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1、
解答題(四)
17.(2019·河北石家莊二模)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且S5=3a3,a4+a6=8.
(1)求an;
(2)設(shè)bn=2n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以S5=5a3,
又S5=3a3,∴a3=0,
由a4+a6=8=2a5,得a5=4,所以a5-a3=2d=4,解得d=2, 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a3+(n-3)d=2(n-3).
(2)由(1)得bn=2n·an=(n-3)·2n+1,
Tn=(-2)·22+(-1)·23+0·24+…+(n-3)·2n+1,
2、2Tn=(-2)·23+(-1)·24+…+(n-4)·2n+1+(n-3)·2n+2,
兩式相減得2Tn-Tn=2·22-(23+24+…+2n+1)+(n-3)·2n+2=8-+(n-3)·2n+2=(n-4)·2n+2+16,即Tn=(n-4)·2n+2+16.
18.(2019·江西省名校5月聯(lián)考)已知空間幾何體ABCDE中,△BCD與△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,△ABC為腰長(zhǎng)為的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD.
(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使直線上任意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行,并給出詳細(xì)證明;
(2)求直線BE與平面A
3、EC所成角的正弦值.
解 (1)如圖所示,分別取BC和BD的中點(diǎn)H,G,作直線HG,則HG為所求直線.
證明如下:因?yàn)辄c(diǎn)H,G分別為BC和BD的中點(diǎn),所以HG∥CD,取CD的中點(diǎn)O,連接EO,AH,則EO⊥CD,AH⊥BC,因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面BCD,且EO⊥CD,所以EO⊥平面BCD,又平面ABC⊥平面BCD,AH⊥BC,則AH⊥平面BCD,所以EO∥AH.
又AH?平面CDE,EO?平面CDE,
所以AH∥平面CDE.
因?yàn)镚H∥CD,GH?平面CDE,CD?平面CDE,
所以GH∥平面CDE,
因?yàn)锳H,GH?平面AGH,AH∩GH=H,
則平面AHG∥平面CDE,
4、
所以直線HG上任意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行.
(2)連接OB,以CD的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OD所在直線為x軸,OB所在直線為y軸,OE所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.
則C(-1,0,0),E(0,0,),B(0,,0),A,=(0,-,),
設(shè)平面AEC的法向量為n=(x,y,z),
則
取得n=(-,-3,1).
則cos〈,n〉==.
所以直線BE與平面AEC所成角的正弦值為.
19.(2019·四川綿陽(yáng)三診)甲、乙兩家物流公司都需要進(jìn)行貨物中轉(zhuǎn),由于業(yè)務(wù)量擴(kuò)大,現(xiàn)向社會(huì)招聘貨車(chē)司機(jī),其日工資方案如下:甲公司,底薪80元,司機(jī)每中轉(zhuǎn)一車(chē)貨物另計(jì)4元;乙
5、公司無(wú)底薪,中轉(zhuǎn)40車(chē)貨物以?xún)?nèi)(含40車(chē))的部分司機(jī)每車(chē)計(jì)6元,超出40車(chē)的部分,司機(jī)每車(chē)計(jì)7元.假設(shè)同一物流公司的司機(jī)一天中轉(zhuǎn)貨物的車(chē)數(shù)相同,現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名貨車(chē)司機(jī),并分別記錄其50天的中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù),得到如下頻數(shù)表:
甲公司貨車(chē)司機(jī)中轉(zhuǎn)貨物車(chē)數(shù)頻數(shù)表
日中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)
38
39
40
41
42
天數(shù)
10
15
10
10
5
乙公司貨車(chē)司機(jī)中轉(zhuǎn)貨物車(chē)數(shù)頻數(shù)表
日中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)
38
39
40
41
42
天數(shù)
5
10
10
20
5
(1)現(xiàn)從記錄甲公司的50天貨物中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)中隨機(jī)抽取3天的中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù),求這3天中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)都不小于40的概
6、率;
(2)若將頻率視為概率,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:
①記乙公司貨車(chē)司機(jī)日工資為X(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);
②小王打算到甲、乙兩家物流公司中的一家應(yīng)聘,如果僅從日工資的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇,并說(shuō)明理由.
解 (1)設(shè)“這三天中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)都不小于40”的事件為A,
則P(A)==.
(2)①設(shè)乙公司貨車(chē)司機(jī)日中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)為t,則
X=
則X的所有取值分別為228,234,240,247,254,其分布列為:
日工資
228
234
240
247
254
概率P
∴E(X)=228×+234×+240×+24
7、7×+254×=241.8.
