高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第5單元第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示課件 文 蘇教版

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1、第二節(jié)第二節(jié) 平面向量的基本定理平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示及坐標(biāo)表示基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個 的向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a , 一對實數(shù)1,2,使a = .其中 ,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解一個平面向量用一組基底e1,e2表示成a=1e1+2e2的形式,我們稱它為向量a的分解.當(dāng)e1,e2所在直線 時,這種分解稱為向量a的正交分解.不共線有且只有1e1+2e2不共線的向量e1,e2互相垂直(3)平面向量的坐標(biāo)表示一般地,對于向量a,當(dāng)它的起點移至原點O時,其終點的坐

2、標(biāo)(x,y)稱為向量a的(直角)坐標(biāo),記作 .若分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,則a=x i+y j.2. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算向量aba+baba坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2)a=(x,y)（x1+x2,y1+y2) （x1-x2,y1-y2）(x1, y1)(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2x1,y2y1),即一個向量的坐標(biāo)等于該向量 的坐標(biāo)減去 的坐標(biāo).(3)平面向量中平行(共線)向量的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a0,則a與b共線 b= , .AB 終點始點ax1y2-x2

3、y1=0基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.(必修4P73練習(xí)5改編)已知A(2,3),B(5,3),a=(x+1,x-2y)與 相等，則實數(shù)x,y的值分別是 .2. 已知a=(-2,3),b=(1,5),則3a+b= .3. (2011湖南雅禮中學(xué)月考)已知點G是ABC的重心， (,R),那么+= .4. (必修4P75練習(xí)1改編)向量a=(2,5)與b=(x,-15)平行,則x= .5. (必修4P73練習(xí)2改編)已知O是坐標(biāo)原點，點A在第一象限， ,xOA=60,則 的坐標(biāo)為 .AB AGABAC 4 3OA OA 2，1(5，14)236(2 3,6)經(jīng)典例題經(jīng)典例題題型一 平面向量基本定理【例1】如

4、圖,在OAB中, ,AD與BC交于點M,設(shè) =a, =b,以a、b為基底表示 .14OCOA 12ODOB OA OB OM 分析：本題可用待定系數(shù)法,設(shè) =ma+nb(m,nR),再利用向量的運(yùn)算及共線向量的條件列出方程組,確定m,n的值.OM 解：設(shè) =m a+n b(m,nR),則 =(m-1)a+n b, .因為A,M,D三點共線,所以 ,即m+2n=1.OM AM=OMOA 11AD=ODOA22baab 1112mn而 , ,又因為C,M,B三點共線,所以 ,即4m+n=1.由 ,解得 ,所以 .1CM=OMOC=(m)a+nb 4 1CB=OBOC=4ab 14114mnm+2n

5、=14m+n=1m=17n=3713OM=a+77b 變式1-1如圖所示，OADB是以向量 =a, =b為邊的平行四邊形，點C為對角線AB、OD的交點，又BM= BC,CN= CD,試用a,b表示 , , .OA OB OM ONMN 13131111()()3666BMBCBAOAOBab 1111536666OMOBBMbabab 1136CNCDOD 11222ON=OC+CN=OD+OD=OD=(OA+OB)=(a+b)26333 2MN=ONOM=( +b)3aabab 512又題型二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】已知點A(-1,2),B(2,8)以及 ,求點C、D的坐標(biāo)和CD的坐標(biāo).

6、 13ACAB 13DABA 分析：根據(jù)題意可設(shè)出點C、D的坐標(biāo),然后利用已知的兩個關(guān)系式列方程組,求出坐標(biāo).解：設(shè)點C、D的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),由題意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因為 ,所以有 和解得 和所以點C、D的坐標(biāo)分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).11AC=AB,DA=BA33 11x +1=1y -2=222-1-x =12-y =211x =0y =422x =-2y =0CD 變式2-1（2010山東改編）定義平面向量之間的一種運(yùn)算“ ”如下，對任意的 a=

