備戰(zhàn)2018年高考數(shù)學(xué) 回扣突破30練 第23練 概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值 理

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1、 第23練 概率與離散型隨機(jī)變量的分布列、均值【理】 一.題型考點(diǎn)對對練 1.(互斥事件的概率)甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲,其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分,未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和,且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響,則值為 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 2.(古典概型)從數(shù)字1,2,3 ,4,5中,隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))組成一個(gè)三位數(shù),其各位數(shù)字之和等于12的概率為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因?yàn)閺臄?shù)

2、字1,2,3 ,4,5中,隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))組成一個(gè)三位數(shù)共有個(gè),其中三個(gè)數(shù)字之和為的可能有,共種,故各位數(shù)字之和等于12的概率為,應(yīng)選答案A. 3.(幾何概型)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如輸入的值為1,輸出的值為,則在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù), 的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得,第一次循環(huán)后, 第二次循環(huán)后, 第三次循環(huán)后, .故選. 4.(條件概率)小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游,每人只去一個(gè)景點(diǎn),設(shè)事件“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”,事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”,則( ) A. B.

3、 C. D. 【答案】A 5.(二項(xiàng)分布的分布列與期望)某廠有臺大型機(jī)器,在一個(gè)月中,一臺機(jī)器至多出現(xiàn)次故障,且每臺機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需名工人進(jìn)行維修.每臺機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為. (1)問該廠至少有多少名工人才能保證每臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于? (2)已知一名工人每月只有維修臺機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人萬元的工資.每臺機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,就使該廠產(chǎn)生萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠現(xiàn)有名工人.求該廠每月獲利的均值. 【解析】(1)一臺機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障可看作一次實(shí)驗(yàn),在一次試

4、驗(yàn)中,機(jī)器出現(xiàn)故障設(shè)為事件,則事件的概率為.該廠有臺機(jī)器就相當(dāng)于次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),可設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺數(shù)為,則, ,,,, 即的分布列為: X 0 1 2 3 4 設(shè)該廠有名工人,則“每臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為,即,,,…,,這個(gè)互斥事件的和事件,則 0 1 2 3 4 ∵,∴至少要名工人,才能保證每臺機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不少于. (2)設(shè)該廠獲利為萬元,則的所有右能取值為:18,13,8, , ,.即的分布列為: 則.故該

5、廠獲利的均值為. 6.(超幾何分布的分布列與期望)某同學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中,收集到某制藥廠今年前5個(gè)月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位:萬盒)的數(shù)據(jù)如下表所示: (月份) 1 2 3 4 5 (萬盒) 4 4 5 6 6 (1)該同學(xué)為了求出關(guān)于的線性回歸方程,根據(jù)表中數(shù)據(jù)已經(jīng)正確計(jì)算出,試求出的值,并估計(jì)該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù); (2)若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒,小紅同學(xué)從中隨機(jī)購買了3盒甲膠囊,后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題.記小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

6、 (2), , , , ,其分布列為 0 1 2 3 ∴. 7.(與分布列、均值相關(guān)的綜合問題)某地政府?dāng)M在該地一水庫上建造一座水電站,用泄流水量發(fā)電.圖4是根據(jù)該水庫歷年的日泄流量的水文資料畫成的日泄流量X(單位:萬立方米)的頻率分布直方圖(不完整),已知,歷年中日泄流量在區(qū)間[30,60)的年平均天數(shù)為156,一年按364天計(jì). (Ⅰ)請把頻率分布直方圖補(bǔ)充完整; (Ⅱ)該水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行,但每30萬立方米的日泄流量才夠運(yùn)行一臺發(fā)電機(jī),如時(shí)才夠運(yùn)行兩臺發(fā)電機(jī),若運(yùn)行一臺發(fā)電機(jī),每天可獲利潤為4000元,若不運(yùn)行,則該臺發(fā)電

7、機(jī)每天虧損500元,以各段的頻率作為相應(yīng)段的概率,以水電站日利潤的期望值為決策依據(jù),問:為使水電站日利潤的期望值最大,該水電站應(yīng)安裝多少臺發(fā)電機(jī)? 【解析】(Ⅰ)在區(qū)間[30,60)的頻率為,,設(shè)在區(qū)間[0,30)上, ,則, ①若安裝1臺發(fā)電機(jī),則Y的值為-500,4000,其分布列為 Y -500 4000 P E(Y)=; ②若安裝2臺發(fā)電機(jī),則Y的值為-1000,3500,8000,其分布列為 Y -1000 3500 8000 P E(Y)=; ③若安裝3臺發(fā)電機(jī),則Y的值為-1500,3000,7500,12000,其分布列為

8、 Y -1500 3000 7500 12000 P E(Y)=;∵ ∴要使水電站日利潤的期望值最大,該水電站應(yīng)安裝3臺發(fā)電機(jī). 二.易錯(cuò)問題糾錯(cuò)練 8.(基本事件列舉重復(fù)或遺漏至錯(cuò))質(zhì)地均勻的正四面體表明分別印有0,1,2,3四個(gè)數(shù)字,某同學(xué)隨機(jī)的拋擲次正四面體2次,若正四面體與地面重合的表面數(shù)字分別記為,且兩次結(jié)果相互獨(dú)立,互不影響.記為事件,則事件發(fā)生的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根據(jù)要求兩次點(diǎn)數(shù)情況進(jìn)行一一列舉,再考慮滿足事件A的情況。兩次點(diǎn)數(shù)分別為 ,共有16種情形,其中滿足題設(shè)條

