2018年高考數(shù)學 命題角度6.5 恒成立與存在性問題大題狂練 理

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1、 命題角度5：恒成立與存在性問題 1.設函數(shù) . (1)關于的方程在區(qū)間上有解，求的取值范圍； (2)當時， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）；（2）. 試題解析：（1）方程即為，令，則， 當時， 隨變化情況如表： ↗ 極大值 ↘ ， 當時， ， 的取值范圍是. （2）依題意，當時， 恒成立， 令， 則， 令，則當時， ， 函數(shù)在上遞增， ， 存在唯一的零點， 且當時， ，當時， ， 則當時， ，當時， ， 在上遞減，在上遞增， 從而， 由得，兩邊取對數(shù)得， ，即實數(shù)的

2、取值范圍是. 2.已知函數(shù)在點處的切線方程為. （Ⅰ）求實數(shù)的值； （Ⅱ）若存在，滿足，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）. 【解析】試題分析：（I）利用導數(shù)求得切線方程，將其和已知的切線方程對比，可得.（II）將原不等式分離常數(shù)，得到在上有解，令，利用其二階導數(shù)判斷出在區(qū)間上單調(diào)遞減，求得其最小值，進而得到的取值范圍. 試題解析： （Ⅰ）函數(shù)的定義域為. 因為，所以. 所以函數(shù)在點處的切線方程為 ，即. 已知函數(shù)在點處的切線方程為，比較求得. 所以實數(shù)的值為. 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以 . 所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以 . 所以實數(shù)的

3、取值范圍為. 點睛：本題主要考查函數(shù)導數(shù)與切線，函數(shù)導數(shù)與不等式存在性問題的求解.第一問涉及函數(shù)導數(shù)與切線的問題，主要把握住兩個關鍵，一個是切點的坐標，一個是在切點處切線的斜率.第二問根據(jù)存在性問題求參數(shù)的取值范圍，主要采用分離常數(shù)法，利用導數(shù)求得含有部分函數(shù)的最值，即可求得參數(shù)的取值范圍. 3．已知函數(shù). （1）研究函數(shù)的單調(diào)性； （2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) 在上單調(diào)遞增;(2) . 【解析】試題分析：(1)二次求導確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 不等式在上恒成立. 在上恒成立，轉(zhuǎn)求的最小值即可. (2)依題在上恒成立， 設，則在上恒成立，

4、 ， 欲使在上恒成立，則，得， 反之，當時， ， 設，則 設，則， 所以在上單調(diào)遞增，所以， 所以，所以在上單調(diào)遞增，所以， 故，所以在上單調(diào)遞增， 又，所以在上恒成立， 綜上所述， 在上恒成立， 所以的取值范圍是. 4. 已知, （Ⅰ）當時，求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若，使成立，求參數(shù)的取值范圍. 【答案】（1）的減區(qū)間為, 的增區(qū)間為， ;（2） 【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導，列表可得出結(jié)果；（Ⅱ）將題意可轉(zhuǎn)化為時， 成立，對函數(shù)進行求導，分為當時， ，即，即，設，對其求導，求出的最小值；當時，列表可得， 解不等式得結(jié)果. 試題解析：（Ⅰ） ，

5、時 ， 增 減 增 的減區(qū)間為 的增區(qū)間為， （Ⅱ）由題意，即 ， 當時， 單調(diào)遞增 即 即 設 即恒成立 無解 當時 且，由（1）知恒成立，若使則且 [1] ， ， [2] 由[1][2]取交集： 點睛：本題主要考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論思想在解不等式中的應用以及利用導數(shù)解決存在性問題，需注意它和恒成立問題的區(qū)別，具有一定的難度；由，得函數(shù)單

6、調(diào)遞增， 得函數(shù)單調(diào)遞減；對于存在性問題，使成立等價于成立. 5.已知函數(shù). （1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若， 恒成立，求的取值范圍. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析：(1) 求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 的范圍， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間； (2)問題轉(zhuǎn)化為，討論 的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的最小值即可求出 的范圍. （2）令，由（1）可知，函數(shù)的最小值為，所以，即. 恒成立與恒成立等價， 令，即，則. ①當時， .（或令，則 在上遞增，∴，∴在上遞增，∴. ∴）. ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴， ∴恒成立. ②當時，令，則， 當時， ，函數(shù)單調(diào)

7、遞增. 又， ， ∴存在，使得，故當時， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時， ，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增， ∴， 即， 不恒成立， 綜上所述， 的取值范圍是. 6.已知函數(shù). (1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)若關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值. 【答案】(1) 當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間， 當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;(2)2. 【解析】試題分析： (1)首先對函數(shù)求導，然后對參數(shù)分類討論可得當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間， 當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為; (2)將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，考查函數(shù)的性質(zhì)可得整數(shù)的最小值是2. (2

8、)解法一：由得， ∵， ∴原命題等價于在上恒成立， 令， 則， 令，則在上單調(diào)遞增， 由，， ∴存在唯一，使，. ∴當時，，為增函數(shù)， 當時，，為減函數(shù)， ∴時，， ∴， 又，則， 由，所以. 故整數(shù)的最小值為2. 解法二：得， ， 令， ， ①時，，在上單調(diào)遞減， ∵，∴該情況不成立. ②時， 當時，，單調(diào)遞減； 當時，，單調(diào)遞增， ∴， 恒成立， 即. 令，顯然為單調(diào)遞減函數(shù). 由，且，， ∴當時，恒有成立， 故整數(shù)的最小值為2. 綜合①②可得，整數(shù)的最小值為2. 點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)

