【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率（精解精析）

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1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 概率（精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國甲卷理科)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空， 若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法， 所以2個(gè)0不相鄰的概率為． 故選：C． 2．(2021年高考全國乙卷理科)在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：如圖所示： 設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有

2、結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)?，其面積為． 設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積為，所以． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出． 3．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：對于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 方差為； 對于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 方差為； 對于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 方差為； 對于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)

3、的平均數(shù)為， 方差為． 因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大． 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 4．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè) 爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“——”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī) 取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】答案：A 解析：所有的重卦共有個(gè)，而恰有3個(gè)陽爻的重卦有個(gè)，所以所求概率為． 5．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)某群體中的每位成員使用移動(dòng)

4、支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：依題意可知，則，解得或 又，所以即，即 所以，故選B． 6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：不超過30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共

5、有種方法，因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，故概率，故選C． 7．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II．其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自1，II,III的概率分別記為則 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：如圖：設(shè)，∴，∴， ∴，∴，故選A． 8．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖,正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部

6、分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】設(shè)正方形邊長為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為．由圖形的對稱性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得,此點(diǎn)取自黑色部分的概率是,選B． 秒殺解析:由題意可知,此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例,由圖可知其概率,故選B． 【考點(diǎn)】幾何概型 【點(diǎn)評】對于幾何概型的計(jì)算,首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、面積、體積或時(shí)間),其次計(jì)算基本事件區(qū)域

7、的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計(jì)算． 9．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)從區(qū)間隨機(jī)抽取個(gè)數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成個(gè)數(shù)對，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】幾何概型問題：樣本空間 其面積為： 事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對”對應(yīng)的集合為： 其對應(yīng)區(qū)域面積為：，所以 所以，故選C． 10．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)某公司的班車在，，發(fā)車，小明在至之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是 (　　) (A)(

8、B)(C)(D) 【答案】B 【解析】如圖所示，畫出時(shí)間軸： 小明到達(dá)的時(shí)間會隨機(jī)的落在圖中線段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段或時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘 根據(jù)幾何概型，所求概率．故選B． 11．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0．6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為 (　　) A．0．648 B．432 C．0．36 D．0．312 【答案】A 解析：根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0．648，故選A． 考點(diǎn)：本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式與

9、互斥事件和概率公式 12．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0．75，連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0．6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 (　　) A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．45 【答案】A 解析：設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A． 考點(diǎn)：（1）條件概率的求法；。 難度：B 備注：易錯(cuò)題 13．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率 (　　) A． B． C

10、． D． 【答案】 D 解析:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)共有種, 周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;或間接解法:4位同學(xué)都在周六或周日參加公益活動(dòng)有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;選D． 考點(diǎn):(1)古典概型的概率(2)分類討論思想 難度:B 備注:高頻考點(diǎn) 二、填空題 14．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次

11、為“主主客客主客主” ．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率是 ． 【答案】答案： 解析：因?yàn)榧钻?duì)以4：1獲勝，故一共進(jìn)行5場比賽，且第5場為甲勝，前面4場比賽甲輸一場， 若第1場或第2場輸1場，則， 若第3場或第4場輸1場，則， 所以甲以4：1獲勝的概率是． 15．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 ． 【答案】 【命題意圖】本題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特征，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求

12、解能力． 【解析】隨機(jī)變量， 【知識拓展】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之一，隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題，正態(tài)分布和二項(xiàng)分 布都以小題出現(xiàn)，且在基礎(chǔ)題位置，難度較低，在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)不宜研究難題． 【考點(diǎn)】二項(xiàng)分布的期望與方差 【點(diǎn)評】判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)： （1）一是是否為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．在每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率是否均為P． 二是隨機(jī)變量是否為在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，且表示在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件恰好發(fā)生次的概率． 16．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)從個(gè)正整數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則＝________． 【答案】

13、8 解析：由題意，取出的兩個(gè)數(shù)只可能是1與4,2與3這兩種情況，∴在n個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)的總情況應(yīng)該是，． 考點(diǎn)：（1）10．5．2古典概型的概率問題； 難度： B 備注：高頻考點(diǎn) 17．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某個(gè)部件由三個(gè)電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為 【答案】 解析： 三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布 得：三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小

14、時(shí)的概率為 設(shè)A={超過1000小時(shí)時(shí)，元件1、元件2至少有一個(gè)正常}，B={超過1000小時(shí)時(shí)，元件3正常}，C={該部件的使用壽命超過1000小時(shí)}則 超過1000小時(shí)時(shí)元件1或元件2正常工作的概率， 而． 那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為P（C）=P（AB）=P（A）P（B）= 考點(diǎn)：（1）10．4．3互斥事件、對立事件的概率；（2）10．9．2相互獨(dú)立事件的概率；（3）10．9．7服從正態(tài)分布的概率計(jì)算 難度:B 備注：高頻考點(diǎn) 三、解答題 18．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽

15、簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為， (1)求甲連勝四場的概率； (2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率； (3)求丙最終獲勝的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）記事件甲連勝四場，則； （2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸， 則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為 ， 所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為； （3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸， 記事

16、件甲贏，記事件丙贏， 則甲贏的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲贏概率為． 由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等， 所以丙贏的概率為． 【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計(jì)算能力，屬于中等題． 19．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)分制乒乓球比賽，每贏一球得分，當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方平后，甲先發(fā)球，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束． 求； 求事件“且甲獲勝”的概率．

17、 【答案】；. 【官方解析】 就是平后，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此． 且甲獲勝，就是平后，兩人又打了個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得分，后兩球均為甲得分． 因此所求概率為 ． 【分析】 本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果； 本題首先可以通過題意推導(dǎo)出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果. 【解析】由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”， 所以. 由題意可知，

18、包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分” 所以. 【點(diǎn)評】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題. 20．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定，對于

19、每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X． (1)求X的分布列； (2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則()， 其中，，．假設(shè)，． (i)證明：為等比數(shù)列； (ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性． 【答案】（1）解：X的所有可能取值為， ． 所以的分布列為 X 0 1 P （

20、2）（i）由（1）得． 因此，故，即． 又因?yàn)?，所以為公比?，首項(xiàng)為的等比數(shù)列． （ii）由（i）可得 . 由于，故，所以． 表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗(yàn)方案合理． 21．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)(12分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位：億元)的折線圖． 為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時(shí)間變量的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型①：；

21、根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量的值依次為)建立模型②：． (1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 【答案】解析：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 （億元）． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 （億元）． （2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投

22、資額，的變化趨勢．2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． （ii）從計(jì)算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中一種或其他合理理由均可得分． 22．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)(12分)

23、某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)． (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． (i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;

24、(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 【答案】解析：（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為． 因此． 令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以的最大值點(diǎn)為． （2）由（1）知，． （i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即． 所以． （ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元． 由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)． 23．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)(12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸(單位：)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可

25、以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． (ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； (ⅱ)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95

26、 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和(精確到0．01)． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，． 【答案】(1),;(2)詳見解析． 【分析】(1)根據(jù)題設(shè)條件知一個(gè)零件尺寸在之內(nèi)的概率為,則零件的尺寸在之外的概率為,而,進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望．(2)(i)判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性,重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率大還是小,若小即合理;(ii)根據(jù)題設(shè)條件題出的估計(jì)值和的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)

27、,即為的估計(jì)值,剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方法,即為的估計(jì)值． 【解析】(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0．9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0．0026 故．因此． 的數(shù)學(xué)期望為． (2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0．0408,發(fā)生的概率很小．因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． (ii)由,得的估計(jì)值為,的估計(jì)值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外,因此需

28、對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． 剔除之外的數(shù)據(jù)9．22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 因此的估計(jì)值為 剔除之外的數(shù)據(jù),剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,因此的估計(jì)值為． 【考點(diǎn)】正態(tài)分布,隨機(jī)變量的期望和方差． 【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念,反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平,求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí),首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì),確定離散型隨機(jī)變量的所有取值,然后根據(jù)概率類型選擇公式,計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率,列出對應(yīng)的分布列,最后求出數(shù)學(xué)期望．正態(tài)分布是一種重要的分布,之前考過一次,尤其是正態(tài)分布的原則． 24．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)某超市計(jì)劃按月

29、訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表: 最高氣溫 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替

30、最高氣溫位于該區(qū)間的概率． (Ⅰ)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列; (Ⅱ)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值? 【答案】(Ⅰ)分布列略;(Ⅱ)n=300時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元． 【解析】(1)依題意可知的所有可能取值為 其中,, 所以的分布列為 (2)①當(dāng)時(shí):,此時(shí),當(dāng)時(shí)取到． ②當(dāng)時(shí): 若,則, 若時(shí),則 若時(shí),則 的分布列為 ∴ 此時(shí),當(dāng)時(shí)取到． ③

31、當(dāng)時(shí),若,則 若時(shí),則 若時(shí),則 的分布列為 ∴(元) ④當(dāng)時(shí),易知一定小于③的情況． 綜上,當(dāng)為瓶時(shí),的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值． 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布列;數(shù)學(xué)期望; 【點(diǎn)評】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率;要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布;并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì):一是 (i=1,2,);二是檢驗(yàn)分布列的正誤． 25．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為(單位：元)，繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如

32、下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 保費(fèi) 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 概率 0．30 0．15 0．20 0．20 0．10 0． 05 (I)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； (II)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率； (III)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（I）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于，故

33、． （II）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于，故， 又 因此所求概率為． （III）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為：． 26．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)(本小題滿分12分)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了

