福建師大附中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版

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1、福建師大附中2013屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題有10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（5分）（2013?泰安一模）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，則A∩B等于（　?。? 　 A． {﹣1，0，1} B． {1} C． {﹣1，1} D． {0，1} 考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B中不等式的解集，確定出集合B，找出A與B的公共元素，即可求出兩集合的交集． 解答： 解：由集合B中的不等式變形得：20≤2

2、x＜22， 解得：0≤x＜2， ∴B=[0，2），又A={﹣1，1}， 則A∩B={1}． 故選B 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵． 　 2．（5分）（2010?泰安一模）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（i是虛數(shù)單位），則a的值為（　　） 　 A． ﹣2 B． 2 C． 1 D． ﹣1 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡可得復(fù)數(shù)為，由純虛數(shù)的定義可得答案． 解答： 解：∵==， 因?yàn)闉榧兲摂?shù)，故2﹣a=0且a+2≠0，解得a=2， 故選B 點(diǎn)評(píng)： 本題考查純虛數(shù)的概念，

3、涉及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題． 　 3．（5分）（2012?廈門模擬）“2＜x＜3”是“x（x﹣5）＜0”的（　?。? 　 A． 充分不必要條件 B． 必要不充分條件 　 C． 充要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．. 專題： 應(yīng)用題． 分析： 由2＜x＜3可得x（x﹣5）＜0；由x（x﹣5）＜0可得0＜x＜5，從而可判斷 解答： 解：由2＜x＜3可得x（x﹣5）＜0 由x（x﹣5）＜0可得0＜x＜5 ∴“2＜x＜3”是“x（x﹣5）＜0”的充分不必要條件 故選A 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了充分

4、條件與必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)試題 　 4．（5分）已知向量，則向量的夾角為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 由向量的夾角公式可得cosθ=，代入可求向量的夾角 解答： 解：設(shè)向量的夾角為θ 由向量的夾角公式可得cosθ=== ∵0≤θ≤π ∴ 故選C 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了向量的夾角公式的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題 　 5．（5分）給出命題：已知a、b為實(shí)數(shù)，若a+b=1，則ab≤．在它的逆命題、否命題、逆否命三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（　?。? 　 A． 3

5、 B． 2 C． 1 D． 0 考點(diǎn)： 四種命題的真假關(guān)系．. 專題： 計(jì)算題；證明題． 分析： 首先根據(jù)基本不等式判斷原命題是正確的，則原命題的逆否命題就是正確的，再判斷原命題的逆命題的真假，用特例判斷是一個(gè)假命題，則原命題的否命題是一個(gè)假命題． 解答： 解：∵a、b為實(shí)數(shù)，a+b=1， ∴ab≤= ∴原命題是正確的， ∴逆否命題是正確的， 原命題的逆命題是：已知a、b為實(shí)數(shù)，若ab≤，則a+b=1 這個(gè)命題只要舉出a=b=， 就可以說明這個(gè)命題是假命題， ∴原命題的否命題也是一個(gè)假命題， ∴它的逆命題、否命題、逆否命三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是

6、1， 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查圓命題的三個(gè)命題的真假，這種題目只要判斷其中兩個(gè)命題的真假就可以，因?yàn)樵}與它的逆否命題具有相同的真假，否命題與逆命題具有相同的真假． 　 6．（5分）下列函數(shù)中，周期為π，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)是（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的奇偶性．. 專題： 綜合題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 將三角函數(shù)的化簡，確定函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性，即可得到結(jié)論． 解答： 解：對(duì)于A，函數(shù)的周期為2π，故不符合題意； 對(duì)于B，=sin2x，周期為π，且在上單調(diào)遞減的奇函數(shù)

7、，故不符合題意； 對(duì)于C，=cos2x，函數(shù)為偶函數(shù)，故不符合題意； 對(duì)于D，=﹣sin2x，周期為π，且在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，故符合題意， 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查三角函數(shù)的化簡，周期運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵． 　 7．（5分）把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到圖象的解析式為（　?。? 　 A． y=5sinx B． C． D． 考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．. 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．

