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1、
考點(diǎn)二十三 不等式選講
解答題
1.已知函數(shù)f(x)=|x-1|-|x+2|.
(1)求不等式-22|m-n|.
解 (1)依題意,f(x)=|x-1|-|x+2|
=
由-2<-2x-1<0,解得-0,
所以|1-4mn|2>4|m-n|2,故|1-4mn|>2|m-n|.
2.已知f(x
2、)=|x-2|-|x-a|.
(1)當(dāng)a=-4時(shí),解不等式f(x)<1;
(2)當(dāng)a=4時(shí),求直線y=x-2與函數(shù)f(x)的圖象圍成的平面圖形的面積.
解 (1)當(dāng)a=-4時(shí),f(x)=|x-2|-|x+4|<1,
∴
解得x>2或-
3、=kx-2與函數(shù)f(x)的圖象有公共點(diǎn),求k的取值范圍.
解 (1)由f(x)≤2,得或
或解得0≤x≤5,
故不等式f(x)≤2的解集為[0,5].
(2)f(x)=|x-4|+|x-1|-3=
作出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,直線y=kx-2過定點(diǎn)C(0,-2),當(dāng)此直線經(jīng)過點(diǎn)B(4,0)時(shí),k=;
當(dāng)此直線與直線AD平行時(shí),k=-2.
故由圖可知,k∈(-∞,-2)∪.
4.(2019·河北石家莊二模)設(shè)函數(shù)f(x)=|x-2|+|2x-a|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥3的解集;
(2)當(dāng)f(x)=|x-a+2|時(shí),求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解 (1)
4、當(dāng)a=1時(shí),
f(x)=|x-2|+|2x-1|=
不等式f(x)≥3可化為
或或
解得不等式的解集為(-∞,0]∪[2,+∞).
(2)由絕對(duì)值的三角不等式,可得
f(x)=|x-2|+|2x-a|≥|2x-a-(x-2)|
=|x-a+2|,
當(dāng)且僅當(dāng)(2x-a)(x-2)≤0時(shí),取“=”,
所以當(dāng)a≤4時(shí),x的取值范圍為≤x≤2;
當(dāng)a>4時(shí),x的取值范圍為2≤x≤.
5.(2019·河南八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=m|x-1|.
(1)若m=1,求不等式f(x)≤x2+1的解集;
(2)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),不等式f(x)
5、(1)由題意,不等式|x-1|≤x2+1,可得-x2-1≤x-1≤x2+1,
即解得x≤-1或x≥0,
所以不等式的解集為{x|x≤-1或x≥0}.
(2)因?yàn)?0,即m>-,
又因?yàn)間(x)=-在(0,1)是增函數(shù),
所以g(x)<-1,所以m≥-1.
6.(2019·廣東潮州二模)已知f(x)=2|x-2|+|x+1|.
(1)求不等式f(x)<6的解集;
(2)設(shè)m,n,p為正實(shí)數(shù),且m+n+p=f(3),求證:mn+np+pm≤12.
解 (1)①當(dāng)x≥2時(shí),f(x
6、)=2x-4+x+1=3x-3,
由f(x)<6,∴3x-3<6,∴x<3,即2≤x<3.
②當(dāng)-1-1,即-1-1,無解,
綜上,不等式f(x)<6的解集為(-1,3).
(2)證明:∵f(x)=2|x-2|+|x+1|,∴f(3)=6,
∴m+n+p=f(3)=6,且m,n,p為正實(shí)數(shù),
∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=36,
∵m2+n2≥2mn,m
7、2+p2≥2mp,n2+p2≥2np,
∴m2+n2+p2≥mn+mp+np,
∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np≥3(mn+mp+np),
又m,n,p為正實(shí)數(shù),∴mn+np+pm≤12.
解答題
1.(2019·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)=|x-a|+|2x-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)≤2的解集;
(2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含集合,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|x-1|+|2x-1|,
f(x)≤2?|x-1|+|2x-1|≤2,
可化為或
或
解得或或
∴0≤x≤或
8、≤x≤,
∴原不等式的解集為.
(2)∵f(x)≤|2x+1|的解集包含集合,
∴當(dāng)x∈時(shí),不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,
即|x-a|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈上恒成立,
∴|x-a|+2x-1≤2x+1,即|x-a|≤2,
∴-2≤x-a≤2,
∴x-2≤a≤x+2在x∈上恒成立,
∴(x-2)max≤a≤(x+2)min,
∴-1≤a≤,∴a的取值范圍是.
2.(2019·河南許昌、洛陽第三次質(zhì)檢)已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.
(1)當(dāng)a=-1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)
9、成立,求a的取值范圍.
解 (1)當(dāng)a=-1時(shí)原不等式可化為|x+1|-2|x|≥-1,
設(shè)φ(x)=|x+1|-2|x|=
則或或
即-≤x≤2.
∴原不等式的解集為.
(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,
等價(jià)于|x+1|≥2|x|+a有解,
由(1)即φ(x)≥a有解,即a≤φ(x)max,
由(1)可知,φ(x)在(-∞,0)單調(diào)遞增,在[0,+∞)單調(diào)遞減.
∴φ(x)max=φ(0)=1,∴a≤1.
3.已知函數(shù)f(x)=3|x-a|+|3x+1|,g(x)=|4x-1|-|x+2|.
(1)求不等式g(x)<6的解集;
(2)若存在x1,
10、x2∈R,使得f(x1)和g(x2)互為相反數(shù),求a的取值范圍.
解 (1)∵g(x)=
當(dāng)x≤-2時(shí),-3x+3<6,
解得x>-1,此時(shí)無解,
當(dāng)-2-,即-時(shí),3x-3<6,
解得x<3,即
11、3a+1|≤,解得-≤a≤.
故a的取值范圍為.
4.設(shè)函數(shù)f(x)=|2x+a|-(x∈R,實(shí)數(shù)a>0).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)<0的解集;
(2)函數(shù)f(x)的最小值為m,求證:m5-1≤m3-m2.
解 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=|2x+1|-<0,
即|2x+1|<,
兩邊平方可得(2x+1)2<2,
解得x∈.
故原不等式的解集為.
(2)證明:f(x)=
所以f(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),
f(x)的最小值m=f
=-≤-2=-1,當(dāng)且僅當(dāng)=即a=1時(shí)取等號(hào).
所以m3+1≤0,m2-1≥0,
所以m5-1-(m3-m2)=m3(
12、m2-1)-1+m2=(m3+1)(m2-1)≤0.所以m5-1≤m3-m2.
5.(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|3x-2|-|2x-3|.
(1)求不等式f(x)>x的解集;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<2a2+a恰有3個(gè)整數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)由題意,函數(shù)f(x)=|3x-2|-|2x-3|,
得f(x)=
因?yàn)閒(x)>x,所以當(dāng)x≤時(shí),-x-1>x,
即x<-;當(dāng)x,即x,即x≥.
所以不等式f(x)>x的解集為∪.
(2)由(1)知f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為,又
13、f(-2)=1,f(-1)=0,f(0)=-1,f(1)=0,f(2)=3,
所以0<2a2+a≤1,所以-1≤a<-或0