第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列（教案）

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1、 二輪?數(shù)學(xué) 專題三 數(shù)列 第一講　等差數(shù)列、等比數(shù)列 [考情分析] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項(xiàng)公式在考查基本運(yùn)算、基本概念的同時(shí)，也注重對(duì)函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考查；對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考查主要是求解數(shù)列的等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的最大、最小值等問(wèn)題，主要是中低檔題；等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是高考考查的重點(diǎn). 年份 卷別 考查角度及命題位置 2017 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T4 Ⅱ卷 數(shù)學(xué)文化中的等比數(shù)列應(yīng)

2、用·T3 等差數(shù)列與裂項(xiàng)求和·T15 Ⅲ卷 等差數(shù)列與等比數(shù)列的運(yùn)算·T9 等比數(shù)列的基本運(yùn)算·T14 2016 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運(yùn)算·T3 等比數(shù)列的運(yùn)算及二次函數(shù)最值問(wèn)題·T15 2015 Ⅱ卷 等比數(shù)列的性質(zhì)·T4 數(shù)列的遞推關(guān)系式、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)·T16 [真題自檢] 1．(2017·高考全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．4 D．8 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， ∴∴d＝4，故選C. 答案：C 2．(2016·高考全國(guó)卷

3、Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 解析：法一：∵{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C. 答案：C 3．(2015·高考

4、全國(guó)卷Ⅱ)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A．21 B．42 C．63 D．84 解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42. 答案：B 4．(2016·高考全國(guó)卷Ⅰ改編)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為(　　) A．32 B．64 C．48 D．128 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝

5、q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝ 記t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時(shí)，t有最大值6. 又y＝2t為增函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64. 答案：B 5．(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. 解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．

6、∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－. 答案：－ 　 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [方法結(jié)論] 1．兩組求和公式 (1)等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． 2．在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量． [題組突破] 1．(2017·高考全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24　　　　　　 B．－3 C．3 D．8

7、 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項(xiàng)的和S6＝×6＝－24，故選A. 答案：A 2．(2017·貴陽(yáng)模擬)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3＋a9＝16，則S11＝(　　) A．88　　　　　　 B．48 C．96 D．176 解析：通解：依題意得S11＝＝＝＝88，選A. 優(yōu)解：依題意，可考慮將題目中的等差數(shù)列特殊化為常數(shù)列(注意慎用此方法)，即an＝8，因此S11＝88，選

8、A. 答案：A 3．(2017·陜西模擬)已知數(shù)列{an}，an＞0, 它的前n項(xiàng)和為Sn，且2a2是4a1與a3的等差中項(xiàng)．若{an}為等比數(shù)列，a1＝1，則S7＝________. 解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題意有a1＝1,4a2＝4a1＋a3，即4q＝4＋q2，故q＝2，則S7＝＝127. 答案：127 4．(2017·長(zhǎng)沙模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{bn}中，b1＝1，b2＝2，從數(shù)列{an}中取出第bn項(xiàng)記為cn，若{cn}是等比數(shù)列，求{bn}的前n項(xiàng)和． 解析：(1)設(shè)

9、等差數(shù)列{an}的公差為d， 依題意有， 解得a1＝1，d＝2， 從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1，n∈N*. (2)c1＝ab1＝a1＝1，c2＝ab2＝a2＝3， 從而等比數(shù)列{cn}的公比為3， 因此cn＝1×3n－1＝3n－1. 另一方面，cn＝abn＝2bn－1， 所以2bn－1＝3n－1， 因此bn＝. 記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn， 則Sn＝＝. [誤區(qū)警示] 在運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要注意判斷公比q是否為1，切忌盲目套用公式導(dǎo)數(shù)失誤． 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) [方法結(jié)論] 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì)：

10、 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性 質(zhì) (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 則am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q， 則am·an＝ap·aq； (2)an＝amqn－m； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sm≠0) 2.等差數(shù)列中利用中項(xiàng)求和． (1)若n為奇數(shù)，則Sn＝. (2)若n為偶數(shù)，則S 3．在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，有S偶－S奇＝nd，＝；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，有S奇－S偶＝a

11、n，＝. 4．在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，＝q. [題組突破] 1．(2017·洛陽(yáng)模擬)等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．9 D．10 解析：依題意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，∴a1a10＝10，又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1＜a10，∴a1＝1，a10＝10，d＝＝1，選A. 答案：A 2．(2017·江西紅色七校聯(lián)考)等比數(shù)列{an}滿足an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64

12、，則公比q為(　　) A. B. C．2 D．4 解析：通解：由已知可得aq6＝64，即a1q3＝8，得a4＝8，所以＋8q＝20，化簡(jiǎn)得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)，故q＝2，選C. 優(yōu)解：由已知可得，解得或(舍去)，故＝＝4＝q2，故q＝2，選C. 答案：C 3．(2017·江西高安中學(xué)等九校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值是(　　) A．1 B. C．－ D．－ 解析：{an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11