②設(shè)甲公司貨車(chē)司機(jī)日工資為Y,日中轉(zhuǎn)車(chē)數(shù)為μ,則Y=4μ+80,
則Y的所有可能取值為232,236,240,244,248,則分布列為:
日工資
232
236
240
244
248
概率P
E(Y)=232×+236×+240×+244×+248×=238.8.
由E(X)>E(Y)知,若僅從日工資的角度考慮,小王應(yīng)該選擇乙公司.
20.(2019·遼寧沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,M(-2,y0)是C上一點(diǎn),且|MF|=2.
(1)求C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線
8、C相交于A,B兩點(diǎn),分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作拋物線C的切線l1,l2,兩條切線相交于點(diǎn)P,點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,判斷四邊形PAQB是否存在外接圓,如果存在,求出外接圓面積的最小值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)根據(jù)題意知,4=2py0,?、?
因?yàn)閨MF|=2,所以y0+=2, ②
聯(lián)立①②解得y0=1,p=2.
所以拋物線C的方程為x2=4y.
(2)四邊形PAQB存在外接圓.
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入x2=4y中,
得x2-4kx-4=0,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),
則Δ=16k2+16>0,且x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以|A
9、B|=|x1-x2|=4(k2+1),
因?yàn)镃:x2=4y,即y=,所以y′=.
因此,切線l1的斜率為k1=,切線l2的斜率為k2=,
由于k1k2==-1,所以PA⊥PB,即△PAB是直角三角形,所以△PAB的外接圓的圓心為線段AB的中點(diǎn),線段AB是圓的直徑,
所以點(diǎn)Q一定在△PAB的外接圓上,即四邊形PAQB存在外接圓.又因?yàn)閨AB|=4(k2+1),所以當(dāng)k=0時(shí),線段AB最短,最短長(zhǎng)度為4,此時(shí)圓的面積最小,最小面積為4π.
21.(2019·安徽皖南八校聯(lián)考三)已知函數(shù)f(x)=aln (x+1)-x-1,其中a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)令函數(shù)g
10、(x)=f(x)+ex,若x∈[0,+∞)時(shí),g(x)≥0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)由x+1>0得x>-1,可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞).
由f′(x)=-1=-.
①當(dāng)a-1≤-1時(shí),a≤0,f′(x)<0,可得函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(-1,+∞),沒(méi)有增區(qū)間;
②當(dāng)a-1>-1時(shí),a>0,令f′(x)>0得-1
11、有h(x)≥h(0)=0,可知當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),ex-x-1≥0.又當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),ln (x+1)≥0,故當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),g(x)≥0.
②當(dāng)a<0時(shí),g′(x)=+ex-1,
可知函數(shù)y=+ex-1(x>-1)為增函數(shù).
由g′(0)=a<0,由①知當(dāng)x≥0時(shí),ex-1≥x,有g(shù)′(x)≥+x=>,可知當(dāng)x>-a時(shí),g′(x)>0.由上可知存在x0∈(0,-a),使得g′(x0)=0,故函數(shù)g(x)的減區(qū)間為(-1,x0),增區(qū)間為(x0,+∞),又由g(0)=0,可得當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),g(x)<0,不符合題意.由上可知,所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0,+∞).
2
12、2.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓錐曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,曲線C2的極坐標(biāo)方程為(ρcosφ+k)2+(ρsinφ-2)2=k2+25(φ為參數(shù),k∈R).
(1)寫(xiě)出C1,C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)是否存在曲線C2包圍曲線C1?請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 (1)C1:+=1,C2:x2+y2+2kx-4y-21=0.
(2)若k≥0,由62+02+12k-0-21=15+12k>0可知點(diǎn)(6,0)在曲線C2外;
若k<0,(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0可知點(diǎn)在曲線C2外.
綜上,無(wú)論k取何值,曲線C2都不能包圍曲線C1.
23.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|,g(x)=|x+1|.
(1)在圖中畫(huà)出f(x)和g(x)的圖象,并寫(xiě)出不等式f(x)>g(x)的解集;
(2)若|f(x)-2g(x)|≤a(a∈R)恒成立,求a的取值范圍.
解 (1)f(x),g(x)的圖象如圖,不等式f(x)>g(x)的解集為.
(2)|f(x)-2g(x)|=||2x+1|-2|x+1||
=
所以|f(x)-2g(x)|≤1,所以a≥1.