8、 分析： 第一次變換可得得到函數(shù)y=5sin[2（x+）﹣]= 的圖象，再經(jīng)過第二次變換可得的圖象，從而得出結(jié)論． 解答： 解：把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=5sin[2（x+）﹣]= 的圖象， 再把所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到圖象的解析式為， 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題． 　 8．（5分）（2013?日照二模）在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=ax，y=sinax的部分圖象，其中a＞0且a≠1，則下列所給圖象中可能正確的是（　?。? 　 A． B． C． D

9、． 考點(diǎn)： 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；正弦函數(shù)的圖象．. 專題： 壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 分析： 本題是選擇題，采用逐一排除法進(jìn)行判定，再根據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的圖象的特征進(jìn)行判定． 解答： 解：正弦函數(shù)的周期公式T=，∴y=sinax的最小正周期T=； 對(duì)于A：T＞2π，故a＜1，因?yàn)閥=ax的圖象是增函數(shù)，故錯(cuò)； 對(duì)于B：T＜2π，故a＞1，而函數(shù)y=ax是減函數(shù)，故錯(cuò)； 對(duì)于C：T=2π，故a=1，∴y=ax=1，故錯(cuò)； 對(duì)于D：T＞2π，故a＜1，∴y=ax是減函數(shù)，故對(duì)； 故選D 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象，以及對(duì)三角函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．

10、 　 9．（5分）已知，，，，則的最大值為（　?。? 　 A． B． 2 C． D． 考點(diǎn)： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．. 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 由題意可知四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，由圓的最長的弦為其直徑，只需由勾股定理求的AC的長即可． 解答： 解：由題意可知：AB⊥BC，CD⊥AD， 故四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形， 且圓的直徑為AC，由勾股定理可得AC==， 因?yàn)锽D為上述圓的弦，而圓的最長的弦為其直徑， 故的最大值為： 故選C 點(diǎn)評(píng)： 本題為模長的最值的求解，劃歸為圓內(nèi)接四邊形是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題 　

11、 10．（5分）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為2，甲同學(xué)在△ABC中用余弦定理解得，乙同學(xué)在Rt△ACH中解得，據(jù)此可得cos72°的值所在區(qū)間為（　　） 　 A． （0.1，0.2） B． （0.2，0.3） C． （0.3，0.4） D． （0.4，0.5） 考點(diǎn)： 解三角形；余弦函數(shù)的定義域和值域．. 專題： 綜合題；壓軸題． 分析： 根據(jù)題意，建立方程，再構(gòu)造函數(shù)．利用零點(diǎn)存在定理，確定零點(diǎn)所在區(qū)間． 解答： 解：根據(jù)題意可得 ∴ 構(gòu)造函數(shù)﹣1 ∵， ∴x所在區(qū)間為（0.3，0.4） 即cos72°的值所在區(qū)間為（0.3，0.4）

12、 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查解三角形，考查函數(shù)思想，考查函數(shù)零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題． 　 二、填空題：本大題有7小題，每小題5分，共35分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 11．（5分）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a3+a4+a5=9，則S7=　21?。? 考點(diǎn)： 等差數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．. 專題： 計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3+a4+a5=9，能夠得到a4=3，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式能夠求出S7． 解答： 解：∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a3+a4+a5=9， ∴a4=3， ∴S7=（a1+a

13、7）=7a4=21． 故答案為：21． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 　 12．（5分）（2013?泰安二模）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若sinB=2sinC，，則A=　　． 考點(diǎn)： 余弦定理的應(yīng)用．. 專題： 計(jì)算題；解三角形． 分析： 由正弦定理知sinB=，故由sinB=2sinC，得到b=2c，再由，得到a=，由此利用余弦定理能夠求出cosA，進(jìn)而能夠求出A． 解答： 解：∵在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c， ∴，∴sinB=， ∵sinB=2si

14、nC，∴，即b=2c， ∵， ∴a2﹣4c2=3c2，∴a=， ∴cosA===﹣， ∴A=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角形中內(nèi)角大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正弦定理和余弦定理的合理運(yùn)用． 　 13．（5分）函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx（ ）的取值范圍是　[，1]　． 考點(diǎn)： 復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．. 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： 利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 sin（+2x），根據(jù)x的范圍求得函數(shù)f（x）的值域． 解答： 解：∵函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx=?+s

