2018年高考數(shù)學(xué) 常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練 第33講 不等式的證明方法

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1、 第33講 不等式的證明方法 【知識(shí)要點(diǎn)】 不等式的證明常用的有六種方法(不等式證明六法:比綜分放數(shù)反) 一、比較法 包括比差和比商兩種方法. 比差的一般步驟是:作差→變形(配方、因式分解、通分等)→與零比→下結(jié)論;比商的一般步驟是:作商→變形(配方、因式分解、通分等)→與1比→下結(jié)論. 如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù),一般用比商,其它一般用比差. 二、綜合法 證明不等式時(shí),從命題的已知條件出發(fā),利用公理、定理、法則等,逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法,它是由因?qū)Ч姆椒? 三、分析法 證明不等式時(shí),從待證命題出發(fā),分析使其成立的充分條件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后

2、將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件,這種證明的方法稱為分析法,它是執(zhí)果索因的方法. 用分析法證明時(shí),要注意格式,一般格式是“要證明,只需證明……”. 一般用分析法尋找思路,用綜合法寫出證明過程. 四、放縮法 證明不等式時(shí),有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小,使其化繁為簡(jiǎn),化難為易,達(dá)到證明的目的,這種方法稱為放縮法. 放縮的常見技巧: ①添加或舍去一些項(xiàng),如: ②將分子或分母放大或縮小,如: ③利用基本不等式等,如: 五、數(shù)學(xué)歸納法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩步一結(jié)論. 在證明第二步時(shí),一般多用到比較法、放縮法和分析法.

3、 六、反證法 證明不等式時(shí),首先假設(shè)要證明的命題的反面成立,把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起,利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論,以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法. 如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí),一般用反證法. 【方法講評(píng)】 方法一 比較法 使用情景 一般是兩個(gè)實(shí)數(shù) 解題方法 包括比差和比商兩種方法. 比差的一般步驟是:作差→變形(配方、因式分解、通分等)→與零比→下結(jié)論;比商的一般步驟是:作商→變形(配方、因式分解、通分等)→與1比→下結(jié)論. 如果

4、兩個(gè)數(shù)都是正數(shù),一般用比商,其它一般用比差. 【例1】已知,則. 【方法點(diǎn)評(píng)】比差的一般步驟是:作差→變形(配方、因式分解、通分等)→與零比→下結(jié)論. 【例2】設(shè),求證: 【證明】作商: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), ∴ 【點(diǎn)評(píng)】比商的一般步驟是:作商→變形(配方、因式分解、通分等)→與1比→下結(jié)論. 【反饋檢測(cè)1】已知、、是實(shí)數(shù),試比較與的大?。? 方法二 綜合法 使用情景 一般題設(shè)較簡(jiǎn)單,題目較簡(jiǎn)單. 解題方法 證明不等式時(shí),從命題的已知條件出發(fā),利用公理、定理、法則等,逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法,它是由因?qū)Ч姆椒? 【例

5、3】 設(shè)為正實(shí)數(shù),求證:. 【點(diǎn)評(píng)】該題主要是利用三元均值不等式和二元均值不等式解答. 【反饋檢測(cè)2】已知是不全相等的正數(shù),求證: 方法三 分析法 使用情景 一般從題設(shè)入手比較難. 解題方法 證明不等式時(shí),從待證命題出發(fā),分析使其成立的充分條件,利用已知的一些基本原理,逐步探索,最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件,這種證明的方法稱為分析法,它是執(zhí)果索因的方法. 【例4】求證: ,求證: 【點(diǎn)評(píng)】用分析法證明時(shí),要注意格式,一般格式是“要證明,只需證明……”.一般用分析法尋找思路,用綜合法寫出證明過程. 【反饋

6、檢測(cè)3】設(shè)為實(shí)數(shù),求證: 方法四 放縮法 使用情景 一般不方便用其它方法,用放縮法比較簡(jiǎn)單. 解題方法 證明不等式時(shí),有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小,使其化繁為簡(jiǎn),化難為易,達(dá)到證明的目的. 【例5】設(shè), 求證: 【證明】 【點(diǎn)評(píng)】由于這是一個(gè)數(shù)列的問題,所以先要對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行放縮. 【例6】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,,. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)證明:對(duì)一切正整數(shù),有 (2)證明:當(dāng); 當(dāng);

7、 【點(diǎn)評(píng)】本題的放縮是一個(gè)難點(diǎn),放縮一定要適當(dāng),有時(shí)需要數(shù)列的第一項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮,有時(shí)需要數(shù)列的前兩項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮,有時(shí)需要數(shù)列的前三項(xiàng)不放縮其他項(xiàng)放縮,……,才能放縮出要證明的結(jié)果.這需要大家平時(shí)的訓(xùn)練和積累. 【反饋檢測(cè)4】已知函數(shù). (1)討論的單調(diào)性與極值點(diǎn); (2)若,證明:當(dāng)時(shí),的圖象恒在的圖象上方; (3)證明:. 方法五 數(shù)學(xué)歸納法 使用情景 一般是與正整數(shù)有關(guān)的命題. 解題方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩步一結(jié)論. 在證明第二步時(shí),一般多用到比較法、放縮法和分析法. 【例7】證明不等式() 【證明】(1)當(dāng)?shù)?/p>

8、于1時(shí),不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立; (2)假設(shè)()時(shí),不等式成立,即1+<2, ∴當(dāng)時(shí),不等式成立. 綜合(1)、(2)得:當(dāng)時(shí),都有1+<2. 【點(diǎn)評(píng)】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,要注意兩步一結(jié)論.在證明第二步時(shí),一般多用到比較法、放縮法和分析法.是證明的關(guān)鍵. 【反饋檢測(cè)5】數(shù)列{}由下列條件決定: (1)證明:對(duì) 總有 (2)證明:對(duì) 總有. 方法六 反證法 使用情景 一般從正面著手比較困難. 解題方法 證明不等式時(shí),首先假設(shè)要證明的命題的反面成立,把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起,利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)

9、與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論,以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立,從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法. 【例7】 已知,,,求證:,,中至少有一個(gè)小于等于. 【點(diǎn)評(píng)】如果命題中含有“至少”或“唯一”或其它否定詞時(shí),一般用反證法. 【反饋檢測(cè)6】已知中至少有一個(gè)小于2. 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第33講: 不等式的證明方法參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】見解析 【反饋檢測(cè)1詳細(xì)解析】 ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立, ∴. 【反饋檢測(cè)2答案】見解析 【反饋檢測(cè)3答案】見解析 【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】當(dāng)時(shí),∵,∴成立. 當(dāng)時(shí),

10、用分析法證明如下: 要證,只需證, 即證,即證:, ∵對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立,∴成立. 綜上所述,對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式都成立. 【反饋檢測(cè)4答案】(1)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. 為極大值點(diǎn),為極小值點(diǎn);(2)見解析;(3)見解析. (2)當(dāng)時(shí),令, ,當(dāng)時(shí),,時(shí),, ∴在上遞減,在上遞增,∴,∴時(shí),恒成立. 即時(shí),恒成立,∴當(dāng)時(shí),的圖象恒在的圖象上方. (3)由(2)知,即,∵,∴, 令,則,∴ ∴ ∴不等式成立. 【反饋檢測(cè)5答案】見解析 【反饋檢測(cè)6答案】見解析 【反饋檢測(cè)6詳細(xì)解析】假設(shè) 都不小于2,則 因?yàn)?,所以? 所以 即,這與已知相矛盾,故假設(shè)不成立. 所以中至少有一個(gè)小于2. 11

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