9、件的有,共6種情形,所以由古典概型的計(jì)算公式可得事件發(fā)生的概率為,應(yīng)選答案A。 【注意問題】根據(jù)要求兩次點(diǎn)數(shù)情況進(jìn)行一一列舉,再考慮滿足事件A的情況. 9.(辨別不清幾何概型和古典概型至錯(cuò))兩位同學(xué)約定下午5:30-6:00在圖書館見面,且他們在:30-6:00之間到達(dá)的時(shí)刻是等可能的,先到的同學(xué)須等待,15分鐘后還未見面便離開,則兩位同學(xué)能夠見面的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 設(shè)甲、乙各在第分鐘和第分鐘到達(dá),則樣本空間為 畫成圖為一正方形;會面的充要條件為,即事件A可以會面所對應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分,故由幾何概型公式

10、知所求概率為面積之比,即,故選D. 【注意問題】因涉及兩人見面時(shí)間,故考慮到是幾何概型,建立坐標(biāo)系列出滿足條件的式子,計(jì)算出最終的概率. 10.(二項(xiàng)分布與超幾何分布混淆至錯(cuò))某高校數(shù)學(xué)系2016年高等代數(shù)試題有6個(gè)題庫,其中3個(gè)是新題庫(即沒有用過的題庫),3個(gè)是舊題庫(即至少用過一次的題庫),每次期末考試任意選擇2個(gè)題庫里的試題考試. (1)設(shè)2016年期末考試時(shí)選到的新題庫個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)已知2016年時(shí)用過的題庫都當(dāng)作舊題庫,求2017年期末考試時(shí)恰好到1個(gè)新題庫的概率. 【解析】(Ⅰ)的所有可能取值為0,1,2, 設(shè)“2016年期末考試時(shí)取到個(gè)新

11、題庫(即)”為事件. 又因?yàn)?個(gè)題庫中,其中3個(gè)是新題庫,3個(gè)是舊題庫,所以; ;,所以的分布列為 0 1 2 P 的數(shù)學(xué)期望為. (Ⅱ)設(shè)“從6個(gè)題庫中任意取出2個(gè)題庫,恰好取到一個(gè)新題庫”為事件,則“2017年時(shí)恰好取到一個(gè)新題庫”就是事件,而事件互斥,所以. 所以2017年時(shí)恰好取到一個(gè)新題庫的概率為. 【注意問題】先確定隨機(jī)變量所有可能取值,再分別求對應(yīng)概率,列表可得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望. 三.新題好題好好練 11.現(xiàn)有一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號為1,2,2,3,3,3,的六個(gè)小球,他們除數(shù)字外完全相同,現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球記下

12、號碼后放回,均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球,則兩次取出小球所標(biāo)號碼不同的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】D 12.若命題:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題:在邊長為4的正方形內(nèi)任取一點(diǎn),則的概率為,則下列命題是真命題的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因?yàn)閺挠?件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為,即命題是錯(cuò)誤,則是正確的;在邊長為4的正方形內(nèi)任取一點(diǎn),若的概率為,即命題是正確的,故由符合命題的真假的判定規(guī)則可得答案 是正確的,應(yīng)選

13、答案B。 13.集裝箱有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個(gè)球,從箱中一次摸出兩個(gè)球,記下號碼并放回,如果兩球號碼之積是4的倍數(shù),則獲獎(jiǎng).若有4人參與摸獎(jiǎng),恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】B 14.在區(qū)間上任取實(shí)數(shù),在區(qū)間上任取實(shí)數(shù),使函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題設(shè)可得,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組表示的區(qū)域如圖,則,故由幾何概型的計(jì)算公式可得所求概率為,應(yīng)選答案A。 15.某學(xué)校高一、高二、高三三個(gè)年級共有

14、300名教師,為調(diào)查他們的備課時(shí)間情況,通過分層抽樣獲得了20名教師一周的備課時(shí)間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時(shí)). (1)試估計(jì)該校高三年級的教師人數(shù); (2)從高一年級和高二年級抽出的教師中,各隨機(jī)選取一人,高一年級選出的人記為甲,高二年級班選出的人記為乙,假設(shè)所有教師的備課時(shí)間相對獨(dú)立,求該周甲的備課時(shí)間不比乙的備課時(shí)間長的概率; (3)再從高一、高二、高三三個(gè)年級中各隨機(jī)抽取一名教師,他們該周的備課時(shí)間分別是8,9,10(單位:小時(shí)),這三個(gè)數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為,表格中的數(shù)據(jù)平均數(shù)記為,試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明). 所以 故; (3)

15、,, 三組總平均值,新加入的三個(gè)數(shù)的平均數(shù)為9,比小,故拉低了平均值,∴. 16.已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通過對其化驗(yàn)病毒來確定是否感染.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定感染為止.方案乙:將6只分為兩組,每組三個(gè),并將它們混合在一起化驗(yàn),若存在病毒,則表明感染在這三只當(dāng)中,然后逐個(gè)化驗(yàn),直到確定感染為止;若結(jié)果不含病毒,則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn). (1)求依據(jù)方案乙所需化驗(yàn)恰好為2次的概率. (2)首次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為10元,第二次化驗(yàn)化驗(yàn)費(fèi)為8元,第三次及其以后每次化驗(yàn)費(fèi)都是6元,列出方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)用的分布列,并估計(jì)用方案甲平均需要體驗(yàn)費(fèi)多少元? (2)設(shè)方案甲化驗(yàn)的次數(shù)為,則可能的取值為1,2,3,4,5,對應(yīng)的化驗(yàn)費(fèi)用為元,則 ,, ,, 則其化驗(yàn)費(fèi)用的分布列為 所以(元).所以甲方案平均需要化驗(yàn)費(fèi)元 12

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