15、in2x﹣=cos2x+sin2x=sin（+2x），0≤x≤， ∴≤x≤，∴≤sin（+2x）≤1． 故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇，1]， 故答案為[，1]． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，求正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題． 　 14．（5分）偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=﹣x+1，則關(guān)于x的方程上解的個(gè)數(shù)是　3　個(gè)． 考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．. 專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 討論函數(shù)y=f（x）奇偶性、周期性和x∈[0，1]時(shí)的表達(dá)式，可得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣1，3]

16、上的圖象，由此作出函數(shù)y=f（x）與g（x）=在同一坐標(biāo)系內(nèi)區(qū)間[0，3]上的圖象，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理加以討論，可得本題答案． 解答： 解：∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=﹣x+1， ∴函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的圖象是以（0，1）和（1，0） 為端點(diǎn)的線段 ∵函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱 ∴當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，函數(shù)圖象是以（0，1）和（﹣1，0） 為端點(diǎn)的線段 又∵函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x）， ∴將函數(shù)圖象在區(qū)間[﹣1，1]上的圖象向右平移2個(gè)單位， 可得區(qū)間[1，3]上的圖象 因此，作出函數(shù)y=f（x）與g（x）=在區(qū)間[0，3]上

17、的圖象如圖所示 顯然它們有一個(gè)公共點(diǎn)A（0，1） ∵f（1）=0＜g（1）=，f（2）=1＞g（2）=， ∴兩個(gè)圖象在（1，2）上有一個(gè)公共點(diǎn)B． 同理可得：兩個(gè)圖象在（2，3）上有一個(gè)公共點(diǎn)C． 所以函數(shù)y=f（x）與g（x）=在區(qū)間[0，3]上的圖象總共有3個(gè)不同的交點(diǎn) 故答案為：3 點(diǎn)評(píng)： 本題給出有周期的偶函數(shù)f（x），討論方程在指定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，著重考查了函數(shù)的奇偶性、周期性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)，屬于中檔題． 　 15．（5分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列中數(shù)值最大的項(xiàng)是第　6　項(xiàng)． 考點(diǎn)： 數(shù)列的函數(shù)特性．. 專題： 等差數(shù)列與

18、等比數(shù)列． 分析： 先求出的表達(dá)式，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出． 解答： 解：∵===1， 可知：當(dāng)n≤5時(shí)，； 當(dāng)n≥6時(shí)，＞1， 又n≥6時(shí)，單調(diào)遞減， ∴當(dāng)n=6時(shí)，取得最大值． 故最大項(xiàng)為第6項(xiàng)． 故答案為6． 點(diǎn)評(píng)： 熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵． 　 16．（5分）如圖△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P若，則x+y=　?。? 考點(diǎn)： 向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．. 專題： 計(jì)算題． 分析： 由梅涅勞斯定理，知：=1，由△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P，知，所以=，再由，能求出結(jié)果． 解

19、答： 解：如圖，由梅涅勞斯定理，知： =1， ∵△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P， ∴， ∴， ∴ = = = =， ∵， ∴x+y=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的線性運(yùn)算和幾何意義，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意梅涅勞斯定理的合理運(yùn)用． 　 17．（5分）將方程x+tanx=0的正根從小到大地依次排列為a1，a2，…，an，…，給出以下不等式：①；②；③2an+1＞an+2+an；④2an+1＜an+2+an；其中，正確的判斷是?、冖堋。ㄕ?qǐng)寫出正確的序號(hào)） 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．. 專題：

