高考人教版數(shù)學理總復習練習:第七章 立體幾何 課時作業(yè)43 Word版含解析

上傳人:沈*** 文檔編號:77408798 上傳時間:2022-04-19 格式:DOC 頁數(shù):15 大?。?59.50KB
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1、 課時作業(yè)43 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點,則這四個點不共面的一個圖是( D ) 解析:A、B、C圖中四點一定共面,D中四點不共面. 2.(2019·煙臺質(zhì)檢)a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個命題中,真命題是( C ) A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面 B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交 C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等 D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c 解析:若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面

2、;若a⊥b,b⊥c,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確. 3.若m,n為兩條不重合的直線,α,β為兩個不重合的平面,則下列命題中正確的是( A ) ①若直線m,n都平行于平面α,則m,n一定不是相交直線; ②若直線m,n都垂直于平面α,則m,n一定是平行直線; ③已知平面α,β互相垂直,且直線m,n也互相垂直,若m⊥α,則n⊥β; ④若直線m,n在平面α內(nèi)的射影互相垂直,則m⊥n. A.② B.②③ C.①③ D.②④ 解析:對于①,m與n可能平行,可能相交,也可能異面,①錯誤; 對于②,由線面垂直的性質(zhì)定理可知,m與n一定平行,故②正確;

3、對于③,還有可能n∥β,n?β或n與β相交,③錯誤; 對于④,把m,n放入正方體中,如圖,取A1B為m,B1C為n,平面ABCD為平面α,則m與n在α內(nèi)的射影分別為AB與BC,且AB⊥BC.而m與n所成的角為60°,故④錯誤. 4.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線l,使l與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,這樣的直線l可以作( D ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 解析:如圖,連接體對角線AC1, 顯然AC1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都為. 聯(lián)想正方體的其他體對角線, 如連接BD1,則BD1與棱BC,BA,B

4、B1所成的角都相等, ∵BB1∥AA1,BC∥AD, ∴體對角線BD1與棱AB,AD,AA1所成的角都相等, 同理,體對角線A1C,DB1也與棱AB,AD,AA1所成的角都相等,過A點分別作BD1,A1C,DB1的平行線都滿足題意,故這樣的直線l可以作4條. 5.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,長為2的線段MN的一個端點M在棱DD1上運動,點N在正方體的底面ABCD內(nèi)運動,則MN的中點P的軌跡的面積是( D ) A.4π B.π C.2π D. 解析:連接DN,則△MDN為直角三角形, 在Rt△MDN中,MN=2,P為MN的中點, 連接DP,

5、則DP=1, 所以點P在以D為球心,半徑R=1的球面上, 又因為點P只能落在正方體上或其內(nèi)部,所以點P的軌跡的面積等于該球面面積的, 故所求面積S=×4πR2=. 6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在線段AD1上運動,則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是( D ) A.0<θ< B.0<θ≤ C.0≤θ≤ D.0<θ≤ 解析:連接CD1,CA. ∵A1B∥D1C,∴異面直線CP與A1B所成的角即為CP與D1C所成的角. ∵△AD1C是正三角形, ∴當P與A重合時,所成角最大,為. 又∵P不能與D1重合(此時D1C與A1B平行,不是異面直線)

6、, ∴θ∈,故選D. 7.如圖,ABCD-A1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,則下列結(jié)論正確的是( A ) A.A,M,O三點共線 B.A,M,O,A1不共面 C.A,M,C,O不共面 D.B,B1,O,M共面 解析:連接A1C1,AC,則A1C1∥AC, 所以A1,C1,C,A四點共面, 所以A1C?平面ACC1A1, 因為M∈A1C, 所以M∈平面ACC1A1, 又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上, 因為平面ACC1A1∩平面AB1D1=AO,所以M∈AO,所以A,M,O三點共

7、線. 8.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為( C ) A. B. C. D. 解析:解法一:取BC的中點Q,連接QN,AQ,易知BM∥QN, 則∠ANQ或其補角的余弦值即為所求, 設(shè)BC=CA=CC1=2, 則AQ=,AN=,QN=, ∴cos∠ANQ====. 解法二:以C1為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系, 設(shè)BC=CA=CC1=2, 則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2), ∴=(-1,0,-2),=(1

8、,-1,-2), ∴cos〈,〉====.故選C. 9.(2019·西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直. 以上四個命題中,正確命題的序號是?、冖邰堋? 解析:還原成正四面體A-DEF,其中H與N重合,A,B,C三點重合.如圖所示. 易知GH與EF異面,BD與MN異面. 又△GMH為等邊三角形, ∴GH與MN成60°角, 易證DE⊥AF,MN∥AF, ∴MN⊥DE. 因此正確的序號是②③④. 10.如圖,已知圓柱的

9、軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為  . 解析:取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接C1D,AD,如圖. 因為C是圓柱下底面弧AB的中點, 所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角,因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD. 因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形, 所以C1D=AD, 所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為. 11.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,P

10、A⊥底面ABC,D是PC的中點. 已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求: (1)三棱錐P-ABC的體積; (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值. 解:(1)S△ABC=×2×2=2, 三棱錐P-ABC的體積為 V=S△ABC·PA=×2×2=. (2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE, 則ED∥BC,所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角). 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2, cos∠ADE==. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. 12.如圖,已知二面角α-MN-β的大小為60°,菱形ABCD在平面β內(nèi),A,B兩點

11、在棱MN上,∠BAD=60°,E是AB的中點,DO⊥平面α,垂足為O. (1)證明:AB⊥平面ODE; (2)求異面直線BC與OD所成角的余弦值. 解:(1)證明,∵DO⊥α,AB?α, ∴DO⊥AB. 連接BD,由題意知,△ABD是正三角形. 又E是AB的中點,∴DE⊥AB. 而DO∩DE=D,∴AB⊥平面ODE. (2)∵BC∥AD,∴BC與OD所成的角等于AD與OD所成的角,即∠ADO是異面直線BC與OD所成的角. 由(1)知,AB⊥平面ODE,所以AB⊥OE. 又DE⊥AB,∴∠DEO是二面角α-MN-β的平面角,即∠DEO=60°. 不妨設(shè)AB=2,

12、則AD=2,易知DE=. 在Rt△DOE中,DO=DE·sin60°=. 連接AO,在Rt△AOD中,cos∠ADO===.故異面直線BC與OD所成角的余弦值為. 13.正四棱錐P-ABCD中,四條側(cè)棱長均為2,底面ABCD是正方形,E為PC的中點,若異面直線PA與BE所成的角為45°,則該四棱錐的體積是( D ) A.4 B.2 C. D. 解析:如圖所示,連接AC,BD. 設(shè)AC∩BD=O,連接PO,OE, ∵O,E分別是AC和PC的中點, ∴OE∥PA,OE=PA=1, 則∠BEO或其補角即為異面直線PA與BE所成的角. ∵底面ABCD是正方形,∴B

13、O⊥AC, 又PO⊥OB,PO∩AC=O, ∴BO⊥平面PAC,則BO⊥OE, ∴△BOE是等腰直角三角形,∴OB=OE=1, PO==,BC=, 則四棱錐P-ABCD的體積V=×()2×=,故選D. 14.如圖是三棱錐D-ABC的三視圖,點O在三個視圖中都是所在邊的中點,則異面直線DO和AB所成角的余弦值等于( A ) A. B. C. D. 解析:由三視圖及題意得如圖所示的直觀圖, 從A出發(fā)的三條線段AB,AC,AD兩兩垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC的中點,取AC中點E,連接DE,DO,OE,則OE=1,又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DO

14、E即為所求兩異面直線所成的角或其補角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是BC的中點,在直角三角形ABC中可以求得AO=,在直角三角形DAO中可以求得DO=.在三角形DOE中,由余弦定理得cos∠DOE==,故所求異面直線DO與AB所成角的余弦值為,故選A. 15.如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點,則在△ADE翻折過程中,下列四個命題中不正確的是?、邸?(填序號) ①BM是定值; ②點M在某個球面上運動; ③存在某個位置,使DE⊥A1C; ④存在某個位置,使MB∥平面A1DE. 解析:取DC的

15、中點F,連接MF,BF, 則MF∥A1D且MF=A1D,F(xiàn)B∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,所以M是在以B為球心,MB為半徑的球面上,可得①②正確;由MF∥A1D與FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE,可得④正確;若存在某個位置,使DE⊥A1C,則因為DE2+CE2=CD2,即CE⊥DE,因為A1C∩CE=C,則DE⊥平面A1CE,所以DE⊥A1E,與DA1⊥A1E矛盾,故③不正確. 16.如圖,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC⊥BC,2AC=2BC=CC1=4,點N為CC1的中點,P為

16、線段AC(包含端點)上一動點,給出以下四個結(jié)論: ①直線BP與直線B1A1為異面直線; ②P到平面A1B1N的距離是定值; ③A1P與B1N所成角最小為45°; ④B1P與平面A1PN所成角余弦值的最小值為. 其中正確結(jié)論的序號為?、邰堋? 解析:①若P點與A點重合,則BP∥B1A1,故①錯; ②記P到平面A1B1N的距離為h1,平面三角形A1PN的面積S△A1PN在變化,點B1到平面A1PN1的距離h2為定值,又三角形A1B1N的面積S△A1B1N為定值,所以VP-A1B1N=VB1-A1PN,即S△A1B1N·h1= S△A1PN·h2, 所以h1不是定值,②錯. ③如圖所示,建立空間直角坐標系,A1(0,0,0),P(0,y0,4),B1(2,2,0),N(0,2,2), =(0,y0,4),=(-2,0,2), 記A1P與B1N所成角為θ, 則cosθ==(0≤y0≤2),(cosθ)max=, 所以θ的最小值為45°. ④連接PC1.B1C1⊥平面AA1C1C,則∠B1PC1即為線面角,tan∠B1PC1=,B1C1為定值,當tan∠B1PC1最大時,PC1最小,cos∠B1PC1最小,所以當P與C重合時,(cos∠B1PC1)min=.

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