2018年高考數(shù)學(xué) 考點一遍過 專題49 二項式定理 理

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1、 專題49 二項式定理 （1）能用計數(shù)原理證明二項式定理. （2）會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題. 一、二項式定理 ，這個公式叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式，共有n+1項，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù). 二項展開式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：. 注意：二項式系數(shù)是指，，…，，它是組合數(shù)，只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a， b的值有關(guān)．如的展開式中，第r＋1項的二項式系數(shù)是，而該項的系數(shù)是.當(dāng)然，某些特殊的二項展開式如，各項的系數(shù)與二

2、項式系數(shù)是相等的． 二、二項式系數(shù)的性質(zhì) （1）對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.事實上，這一性質(zhì)可直接由公式得到. （2）增減性與最大值.當(dāng)時，二項式系數(shù)是逐漸增大的；當(dāng)時，二項式系數(shù)是逐漸減小的，因此二項式系數(shù)在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項的二項式系數(shù)相等且最大. （3）各二項式系數(shù)的和.已知.令，則.也就是說，的展開式的各個二項式系數(shù)的和為. （4）奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即. 三、必記結(jié)論 （1）是第k＋1項，而不是第k項． （2）通項公式中a，b的位置不能顛倒． （3）通

3、項公式中含有a，b，n，k，Tk＋1五個元素，只要知道其中四個就可以求出第五個，即“知四求一”. 考向一 二項展開式通項的應(yīng)用 求二項展開式的特定項問題,實質(zhì)是考查通項的特點,一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項求解,注意k的取值范圍（）. （1）第項：：此時k+1=m,直接代入通項. （2）常數(shù)項：即這項中不含“變元”,令通項中“變元”的冪指數(shù)為0建立方程. （3）有理項：令通項中“變元”的冪指數(shù)為整數(shù)建立方程. 典例1 的展開式中,的系數(shù)為 A．60 B．-60 C．240 D．-240 【答案】C 【解析】的展開式中第項為,令r=4，可得的系數(shù)為 典例2

4、 若a=dx(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則二項式(x-)6的展開式中的常數(shù)項為 A．-160 B．160 C．20 D．-20 【答案】A 【解析】由題意得a=dx=ln?x=2,則二項式(x-)6的展開式中的常數(shù)項為第4項, 所以其常數(shù)項為(-2)3=-160. 典例3 已知關(guān)于x的二項式(ax-)n展開式的二項式系數(shù)之和為256,常數(shù)項為112,則a的值為 A．1 B．±1 C．2 D．±2 【答案】D 1．在二項式(x-)n的展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中含x2項的系數(shù)是 A．-56 B．-35 C．35 D．56 2．若(x2-a)(x

5、+)10的展開式中x6的系數(shù)為30,則a等于 A． B． C．1 D．2 3．已知在的展開式中,第6項為常數(shù)項. (1)求; (2)求展開式中所有的有理項. 考向二 求二項式系數(shù)和或各項的系數(shù)和 二項式定理給出的是一個恒等式,對于a,b的一切值都成立.因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值.在使用賦值法時,令a,b等于多少時, 應(yīng)視具體情況而定,一般取“1,或0”,有時也取其他值. （1）形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． （2）對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系

6、數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． （3）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)， 奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 典例4 若(x2+1)(x-3)9=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3+…+a11(x-2)11,則a1+a2+…+a11的值為 A．0 B．-5 C．5 D．255 【答案】C 典例5 已知(1-2x)n的展開式中的二項式系數(shù)的和是64,則n=　　　　;若(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,則|a0|+

7、|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=　　　　.? 【答案】6　729 【解析】由于二項式系數(shù)的和2n=64,所以n=6, 所以(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6, 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=36=729. 典例6 在二項式的展開式中, (1)若所有二項式系數(shù)之和為,求展開式中二項式系數(shù)最大的項． (2)若前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列,求展開式中各項的系數(shù)和. ∴n=8, 在中，令x=1，得各項系數(shù)和為 4．若(x+)9的展開式的常數(shù)項為-672,則其所有項的系數(shù)和為　　　　. 5．若(2x-1)6

8、=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6,則a1+a3+a5=　　　　.(用數(shù)字作答) 考向三 整除問題 利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是要巧妙地構(gòu)造二項式，其基本思路是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可.因此，一般要將被除式化為含相關(guān)除式的二項式，然后再展開. 典例7 利用二項式定理證明2n+2·3n+5n－4()能被25整除. n＝1時，2n+2·3n＋5n－4＝25. 所以，當(dāng)時，2n+2·3n＋5n－4能被25整除. 6．被49除所得的余數(shù)是 A．-14 B．0 C