20、 數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 在同一坐標(biāo)系中分別畫出直線y1=﹣x及正切曲線y2=tanx的圖象，借助圖象分析方程x+tanx=0的正根的分布情況及變化規(guī)律，進(jìn)而可得答案． 解答： 解：分別作直線y1=﹣x及正切曲線y2=tanx的圖象如圖所示： 則兩者的交點(diǎn)即為x+tanx=0的根 則在正切函數(shù)的每一個(gè)周期π內(nèi)，y1與y2都有一個(gè)交點(diǎn)， 由圖可得兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的差大于正切函數(shù)的半個(gè)周期， 但不超過正切函數(shù)的一個(gè)周期 ∴＜an+1﹣an＜π，故②對(duì)①錯(cuò)． 從原點(diǎn)向右距離越來越大 ∴an+2﹣an+1＞an+1﹣an，即：2an+1＜an+2+an； 故④對(duì)

21、③錯(cuò)． 故答案為：②④． 點(diǎn)評(píng)： 本題以命題的真假判斷為載體考查了正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，借助圖象直觀分析是解答的關(guān)鍵． 　 三、解答題：本大題有5小題，共65分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 18．（12分）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足Tn=1﹣bn （1）求{bn}的通項(xiàng)公式； （2）在{an}中是否存在使得是{bn}中的項(xiàng)，若存在，請(qǐng)寫出滿足題意的一項(xiàng)（不要求寫出所有的項(xiàng)）；若不存在，請(qǐng)說明理由． 考點(diǎn)： 數(shù)列的應(yīng)用．. 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比

22、數(shù)列． 分析： （1）由題意可知b1=，bn=bn﹣1﹣bn，故{bn}為首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，由此能夠求出{bn}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè){an}中第m項(xiàng)am滿足題意，即，從而可得m=2n﹣1﹣12，由此可得結(jié)論． 解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，∵b1=T1=1﹣b1，∴b1=…（2分） 當(dāng)n≥2時(shí)，∵Tn=1﹣bn，∴Tn﹣1=1﹣bn﹣1， 兩式相減得：bn=bn﹣1﹣bn，即：bn=bn﹣1…（6分） 故{bn}為首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列， ∴bn= …（8分） （2）設(shè){an}中第m項(xiàng)am滿足題意，即，即2m﹣1+25=2n 所以m=2n﹣1﹣12（m∈N*，

23、n∈N*），取n=5，則m=4，a4=7（其它形如m=2n﹣1﹣12（m∈N*，n∈N*）的數(shù)均可）…（12分） 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 　 19．（12分）（2007?山東）如圖，甲船以每小時(shí)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處，此時(shí)兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí)，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時(shí)兩船相距海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？ 考點(diǎn)： 解三角形的實(shí)際應(yīng)用．. 專題： 計(jì)算題；

24、應(yīng)用題． 分析： 連接A1B2，依題意可知A2B2，求得A1A2的值，推斷出△A1A2B2是等邊三角形，進(jìn)而求得∠B1A1B2，在△A1B2B1中，利用余弦定理求得B1B2的值，進(jìn)而求得乙船的速度． 解答： 解：如圖，連接A1B2，，， △A1A2B2是等邊三角形，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1?A1B2cos45° = ，． 因此乙船的速度的大小為． 答：乙船每小時(shí)航行海里． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用．要能綜合運(yùn)用余弦定理，正弦定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了綜合分析

25、問題和解決實(shí)際問題的能力． 　 20．（13分）如圖，9個(gè)正數(shù)排列成3行3列，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，且所有的公比都是q，已知a12=1，，又設(shè)第一行數(shù)列的公差為d1． （Ⅰ）求出a11，d1及q； （Ⅱ）若保持這9個(gè)數(shù)的位置不動(dòng)，按照上述規(guī)律，補(bǔ)成一個(gè)n行n列的數(shù)表如下，試寫出數(shù)表第n行第n列ann的表達(dá)式，并求Sn=a11+a22+a33+…+ann的值． 考點(diǎn)： 數(shù)列與函數(shù)的綜合．. 專題： 綜合題；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （Ⅰ）仔細(xì)觀察圖表，由題設(shè)條件知，由此能求出求出a11，d1及q． （Ⅱ）由圖表中的規(guī)律，知=，由此利用錯(cuò)位相