13、＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝， ∴tan＝tan＝tan＝tan(－)＝tan(－2π－)＝－tan＝－. 答案：D [誤區(qū)警示] 在等比數(shù)列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m…仍成等比數(shù)列的前提是Sm≠0，易忽視這一條件． 　 　 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 [方法結(jié)論] 1．證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法： (1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； (2)利用等差中項(xiàng)性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法： (1)利用定義，證明(n∈N*)為一

14、常數(shù)； (2)利用等比中項(xiàng)性質(zhì)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)． [典例]　(2017·玉溪模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式． 解析：(1)證明：∵an＋Sn＝n?、?， ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1?、? ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋S1＝1，∴a1＝，a1－1＝－， ∴＝，又cn＝an－1， ∴{cn

15、}是首項(xiàng)為－，公比為的等比數(shù)列． (2)由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n， ∴an＝cn＋1＝1－()n. ∴當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝an－an－1＝1－()n－[1－()n－1]＝()n－1－()n＝()n. 又b1＝a1＝也符合上式， ∴bn＝()n. [類題通法] 1．等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解決an與Sn關(guān)系問(wèn)題中的應(yīng)用 在已知an與Sn的關(guān)系問(wèn)題中，通常利用an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化為{an}中an與an－1或an＋1與an的關(guān)系，然后再求解其他問(wèn)題． 2．構(gòu)建新數(shù)列是解決遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式中的一種常用方法．如本例(1)問(wèn)中構(gòu)造{an－1}為等比數(shù)列． [演練沖關(guān)] 1

16、．(2017·華南師大附中測(cè)試)在數(shù)列{an}中，a1＝p，an＋1＝qan＋d(n∈N*，p，q，d是常數(shù))，則d＝0是數(shù)列{an}是等比數(shù)列的(　　) A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)d＝0，p＝0時(shí)，an＝0，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列，所以充分性不成立；當(dāng)q＝0，p＝d，d≠0時(shí)，an＝d，則數(shù)列{an}為公比為1的等比數(shù)列，所以必要性不成立．綜上所述，d＝0是數(shù)列{an}是等比數(shù)列的既不充分也不必要條件，故選D. 答案：D 2．(2017·臨川一中模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝3，an＋1＝an＋2n＋2. (

17、1)證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列； (2)證明：＋＋＋…＋＜1. 證明：(1)由an＋1＝an＋2n＋2得＝＋2， 即－＝2，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)知，＝3＋(n－1)×2＝2n＋1， ∴an＝n(2n＋1)， ∴＝＜＝－， ∴＋＋＋…＋＜(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－＜1， ∴＋＋＋…＋＜1. 　 　 等差、等比數(shù)列與其他知識(shí)的交匯 交匯點(diǎn)　數(shù)列與其他知識(shí)的交匯 數(shù)列在中學(xué)教材中既有相對(duì)獨(dú)立性，又有較強(qiáng)的綜合性，很多數(shù)列問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求解，一些題目常與函數(shù)、向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯結(jié)合，考查數(shù)列的基

18、本運(yùn)算與應(yīng)用． [典例1]　(2017·宜昌月考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝a1＋a2 016，且A，B，C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)點(diǎn)O)，則S2 016等于(　　) A．1 007　　　　　 B．1 008 C．2 015 D．2 016 解析：∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴a1＋a2 016＝1， ∴S2 016＝＝1 008，故選B. 答案：B [類題通法] 本題巧妙地將三點(diǎn)共線條件(＝x＋y且A，B，C三點(diǎn)共線?x＋y＝1)與等差數(shù)列的求和公式結(jié)合，解決的關(guān)鍵是抓住整體求值思想． [演練沖關(guān)] 1．(2017·銅仁質(zhì)檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a

19、3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為(　　) A. B. C．1 D．－ 解析：因?yàn)閍3a4a5＝3π＝a，所以a4＝，即log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝. 答案：B 創(chuàng)新點(diǎn)　新定義下數(shù)列的創(chuàng)新問(wèn)題 [典例2]　設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d＝________. 解析：

20、由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn＝，前2n項(xiàng)和為S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因?yàn)閿?shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d＝4. 答案：4 [類題通法] 解決新定義下數(shù)列問(wèn)題一般是直接扣定義進(jìn)行求解．本例的關(guān)鍵是抓住為非零常數(shù)來(lái)確定參數(shù)值． [演練沖關(guān)] 2．在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷： ①k不可能為0； ②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ④“等差比數(shù)列”中可以有無(wú)數(shù)項(xiàng)為0. 其中所有正確判斷的序號(hào)是________． 解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯(cuò)誤；當(dāng){an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時(shí)，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯(cuò)誤；數(shù)列0,1,0,1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無(wú)數(shù)多個(gè)0，所以④正確． 答案：①④ 9 / 9