34、100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)． (I)求的分布列； (II)若要求，確定的最小值； (III)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 【答案】 (I) 16 17 18 19 20 21 22 (II) 19 (III) 【官方解答】(I)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器三年內(nèi)

35、需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0．2,0．4,0．2,0．2．從而 ，， ， ， 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 (II) 由(I)得，，故的最小值為19 (III)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元） 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ． 要令，， 則的最小值為19 可知當(dāng)時(shí)所需要的費(fèi)用的期望小于當(dāng)時(shí)所需要的費(fèi)用的期望∴故應(yīng)選． 【民間解答】⑴ 每臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11 記事件為第一臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件 記事件為第二臺機(jī)器3年內(nèi)換掉個(gè)零件

36、 由題知， 設(shè)2臺機(jī)器共需更換的易損零件數(shù)的隨機(jī)變量為 則的可能的取值為16，17，18，19，20，21，22 16 17 18 19 20 21 22 ⑵要令，， 則的最小值為19． ⑶購買零件所需費(fèi)用含兩部分： 一部分為購買機(jī)器時(shí)購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用 當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為 當(dāng)時(shí)，費(fèi)用的期望為 所以應(yīng)選用． 27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)(本題滿分12分)某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如

37、下： 地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 地區(qū)：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可)； (Ⅱ)根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級： 滿意度評分

38、低于70分 70分到89分 不低于90分 滿意度等級 不滿意 滿意 非常滿意 記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級高于地區(qū)用戶的滿意度等級”．假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求的概率． 【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）． 解析：（Ⅰ）兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖如下 通過莖葉圖可以看出，A地區(qū)用戶滿意度評分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評分的平均值；A地區(qū)用戶滿意度評分比較集中，B地區(qū)用戶滿意度評分比較分散． （Ⅱ）記表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”； 表示事件：“A地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”；

39、表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”； 表示事件：“B地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”． 則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，． ． 由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為，，，．故， ，，，故． 考點(diǎn)：1、莖葉圖和特征數(shù)；2、互斥事件和獨(dú)立事件． 28．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖: (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差． (i)

40、利用該正態(tài)分布,求; (ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間(187．8,212．2)的產(chǎn)品件數(shù),利用(i)的結(jié)果,求． 附:． 若~,則． 【答案】解析:(1)抽取產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為 (2)(ⅰ)由(1)知~,從而 ． (ⅱ)由(ⅰ)知,一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值為于區(qū)間的概率為 依題意知,所以． 考點(diǎn):(1)頻率分布直方圖的繪制及應(yīng)用;(2)離散型隨機(jī)變量的均值及方差;(3)正態(tài)分布的應(yīng)用;(4)數(shù)形結(jié)合思想 難度:C 備注:高頻考點(diǎn) 29．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)

41、經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如：若x∈[100,110)，則

42、取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的T的數(shù)學(xué)期望． 【答案】（1）; （2）0．7 ；（3）59 400 解析：(1)當(dāng)X∈[100,130)時(shí)，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000． 當(dāng)X∈[130,150]時(shí)，T＝500×130＝65 000． 所以 (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150． 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0．7，所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0．7． (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 0

43、00 65 000 P 0．1 0．2 0．3 0．4 所以E(T)＝45 000×0．1＋53 000×0．2＋61 000×0．3＋65 000×0．4＝59 400． 考點(diǎn)：（1）10．2．1頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用；（2）10．9．4離散型隨機(jī)變量的均值、方差； 難度： B 備注：典型題 30．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品

44、通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為0．5，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立 (1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； (2)已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【答案】（1）　　（2）見解析 解析：設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD)

45、,且AB與CD互斥， ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=6分 （Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且 P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==， ∴X的分布列為 X 400 500 800 P ……10分 EX=400×+500×+800×=506．25 ……12分 考點(diǎn)：(1）10．4．3互斥事件、對立事件的概率；（2）10．9．1

46、條件概率；（3）10．9．3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；（４）10．9．4離散型隨機(jī)變量的均值、方差． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn)、易錯(cuò)題 31．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售， 如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量 (單位：枝，)的函數(shù)解析式． (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13

47、 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． (i)若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求的分布列、 數(shù)學(xué)期望及方差． (ii)若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？ 請說明理由． 【答案】（1）　　?。ǎ玻?yīng)購進(jìn)17枝 解析：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 得： （2）（i）可取，， 的分布列為 （ii）購進(jìn)17枝時(shí)，當(dāng)天的利潤為 　　 得：應(yīng)購進(jìn)17枝 考點(diǎn)：（１）2．1．7求函數(shù)的解析式；（２）10．4．2隨機(jī)事件的頻率與概率（３）10．8．2離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用；（４）10．9．4離散型隨機(jī)變量的均值、方差． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn)