高中數(shù)學(xué)：第3章 三角函數(shù)的應(yīng)用 素材（蘇教版必修4）

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1、12 有一個人，無論你到哪里都舍不下對你的牽掛，她愿把自己的一生無私地奉獻(xiàn)給你；有一種愛，它讓你肆意地索取和享用，卻不要你任何的回報這一個人叫“母親”，這一種愛叫“母愛”. 走進(jìn)附中，走近北大走進(jìn)附中，走近北大.3 三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用決實際問題中有著廣泛的應(yīng)用.1 .在下圖中，點在下圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為為3cm，周期為周期為3s，且物體向右運動到，且物體向右運動到距離平衡位距離

2、平衡位置最遠(yuǎn)時開始計時置最遠(yuǎn)時開始計時.(1)求物體對平衡位置的位移求物體對平衡位置的位移x(cm)和時間和時間t(s)之間的之間的函數(shù)關(guān)系；函數(shù)關(guān)系；(2)求該物體在求該物體在t=5s時的位置時的位置.解解 (1)設(shè)設(shè)x和和t之間的函數(shù)關(guān)系為之間的函數(shù)關(guān)系為: x=Asin(t+)(0，02). 1.3.4 三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)的應(yīng)用O4即即 當(dāng)當(dāng)t=0時，有時，有 x=3sin=3，即即sin=1.又又02，故故可可得得 = ，2所求的函數(shù)關(guān)系為所求的函數(shù)關(guān)系為: :22x = 3sin(t +)x = 3cost.323(2)令令t=5，得得x=3cos =1.5，該該該該物物體體在在

3、t=5s 時時的的位位置置在在點點O的的左左側(cè)側(cè)且且距距O點點1.5cm處處.1 03則由則由22T = 3 =.3 由題設(shè)知振幅為由題設(shè)知振幅為3cm，所以所以A=3，且物體向右運動到距離平衡位置最遠(yuǎn)時開始計時且物體向右運動到距離平衡位置最遠(yuǎn)時開始計時.5OPP023 2. 一半徑為一半徑為3m的水輪如圖所示，水輪圓心的水輪如圖所示，水輪圓心O 距離距離水面水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上圈，如果當(dāng)水輪上點點P 從水中浮現(xiàn)時從水中浮現(xiàn)時(圖中點圖中點P0)開始計算時間開始計算時間.(1)將點將點P距離水面的高度距離水面的高度z(m)表示時間表示時間t(s)

4、的函數(shù)的函數(shù);(2)點點P第一次達(dá)到最高點大約要多長時間？第一次達(dá)到最高點大約要多長時間？xy解解 (1)不不妨妨設(shè)設(shè)水水輪輪沿沿逆逆時時針針方方向向旋旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)，如如圖圖所所示，示，建建立立平平面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系. 設(shè)設(shè)角角 ( 0)是是以以O(shè)x為為始始邊，邊，OP0為為終終邊邊的的角角.2由由OP在在ts內(nèi)所轉(zhuǎn)過內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角的角為為 ，可知以，可知以O(shè)x為始邊，為始邊， OP為終邊為終邊的角為的角為42 2 ()t= t6 01 52 t+1 5 ，6則則2z3sin(t + )2.15 當(dāng)當(dāng)t = 0時時，z =0，可得可得2sin.3 因為因為 ，所以，所以0.73， 02故所求函

5、數(shù)關(guān)系式為故所求函數(shù)關(guān)系式為2z = 3sin(t0.73)+2.15(2)令令 得得2z3sin(t0.73)2515 ，2sin(t0.73)1.152t0.73152，取取解得解得t5.5.答答 點點P第一次達(dá)到最高點大約需要第一次達(dá)到最高點大約需要5.5s.2t +15故故P點縱坐標(biāo)為點縱坐標(biāo)為3sin( )，7 3. 海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫現(xiàn)象叫潮汐潮汐，一般的早潮叫，一般的早潮叫潮潮，晚潮叫，晚潮叫汐汐，在通，在通常情況下，船在漲潮時候駛進(jìn)航道，靠近船塢；常情況下，船在漲潮時候駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋，