9、．14 D．35 1．(1+x)7的展開式中x2的系數(shù)是 A．42　　　 B．35 C．28　　 D．21 2．二項式的展開式的第二項是 A．6x4 B．﹣6x4 C．12x4 D．﹣12x4 3．若實數(shù)a=2-,則a10-2a9+22a8-…+210= A．32 B．-32 C． 1024 D．512 4．設(shè)二項式(x-)6的展開式的常數(shù)項為m,則dx的值為 A． B． C． D． 5．已知x(x-)5的展開式中含x4項的系數(shù)為30,則a= A． B．- C．-6 D．6 6．若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+

10、a5x5,則|a0?|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|= A．243 B．27 C．1 D．-1 7．在的展開式中，各二項式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項為 A．135 B．105 C．30 D．15 8．已知(+)5的展開式的第三項為10,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象的大致形狀為 A B C D 9．在(1-x)n=a0+a1x+a2x

11、2+a3x3+…+anxn中,若2a2+an-5=0,則自然數(shù)n的值是 A．10 B．9 C．8 D．7 10．若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,則log2(a1+a3+a5+…+a11)等于 A．27 B．28 C．7 D．8 11．若(-x)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和為256,則(-x)n的展開式中的常數(shù)項為__________. 12．的展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和等于__________. 13．已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展開式中x4的系數(shù)是-35,則a1+a2

12、+…+a7=__________.? 14．的二項式中不含的項的系數(shù)為__________. 15．已知(+)n展開式中的各項系數(shù)的和與其各個二項式系數(shù)的和之比為128,則n的值為__________. 16．(x2+2x-3y)5的展開式中,x5y的系數(shù)為__________. 17．設(shè)(5x-)n的展開式的各項系數(shù)之和為M,二項式系數(shù)之和為N,若M-N=240,求展開式中二項式系數(shù)最大的項. 18．求8912除以11的余數(shù). 19．在二項式(2x-3y)9的展開式中,求: (1)二項式系數(shù)之和; (2)各項系數(shù)之和; (3)

13、各項系數(shù)絕對值之和. 20．在二項式的展開式中, (1)寫出其中含的項; (2)如果第項和第項的二項式系數(shù)相等,求的值. 21．已知a>0,b>0,m≠0,n≠0,若二項式(axm+bxn)12的展開式中系數(shù)最大的項恰好是常數(shù)項,且2m+n=0,求的取值范圍. 1．（2016四川理科）設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項為 A．－15x4 B．15x4 C．－20i x4 D．20i x4 2．（2017新課標全國Ⅰ理科）展開式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30

14、D．35 3．（2017新課標全國Ⅲ理科）的展開式中的系數(shù)為 A． B． C．40 D．80 4．（2017浙江理科）已知多項式，則=________，=________． 5．（2017山東理科）已知的展開式中含有項的系數(shù)是，則 . 6．（2016新課標全國Ⅰ理科）的展開式中，x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案） 變式拓展 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】依題意,注意到(x+)10的展開式的通項公式是Tr+1=·x10-r·()r=·x10-2r, (x+)10的展開式中含x4(當(dāng)r=3時),x6(當(dāng)r=2時)

15、項的系數(shù)分別為,, 因此由題意得-a=120-45a=30, 由此解得a=2,故選D． 3．【解析】(1) =. 由第6項為常數(shù)項得時,,即得. (2)由已知得,則有. ,， 即得展開式中的有理項為. 4．【答案】-1 【解析】(x+)9的展開式的通項Tr+1=·x9-r·()r=·x9-3r·ar, 令9-3r=0,得r=3, 故·a3=-672,得a=-2. 令x=1,則(x+)9=(1-2)9=-1, 故(x+)9的所有項的系數(shù)和為-1. 5．【答案】364 6．【答案】B 【解析】由題可得，=++， 所以被49整除，所以余數(shù)為0.故選B． 考點

16、沖關(guān) 1．【答案】D 【解析】(1+x)7的展開式的通項公式為Tr+1=xr, 令r=2,得x2的系數(shù)為=21. 2．【答案】D 【解析】展開式的通項公式, 令,可得展開式的第二項為=.選D． 3．【答案】A 【解析】因為(a-2)10=a10-2a9+22a8-…+210,a=2-, 所以a10-2a9+22a8-…+210=(-)10=32. 4．【答案】C 【解析】二項式(x-)6的展開式的常數(shù)項為m=x2(-)4=15, 所以dx=3xdx=cos 3x=cos-(cos 0)=,故選C． 5．【答案】C 6．【答案】D 【解析】由題意得|a0|

17、-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=(1-2)5=-1. 7．【答案】A 【解析】因為在的展開式中，各二項式系數(shù)之和為64，即2n=64，所以n=6， 二項展開式的通項， 令， 則展開式中的常數(shù)項為 8．【答案】D 【解析】由題意得()5-2()2=10,故xy=1(x>0),得y=(x>0).故選D． 9．【答案】C 10．【答案】C 【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a12=28, 令x=-3,得a0-a1+a2-a3+…+a12=0, 將所得兩式作差得2(a1+a3+…+a11)=28, 所以a1

18、+a3+…+a11=27, 所以log2(a1+a3+…+a11)=7. 11．【答案】70 【解析】依題意得 2n=256,解得n=8, 所以Tr+1=()8-r·(-x)r=(-1)rx2r-8, 令2r-8=0,則r=4, 所以T5=(-1)4=70, 所以(-x)n的展開式中的常數(shù)項為70. 12．【答案】 【解析】的展開式的通項為 的系數(shù)與的系數(shù)之和等于. 故填. 13．【答案】1 14．【答案】 【解析】展開式的通項為, 令, 的二項式中不含的項的系數(shù)為. 15．【答案】7 【解析】令x=1,得(+)n的展開式中的各項系數(shù)的和為(1+3)n=

19、4n, 又(+)n的展開式中的各個二項式系數(shù)的和為2n, 所以=128,所以2n=128,解得n=7. 16．【答案】-480 【解析】方法一：,其展開式的通項Tr+1=(-3y)r，r=0,1,2,3,4,5,欲求的展開式中x5y的系數(shù),只需令r=1,則(-3y)1展開式中,x5y的系數(shù)為-323=-480. 方法二：要得到x5y的系數(shù),第一步,從5個小括號(x2+2x-3y)中取一個二次項x2；第二步,從余下四個小括號(x2+2x-3y)中取三個一次項2x；第三步,從余下一個小括號(x2+2x-3y)中取一個一次項-3y，即×23×(-3)=-480. 17．【解析】依題意得,M

20、=4n=(2n)2,N=2n,于是有(2n)2-2n=240,(2n+15)(2n-16)=0, ∴2n=16=24,解得n=4. 要使二項式系數(shù)最大,則k=2, 故展開式中二項式系數(shù)最大的項為T3=(5x)2·(-)2=150x3. 18．【解析】8912＝(1＋88)12. 由于上式除第一項外，各項都能被88整除，也就都能被11整除， 故8912除以11的余數(shù)是1. 20．【解析】(1)展開式的通項, 令10-k=2得k=6. ∴含的項是==. (2)∵=，∴3r-1=r+1或 3r-1+r+1=10, ∴r=1或r=（舍去）. ∴r=1. 又a>0,b>

21、0,則,所以. 直通高考 1．【答案】A 【解析】二項式的展開式的通項為，令，則，故展開式中含的項為，故選A． 【名師點睛】本題考查二項式定理及復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的概念及運算也是高考的熱點，幾乎是每年必考的內(nèi)容，屬于容易題.一般來說，掌握復(fù)數(shù)的基本概念及四則運算即可．二項式可以寫為，則其通項為，則含的項為． 2．【答案】C 【解析】因為，所以展開式中含的項為，展開式中含的項為，故的系數(shù)為，選C． 【名師點睛】對于兩個二項式乘積的問題，用第一個二項式中的每項乘以第二個二項式的每項，分析含的項共有幾項，進行相加即可.這類問題的易錯點主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項的具體情況，尤其是兩個

22、二項展開式中的不同. 3．【答案】C 故選C． 【名師點睛】（1）二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項. （2）求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解. 4．【答案】16，4 【解析】由二項式展開式可得通項公式為：，分別取和可得，取，可得． 【名師點睛】本題主要考查二項式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題． 二項展開式定理的

23、問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）；（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項式定理的應(yīng)用． 5．【答案】 【解析】的展開式的通項公式為，令，得，解得． 【名師點睛】根據(jù)二項展開式的通項，確定二項式系數(shù)或確定二項展開式中的指定項，是二項式定理問題中的基本問題，往往要綜合運用二項展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項展開式的通項求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等. 6．【答案】 【解析】的展開式的通項為(，1，2，…，5)，令得，所以的系數(shù)是. 【名師點睛】確定二項展開式指定項的系數(shù)通常是先寫出通項,再確定r的值,從而確定指定項系數(shù). 19