5、所以a＝－.
則實數(shù)a取值的集合為.
答案 (1)D (2)
應用2 由圖形位置或形狀引起的分類討論
【例2】 (1)(2017·昆明一中質(zhì)檢)已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為________；
(2)設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于________.
解析 (1)由于e＝＝，
∴＝＝，則a2＝3b2，
若雙曲線焦點在x軸上，漸近線方程y＝±x.
若雙曲線焦點在y軸上，漸近線方程y＝±x.
(2)不妨設(shè)|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0.
6、
若該曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；
若該曲線為雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a，
|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝.
答案 (1)y＝±x，或y＝±x (2)或
探究提高 1.圓錐曲線形狀不確定時，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時，常按焦點的位置不同來分類討論.
2.相關(guān)計算中，涉及圖形問題時，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.
【訓練2】 設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點.已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，則的值為_
7、_______.
解析 若∠PF2F1＝90°.則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又因為|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，所以＝.
若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2.
綜上知，＝或2.
答案 或2
應用3 由變量或參數(shù)引起的分類討論
【例3】 已知f(x)＝x－aex(a∈R，e為自然對數(shù)的底).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)≤e2x對x∈R恒成立，求實數(shù)a的
8、取值范圍.
解 (1)f′(x)＝1－aex，
當a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)；
當a>0時，由f′(x)＝0得x＝－ln a，
所以函數(shù)f(x)在(－∞，－ln a)上的單調(diào)遞增，在(－ln a，＋∞)上的單調(diào)遞減.
(2)f(x)≤e2x?a≥－ex，
設(shè)g(x)＝－ex，則g′(x)＝.
當x<0時，1－e2x>0，g′(x)>0，
∴g(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增.
當x>0時，1－e2x<0，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.
所以g(x)max＝g(0)＝－1，所以a≥－1.
故a的取值范圍是[
9、－1，＋∞).
探究提高 1.(1)參數(shù)的變化取值導致不同的結(jié)果，需對參數(shù)進行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.本題中參數(shù)a與自變量x的取值影響導數(shù)的符號應進行討論.
(2)解析幾何中直線點斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系要進行討論.
2.分類討論要標準明確、統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”.
【訓練3】 (2015·全國Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋a(1－x).
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍.
解 (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a
10、≤0，則f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.
若a＞0，則當x∈時，f′(x)＞0；當x∈時，f′(x)＜0，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
當a＞0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知，當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；
當a＞0時，f(x)在x＝處取得最大值，最大值為f＝ln ＋a＝－ln a＋a－1.
因此f＞2a－2等價于ln a＋a－1＜0.
令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
g(1)＝0.
于是，當0＜a＜1時，g
11、(a)＜0；當a＞1時，g(a)＞0.
因此，a的取值范圍是(0，1).
熱點二 轉(zhuǎn)化與化歸思想
應用1 特殊與一般的轉(zhuǎn)化
【例4】 (1)過拋物線y＝ax2(a>0)的焦點F，作一直線交拋物線于P，Q兩點.若線段PF與FQ的長度分別為p，q，則＋等于( )
A.2a B.
C.4a D.
(2)(2017·浙江卷)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.
解析 (1)拋物線y＝ax2(a>0)的標準方程為x2＝y(tǒng)(a>0)，焦點F.
過焦點F作直線垂直于y軸，則|PF|＝|QF|＝，
12、
∴＋＝4a.
(2)由題意，不妨設(shè)b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，
則a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令y＝|a＋b|＋|a－b|
＝＋
＝＋，
令y＝＋，
則y2＝10＋2∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
答案 (1)C (2)4 2
探究提高 1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的
13、效果.
2.對于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.
【訓練4】 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則＝________.
解析 令a＝b＝c，則△ABC為等邊三角形，且cos A＝cos C＝，代入所求式子，得＝＝.
答案
應用2 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化
【例5】 已知函數(shù)f(x)＝3e|x|，若存在實數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得對任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，試求m的最大值.
解 ∵當t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m
14、]時，x＋t≥0，
∴f(x＋t)≤3ex?ex＋t≤ex?t≤1＋ln x－x.
∴原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x對任意x∈[1，m]恒成立.
令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m).
∵h′(x)＝－1≤0，
∴函數(shù)h(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，
又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
∴要使得對任意x∈[1，m]，t值恒存在，
只需1＋ln m－m≥－1.
∵h(3)＝ln 3－2＝ln>ln＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln
15、
∴滿足條件的最大整數(shù)m的值為3.
探究提高 1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.
2.解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍.
【訓練5】 (2017·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上.若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是________.
解析 設(shè)點P(x，y)，且A(－12，0)，B(0，6).
則·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(12＋x)＋
16、y(y－6)≤20，
又x2＋y2＝50，
∴2x－y＋5≤0，
則點P在直線2x－y＋5＝0上方的圓弧上(含交點).
聯(lián)立解得x＝－5或x＝1，
結(jié)合圖形知，－5≤x≤1.
故點P橫坐標的取值范圍是[－5，1].
答案 [－5，1]
應用3 正與反、主與次的轉(zhuǎn)化
【例6】 (1)若對于任意t∈[1，2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2－2x在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________；
(2)對于滿足0≤p≤4的所有實數(shù)p，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，則x的取值范圍是________.
解析 (1)g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g
17、(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，
則①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立.
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x.
當x∈(t，3)時恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，
則m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x，當x∈(t，3)時恒成立，則m＋4≤－9，即m≤－.
∴使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為－3或x<－1.
答案
18、(2)(－∞，－1)∪(3，＋∞)
探究提高 1.第(1)題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則.
題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從后面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.
2.第(2)題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在[0，4]內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.
在處理多變元的數(shù)學問題時，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變元看作是參數(shù).
【訓練6】 已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足－1≤a
19、≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)<0，則實數(shù)x的取值范圍為________.
解析 由題意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.
對－1≤a≤1，恒有g(shù)(x)<0，即φ(a)<0，
∴即
解得－
20、解題思想，降低問題難度.
常見的分類討論問題：
(1)集合：注意集合中空集?討論.
(2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應分a＞1和0＜a＜1的討論，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有時候分a＝0和a≠0的討論，對稱軸位置的討論，判別式的討論.
(3)數(shù)列：由Sn求an分n＝1和n＞1的討論；等比數(shù)列中分公比q＝1和q≠1的討論.
(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.
(5)不等式：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.
(6)立體幾何：點線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論.
(7)平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b＝0和b≠0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論.
(8)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等.
2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進而解決問題的一種方法.一般總是將復雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.
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2018年高考數(shù)學二輪復習 專題八 第2講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想名師導學案 文
