高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第二部分 壓軸題二 Word版含解析

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1、 壓軸題(二) 12．設(shè)實(shí)數(shù)m>0，若對(duì)任意的x≥e，不等式x2ln x－me≥0恒成立，則m的最大值是(　　) A． B． C．2e D．e 答案　D 解析　不等式x2ln x－me≥0?x2ln x≥me?xln x≥e?eln xln x≥e，設(shè)f(x)＝xex(x>0)，則f′(x)＝(x＋1)ex>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，因?yàn)?0，ln x>0，所以≤ln x，即m≤xln x對(duì)任意的x≥e恒成立，此時(shí)只需m≤(xln x)min，設(shè)g(x)＝xln x(x≥e)，g′(x)＝ln x＋1>0(x≥e)，所以g(x)在[e，＋∞)上為增函數(shù)，所以g(

2、x)min＝g(e)＝e，所以m≤e，即m的最大值為e.故選D. 16．祖暅?zhǔn)俏覈媳背瘯r(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之的兒子，他提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，這里的“冪”指水平截面的面積，“勢(shì)”指高，這句話的意思是兩個(gè)等高的幾何體，若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等，一般大型熱電廠的冷卻塔大都采用雙曲線型，設(shè)某雙曲線型冷卻塔是曲線－＝1(a>0，b>0)與直線x＝0，y＝0和y＝b所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得，如圖所示，試應(yīng)用祖暅原理類比求球體體積公式的方法，求出此冷卻塔的體積為________． 答案　πa2b 解析　如題圖，A點(diǎn)在雙曲線

3、上，B點(diǎn)在漸近線上，則圖中圓環(huán)的面積為πx－πx＝π－π2＝πa2，從而根據(jù)祖暅原理可知，該雙曲線型冷卻塔挖出一個(gè)以漸近線為母線的圓錐后的幾何體的體積等于底面半徑為a、高為b的圓柱的體積，所以此冷卻塔的體積為πa2b＋πa2b＝πa2b. 20．(2019·河南開封三模)已知函數(shù)f(x)＝ex－a，g(x)＝a(x－1)(常數(shù)a∈R)． (1)當(dāng)g(x)與f(x)的圖象相切時(shí)，求a的值； (2)設(shè)φ(x)＝f(x)－g(x2)，討論φ(x)在(0，＋∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 解　(1)設(shè)切點(diǎn)為A(x0，e－a)，因?yàn)閒′(x)＝ex，所以過A點(diǎn)的切線方程為y－e＋a＝e (x－x0)，即y＝

4、ex－x0e＋e－a， 由題意可得 解得a＝e. (2)由題意可得φ(x)＝ex－ax2，設(shè)函數(shù)h(x)＝1－ax2e－x，φ(x)在(0，＋∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與h(x)在(0，＋∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)>0，h(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，h′(x)＝ax(x－2)e－x，x∈(0,2)時(shí)，h′(x)<0；x∈(2，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，∴h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增．故h(2)＝1－是h(x)在(0，＋∞)上的最小值. ①若h(2)>0，即a<時(shí)，h(x)在(0，＋∞)上沒有零點(diǎn)； ②若h(2)＝0，即a＝時(shí)，h(x)在(0，＋∞

5、)上只有一個(gè)零點(diǎn)； ③若h(2)<0，即a>時(shí)，由于h(0)＝1，所以h(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)， 綜上，當(dāng)a<時(shí)，φ(x)在(0，＋∞)上沒有零點(diǎn)；當(dāng)a＝時(shí)，φ(x)在(0，＋∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>時(shí)，φ(x)在(0，＋∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)． 21．(2019·全國卷Ⅱ)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為－.記M的軌跡為曲線C. (1)求C的方程，并說明C是什么曲線； (2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點(diǎn)G. ①證明：△PQG是直角三角形； ②求△PQG面積的

6、最大值． 解　(1)由題意，得·＝－， 化簡(jiǎn)，得＋＝1(|x|≠2)， 所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)． (2)①證明：設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y＝kx(k>0)． 由得x＝±. 設(shè)u＝，則P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)． 于是直線QG的斜率為，方程為y＝(x－u)． 由 得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.(*) 設(shè)G(xG，yG)，則－u和xG是方程(*)的解， 故xG＝，由此，得yG＝. 從而直線PG的斜率為＝－. 所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形． ②由①，得|PQ|＝2u，|PG|＝， 所以△PQG的面積 S＝|PQ|·|PG|＝ ＝. 設(shè)t＝k＋， 則由k>0，得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)． 因?yàn)镾＝在[2，＋∞)上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)t＝2，即k＝1時(shí)，S取得最大值，最大值為. 因此，△PQG面積的最大值為.