知：當時，兩直線與函數(shù)共有六個不同交點，應填答案． 【名師點睛】解答本題的關鍵關節(jié)有兩個：其一是將函數(shù)的零點問題進行等價轉化；其二是要巧妙運用數(shù)形結合思想建立不等式組．求解時還要綜合運用導

15、數(shù)知識確定函數(shù)的極值點和極值． 靈活運用所學知識和重要是數(shù)學思想進行分析問題和解決問題是本題一大特征，體現(xiàn)了數(shù)學思想在解決數(shù)學問題中四兩撥千斤的功能． 【跟蹤練習】 1．【2018屆山西45校高三第一次聯(lián)考】函數(shù)在區(qū)間（-1，1）和區(qū)間（1，2）上分別存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 2．【2018四川綿陽高三第一次診斷性考試】函數(shù)滿足，且當時，．若函數(shù)的圖象與函數(shù)（，且）的圖象有且僅有4個交點，則的取值集合為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)

16、的周期為又在一個周期內，函數(shù)解析式為，所以可作出函數(shù)圖象，在同一坐標系內作函數(shù)的圖象，要使兩個函數(shù)圖象有且僅有四個交點，只需，所以，故選C． 3．【2018貴州黔東南州上學期第一次聯(lián)考】已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函數(shù)的圖象如下： 方程有兩個不相等的實數(shù)根等價于函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，有圖可知， ．故選C． 【名師點睛】方程的根或函數(shù)有零點求參數(shù)范圍常用方法和思路 （1）直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； （2）分離參數(shù)法：先將參

17、數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決； （3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解． 4．【2018四川達州模擬】已知在上有兩個零點，則的取值范圍為( ) A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2) D．（1，2] 【答案】C 【名師點睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象，解答本題關鍵是將函數(shù)有兩個零點的問題轉化為兩個函數(shù)有兩個交點的問題，作出兩函數(shù)的圖象，判斷出參數(shù)的取值范圍，本題以形助數(shù)，是解此類題常用的方法，熟練作出相應函數(shù)的圖象對解答本題很重要 5．【2018江西橫峰中學第一次月考】設滿足，且在上是增函數(shù)，且

18、，若函數(shù)對所有的，當時都成立，則的取值范圍是（ ） A． B．或或 C．或或 D． 【答案】B 【解析】若函數(shù)對所有的都成立，由已知易得的最大值是1，∴，設 ，欲使恒成立，則?或或，故選B． 6．【2018湖北七校聯(lián)考】已知是奇函數(shù)并且是上的單調函數(shù)，若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】令，且是奇函數(shù)，則，又因為是上的單調函數(shù)，所以只有一個零點，即只有一個零點

19、，則，解得，故選C． 7．已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【評注】（1）此類問題如果圖象易于作出，可先作圖以便于觀察函數(shù)特點； （2）本題有兩個關鍵點，一個是引入輔助變量，從而用表示出，達到消元效果，但是要注意是有范圍的（通過數(shù)形結合需與有兩交點）；一個是通過圖象判斷出的范圍，從而去掉絕對值． 8．已知函數(shù)，若存在，當時，，則的取值范圍為 （ ） A． B． C． D． 【答案】C

20、． 9．【2018江西新余一中二模】已知函數(shù)的周期為2，當時， ，如果，則函數(shù)的所有零點之和為（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 由題意可得，根據(jù)周期性畫出函數(shù)的圖象，以及的圖象，根據(jù)在上單調增函數(shù)，當時， ， 當時， ，此時與函數(shù)無交點，再根據(jù)的圖象和的圖象都關于直線對稱，結合圖象可知有個交點，則函數(shù)的零點個數(shù)為，故選D． 【方法點睛】判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法：(1) 直接法： 令則方程實根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個；(2) 零點存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周

21、期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點個數(shù)；(3) 數(shù)形結合法：轉化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題，畫出兩個函數(shù)的圖象，其交點的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，在一個區(qū)間上單調的函數(shù)在該區(qū)間內至多只有一個零點，在確定函數(shù)零點的唯一性時往往要利用函數(shù)的單調性，確定函數(shù)零點所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點存在定理，有時可結合函數(shù)的圖象輔助解題． 10．【2018河北石家莊二中八月高三模擬】已知，若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【名師點睛】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決； (3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解． 11．【2018廣東茂名高三五大聯(lián)盟學校9月聯(lián)考】若函數(shù)至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【名師點睛】本題的求解過程體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想的巧妙運用，求解時先在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖像，進而借助圖像的直觀建立不等式，進而通過解不等式求出參數(shù)的取值范圍． 15