6、下面給出了某港在某季卸貨后落潮時返回海洋，下面給出了某港在某季節(jié)每天幾個時刻的水深節(jié)每天幾個時刻的水深. (1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近與時間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點時的水深的近似值似值;時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m時刻時刻水深水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.08(2) 一條貨船的吃水深度一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離船底與水面的距離)為為4m，安全條例規(guī)定至少要有安全條

7、例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙的安全間隙(船底與海船底與海底的距離底的距離)，該船何時能進(jìn)入港口？，該船何時能進(jìn)入港口？(3) 若船的吃水深度為若船的吃水深度為4m，安全間隙為，安全間隙為1.5m的的 ，該船在該船在2：00開始卸貨，吃水深度以每小時開始卸貨，吃水深度以每小時0.3m的的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？將船駛向較深的水域？分析分析 (1)考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定考察數(shù)據(jù)，可選用正弦函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解；系數(shù)法求解； (2)在涉及三角不等式時，可利用圖象求解在涉及三角不等式時，可利用圖象求

8、解. 解解 (1)可設(shè)所求函數(shù)為可設(shè)所求函數(shù)為f(x)=Asinx+k，由已知數(shù)由已知數(shù)據(jù)求得據(jù)求得A=2.5，k=5，T=12，故故f(x)=2.5sin( x)+5.62 =T6，xyO241261839152152.57.59在整點時的水深近似為在整點時的水深近似為:1:00；5:00；13:00；17:00為為 6.3m；2:00；4:00；14：00；16:00為為 7.2m；7:00；11:00；19:00；23:00為為 3.7m；8:00；10:00；20:00；22:00為為 2.8m；(2) 由由2.5sin( x)+55.5，得得6s in 0 .26x畫畫出出y=sin

9、( x)的的圖圖象象，(如如圖圖所所示示)由由圖圖象象可可得得65101520 xyO1-1y=sin( x)6y=0.2 0.4 x5.6， 或或 12.4x17.6.TT105101520 xyO1-1y=sin( x)6y=0.12x+0.44故該船在故該船在0：24至至5：36和和12：24至至17：36期間可期間可以進(jìn)港以進(jìn)港.(3) 若若2x24, x時刻吃水深度為時刻吃水深度為h(x)=40.3(x2)，由由f(x)h(x)+1.5，得得sin x 0 .4 40 .1 2 x .6 畫畫出出y=sin 和和y=0.440.12x的的圖圖象象(如如圖圖)，6x 由圖象可知當(dāng)由圖象

10、可知當(dāng)x=6.7時，即時，即6：42時，該船必須停時，該船必須停止卸貨，將船駛向較深的水域止卸貨，將船駛向較深的水域.11 (04年湖北卷年湖北卷)設(shè)設(shè)y=f(t)是某港口的水的深度是某港口的水的深度y(cm)關(guān)于時間關(guān)于時間t(h)的函數(shù)的函數(shù)，其中其中0t24 ，下表是該港口下表是該港口某一天從某一天從0時至?xí)r至24時記錄的時間時記錄的時間t與水深與水深y的關(guān)系：的關(guān)系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1A經(jīng)長時間觀察，函數(shù)經(jīng)長時間觀察，函數(shù)y=f(t)的圖像可以近似地看作的圖像可以近似地看作成函數(shù)成函數(shù)y=Asin(x+)+k的圖像，下面函數(shù)中，最的圖像，下面函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是能近似表示表中數(shù)據(jù)間的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是 ( )6 A. y=3sin t+12 ，t0，24 B. y=3sin( t+ )+12，t0 ，24 C. y=3sin t+12，t0 ，24 D. y=3sin( t + )+12 ，t0，24612122要有挖山不要有挖山不止的精神！止的精神！12