7、(m,n),b=(p,q)，令a b=mqnp，則下面說法錯誤的有 .（寫出所有錯誤說法的序號）若a與b共線，則a b=0;a b=b a;對任意的R，有(a) b=(a b).若a與b共線，則有a b=mq-np=0，故正確；因為b a=pn-qm，而a b=mq-np,所以a bb a，故錯誤；易證正確.故應(yīng)該填.解析：題型三 平面向量的坐標(biāo)表示【例3】平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+k c)(2b-a),求實數(shù)k;(2)設(shè)d=(x,y)滿足(d-c)(a+b),且|d-c|=1,求d.分析：(1)由兩向量平行的條件得出關(guān)于k的方程,從而求

8、出實數(shù)k的值.(2)由兩向量平行及|d-c c|=1得出關(guān)于x,y的兩個方程,解方程組即可得出x,y的值,從而求出d .解：(1)(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k= .(2)d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,解得1613224(x-4)-2(y-1)=0(x-4) +(y-1) =15452 515xy 5452 515xy 52 552 5(4,1)(4,1)5555d 或變式3-1已知梯形ABCD中， ,A(1,1),B(3,2),C(3,7)

9、,若 ,求D點坐標(biāo).ABCD 2)ADBCAB (解：設(shè)D點坐標(biāo)為(x,y),則 =(x-1,y-1), =(2,-3), =(x+3,y+7), =(-6,-5), ,2(y+7)+3(x+3)=0,即3x+2y+23=0,又 ,(x-1)+10(y-1)=0即x+10y-11=0,由 ,得D點坐標(biāo)為(-9,2).ADAB CD BC ABCD ADBC2)AB (3x+2y+23=0 x+10y-11=0 x=9y=2BC 2AB=(10,1), 題型四向量的綜合應(yīng)用問題【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,試問:(1)t為何值時,點P在x軸上?在y軸上?點P在第二象限?

10、(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形?若能,求出相應(yīng)的t值;若不能,請說明理由.OPOAtAB 分析：利用向量相等，建立點P(x，y)與已知向量之間的關(guān)系，表示出P點的坐標(biāo)，然后根據(jù)實際問題確定P點坐標(biāo)的符號特征，從而解決問題 解：(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， (1,2)， (3,3)， (13t,23t)若點P在x軸上，則23t0，解得t= ；若點P在y軸上，則13t0，解得t ；若P在第二象限，則解得 t .(2) (1,2)， (33t，33t)，若四邊形OABP為平行四邊形，則 ，而 無解，故四邊形OABP不能成為平行四邊形OAAB OPOAtAB 23131 3

11、0230tt2313311332tt OAPBPOOB OAPB 變式4-1如圖所示,已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點P的坐標(biāo).解析：方法一：設(shè)P(x，y)，則 (x，y)， (4,4) ， 共線，4x4y0.又 (x2，y6)， (2，6)，且向量 、 共線，6(x2)2(6y)0.解由組成的方程組，得x3，y3點P的坐標(biāo)為(3,3)OP OB OB OP CP CA CA CP 方法二：設(shè) t(4,4)(4t,4t)，則 (4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，又 (2,6)(4,0)(2,6)，由 ， 共線的充要條件知(4t4)64t(2)0，解得t ，

12、 (4t,4t)(3,3)，P點坐標(biāo)為(3,3)34OP AP ACACAPOPOA OPtOB 易錯警示易錯警示【例】已知點A(1,2),點B(3,6),則與AB共線的單位向量為.錯解由A(1,2),B(3,6)知,.(2,4)AB 5 2 5(,)55ABAB 錯解分析與共線有兩種情況:一是同向共線,一是反向共線,“錯解”中忽略了反向共線這一情況.正解AB 解析：與同向時為 ，與反向時為 .5 2 5(,)55ABAB 52 5(,)55ABAB 鏈接高考鏈接高考（2010陜西）已知向量a=(2,1)，b=(1,m),c=(1,2),若(a+b)c，則m=.知識準(zhǔn)備：1. 會進(jìn)行向量的加法運(yùn)算；2. 知道向量平行的充要條件（平行向量的坐標(biāo)表示）.解析：ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c，得12(1)(m1)0m1.