9、是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用． 7.設函數(shù)）. （1）當時，求曲線在點處的切線方程； （2）設，若對任意的，存在使得成立，求的取值范圍. 【答案】(1) ；(2) 或. 【解析】試題分析：（1）本問考查導數(shù)幾何意義，當時， ，則，又，所

10、以可以求出切線方程；（2）本問考查“任意”和“存在”問題，主要是將問題等價轉(zhuǎn)化，“對任意的，存在使得成立”等價于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”，根據(jù)二次函數(shù)易求在上的最大值，求在上最大值時，需要分區(qū)間對的根進行討論，通過單調(diào)性求出在上最大值，進而解不等式求的取值范圍. ①當，即時， 在上恒成立， 在上為單調(diào)遞增函數(shù)， 的最大值大為，由，得； ②當，即時，當時， 為單調(diào)遞減函數(shù)，當時， 為單調(diào)遞增函數(shù)，所以的最大值大為或.由，得；由，得，又因為，所以； ③當，即時， 在上恒成立， 在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以的最大值大為，由，得，又因為，所以， 綜上所述，實數(shù)的取值范圍是或.

11、 考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的最值；3.“任意”、“存在”類問題. 方法點睛：利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)極值，導數(shù)幾何意義等內(nèi)容是考查的重點.解題時，注意函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的應用，另外，還要能夠?qū)栴}進行合理的轉(zhuǎn)化，尤其是“任意”和“存在”問題的等價轉(zhuǎn)化，可以簡化解題過程.本題“對任意的，存在使得成立”等價于“在區(qū)間上， 的最大值大于或等于的最大值”. 8．已知函數(shù) 為常數(shù)， . （1）當 在 處取得極值時，若關于的方程 在 上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍. （2）若對任意的 ，總存在 ，使不等式 成

12、立，求實數(shù) 的取值范圍. 【答案】（1）；（2）的取值范圍是 （2） 因為，所以，即 所以在上單調(diào)遞增，所以 問題等價于對任意，不等式成立 設， 則 當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時 所以不可能使恒成立，故必有，因為 若，可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在此區(qū)間上有滿足要求 若，可知在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上有，與恒成立相矛盾，所以實數(shù)的取值范圍是. 點睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強，難度較大，屬于難題.在處理導數(shù)大題時，注意分層得分的原則，一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時，比較容易入手，求導后含參數(shù)的問題注意分類討論，對于恒成立的問題，一般要構(gòu)造

13、新函數(shù)，再利用導數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性及最值，涉及到的技巧較多，需多加體會. 9.已知． （I）若曲線在點處的切線方程為，求的值； （II）若恒成立，求的最大值． 【答案】（I）；（II）． 【解析】試題分析： （I）求出導數(shù)，由題意有，代入可得； （II）不等式，即恒成立，這樣只要求得的最大值，解不等式即得．對，當時，函數(shù)遞減，在定義域內(nèi)有（可只取一個值檢驗），不合題意，當時， ，由導數(shù)可得最大值為，得，變形為， ，因此只要設，再由導數(shù)求出的最小值即得． 試題解析： （I），依題意， 有， 解得， （II）設，則，依題意恒成立， ①時， 定義域， 取使得，得， 則

14、 與矛盾， 不符合要求， ②時， ， 當時， ；當時， ， 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)， 在其定義域上有最大值，最大值為， 由，得， ， 設，則， 時， 時， ， 在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)， 的最大值為， 當時， 取最大值為， 綜合①，②得， 最大值為． 10.已知函數(shù) (為常數(shù)， 為自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）當時，討論函數(shù)在區(qū)間上極值點的個數(shù)； （Ⅱ）當， 時，對任意的都有成立，求正實數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】試題分析：（Ⅰ）第一步求函數(shù)的導數(shù)，第二步再設，并且求以及時， ，分析函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的取值范圍

15、，并且根據(jù) ，討論和函數(shù)的極值以及端點值的大小關系，得到函數(shù)的極值點的個數(shù)；（Ⅱ）不等式等價于 ，求的最大值小于的最小值，即求得的取得范圍. 試題解析：（Ⅰ） 時， ，記， 則， ， 當時， ， 時， ， 所以當時， 取得極小值，又， ， ，所以 （ⅳ）當即時， ，函數(shù)在區(qū)間上 無極值點； （Ⅱ）當時，對任意的都有， 即，即 記， ， 由，當時， 時， ， 所以當時， 取得最大值， 又，當時， 時， ， 所以當時， 取得最小值， 所以只需要 ，即正實數(shù)的取值范圍是． 【點睛】本題考查了零點存在性定理和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值的綜合性問題，第一問導函數(shù)零點問題，參變分離后轉(zhuǎn)化為的交點個數(shù)，即利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值，討論與函數(shù)的極值和最值的大小關系，得到零點個數(shù)，第二問，同樣需根據(jù)條件變化函數(shù)，近幾年高考在導數(shù)命題上難度較大，命題方向也較多，常常要構(gòu)造函數(shù)，思維巧妙，有選拔優(yōu)秀學生的功能. - 17 -