26、減法能求出Sn=a11+a22+a33+…+ann的值． 解答： （本題滿分13分） 解：（Ⅰ）∵9個(gè)正數(shù)排列成3行3列，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列， 每一列的數(shù)成等比數(shù)列，且所有的公比都是q， a12=1，，設(shè)第一行數(shù)列的公差為d1． ∴， 解得． （Ⅱ）因?yàn)?， ∴①② 由①﹣②，得， ∴． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查推理論證能力，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用． 　 21．（13分）（2012?廈門模擬）已知函數(shù)f（x）=Asin（2x+θ），其中A≠0，，試分別解答下列兩小題．

27、 （I）若函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)E，求函數(shù)y=f（x）的解析式； （Ⅱ）如圖，點(diǎn)M，N分別是函數(shù)y=f（x）的圖象在y軸兩側(cè)與x軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，函數(shù)圖象上的一點(diǎn)P（t，）滿足，求函數(shù)f（x）的最大值． 考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)的最值．. 專題： 綜合題． 分析： （I）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)E，建立方程，可求θ的值，利用，可求A的值，從而可得函數(shù)解析式； （Ⅱ）利用，可求|NC|=，從而|MC|=|MN|﹣|NC|=，由此可得θ+2t=，利用P（t，）在圖象上，

28、即可求得函數(shù)f（x）的最大值． 解答： 解：（I）∵函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)E， ∴Asin（﹣+θ）=1，Asin（+θ）=， ∴sin（+θ）=sin（﹣+θ）， 展開化簡可得θ=sinθ ∴tanθ= ∵，∴ ∴函數(shù)f（x）=Asin（2x+）， ∵，∴A=2 ∴f（x）=2sin（2x+）； （Ⅱ）設(shè)P在x軸上的射影為C，∵==|NC|= ∴|NC|= ∴|MC|=|MN|﹣|NC|= ∴t﹣（﹣）﹣（+t）= ∴θ+2t= ∵P（t，）在圖象上 ∴Asin（θ+2t）= ∴A= ∴函數(shù)f（x）的最大值為 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)的解析式，考查向

29、量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 　 22．（15分）（2012?廈門模擬）已知函數(shù)f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈R） （I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若a=l，試解答下列兩小題． （i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m對(duì)任意的0＜x＜l恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （ii）若x1，x2是兩個(gè)不相等的正數(shù)，且以f（x1）+f（x2）=0，求證：x1+x2＞2． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．. 專題： 綜合題． 分析： （I）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，

30、分類討論可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）（i）構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（1+x）+f（1﹣x）=2ln（1+x）+2ln（1﹣x）+2x2，求導(dǎo)函數(shù)，確定F（x）在（0，1）上為減函數(shù)，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （ii）由f（x1）+f（x2）=0，可得（x1+x2）2=2x1x2﹣2lnx1x2+2設(shè)t=x1x2，則t＞0，g（t）=2t﹣2lnt+2，求出g（t）min，即可證得結(jié)論． 解答： （I）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）= 令f′（x）＞0，∵x＞0，∴2ax2+2＞0 ①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）遞增區(qū)間是（0，+∞）

31、； ②當(dāng)a＜0時(shí)，由2ax2+2＞0可得＜x＜ x＞0，∴f（x）遞增區(qū)間是（0，），遞減區(qū)間為； （Ⅱ）（i）解：設(shè)F（x）=f（1+x）+f（1﹣x）=2ln（1+x）+2ln（1﹣x）+2x2，則F′（x）= ∵0＜x＜l，∴F′（x）＜0在（0，1）上恒成立，∴F（x）在（0，1）上為減函數(shù) ∴F（x）＜F（0）=0，∴m≥0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0，+∞）； （ii）證明：∵f（x1）+f（x2）=0， ∴21nx1+x12﹣1+21nx2+x22﹣1=0 ∴2lnx1x2+（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2=0 ∴（x1+x2）2=2x1x2﹣2lnx1x2+2 設(shè)t=x1x2，則t＞0，g（t）=2t﹣2lnt+2，∴g′（t）= 令g′（t）＞0，得t＞1，∴g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增 ∴g（t）min=g（1）=4，∴（x1+x2）2＞4，∴x1+x2＞2． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)．