高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔：第二部分 解答題四 Word版含解析

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1、 解答題(四) 17．(2019·全國卷Ⅱ)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝2，a3＝2a2＋16. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． 解　(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0. 解得q＝－2(舍去)或q＝4. 因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an＝2×4n－1＝22n－1. (2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為1＋3＋…＋(2n－1)＝n2. 18．(2019·北京人大附中信息卷二)某綠色有機(jī)水果店中一款有機(jī)草莓，味道鮮甜．

2、店家每天以每斤10元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)適量草莓，然后以每斤20元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的草莓由果汁廠以每斤2元的價(jià)格回收． (1)若水果店一天購進(jìn)17斤草莓，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：斤，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)水果店記錄了100天草莓的日需求量(單位：斤)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 14 22 14 16 15 13 6 ①假設(shè)水果店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17斤草莓，求這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)； ②若水果店一天購進(jìn)17斤草莓，以100天記錄的各需求量的頻

3、率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不少于150元的概率． 解　(1)當(dāng)日需求量n≥17時(shí)，利潤y＝17×10＝170；當(dāng)日需求量n≤16時(shí)，利潤y＝10n－8(17－n)＝18n－136. 所以當(dāng)天的利潤y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為 y＝ (2)①假設(shè)水果店在這100天內(nèi)每天購進(jìn)17斤草莓，則日需求量為14斤時(shí)，利潤為116；日需求量為15斤時(shí)，利潤為134；日需求量為16斤時(shí)，利潤為152；日需求量不小于17時(shí)，利潤為170. 故這100天的日利潤(單位：元)的平均數(shù)為 ＝×(14×116＋22×134＋14×152＋16×170＋15×170＋13×170＋6×170)

4、，解得＝152(元)． ②利潤不低于150元時(shí)，當(dāng)日需求量當(dāng)且僅當(dāng)不少于16斤．以頻率預(yù)估概率，得當(dāng)天的利潤不少于150元的概率為p＝0.14＋0.16＋0.15＋0.13＋0.06＝0.64. 19．(2019·江西省名校5月聯(lián)考)已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長為2的等邊三角形，△ABC為腰長為的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD. (1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使直線上任意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行，并證明； (2)求點(diǎn)B到平面AEC的距離． 解　(1)如圖所示，分別取BC和BD的中點(diǎn)H，G，作直線HG，則HG為

5、所求直線． 證明如下：因?yàn)辄c(diǎn)H，G分別為BC和BD的中點(diǎn)，所以HG∥CD，分別取CD，BC的中點(diǎn)O，H，連接EO，AH，則EO⊥CD，AH⊥BC，因?yàn)槠矫鍯DE⊥平面BCD，且EO⊥CD，∴EO⊥平面BCD，又平面ABC⊥平面BCD，AH⊥BC，則AH⊥平面BCD，所以EO∥AH，又AH?平面CDE，EO?平面CDE，所以AH∥平面CDE.因?yàn)镚H∥CD，GH?平面CDE，CD?平面CDE，所以GH∥平面CDE，因?yàn)锳H，GH?平面AGH，AH∩GH＝H，則平面AHG∥平面CDE，所以直線HG上任意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行． (2)由(1)可得EO∥AH，即EO∥平面AB

6、C，所以點(diǎn)E到平面ABC的距離和點(diǎn)O到平面ABC的距離相等，連接DH，則DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，則DH⊥平面ABC. 記點(diǎn)E到平面ABC的距離為d，則d＝DH＝，又△ABC的面積S＝×2×＝2，△ACE的面積S1＝××＝，因?yàn)閂E－ABC＝VB－ACE，設(shè)點(diǎn)B到平面AEC的距離為h，所以×2×＝××h， 解得h＝.即點(diǎn)B到平面AEC的距離為. 20．已知拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，拋物線C上的點(diǎn)M(2，y0)到F的距離為3. (1)求拋物線C的方程； (2)斜率存在的直線l與拋物線相交于相異兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

7、x1＋x2＝4，若AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)G，且·＝5，求直線l的方程． 解　(1)由拋物線定義知|MF|＝2＋， 所以2＋＝3，p＝2， 所以，拋物線C的方程為y2＝4x. (2)解法一：設(shè)AB中點(diǎn)坐標(biāo)(2，m)，直線l的斜率存在，所以m≠0，kAB＝＝＝， 所以直線AB的方程為y－m＝(x－2)． 即2x－my＋m2－4＝0. 由得y2－2my＋2m2－8＝0， 其中Δ>0得到m2<8， AB的垂直平分線方程為y－m＝－(x－2)， 令y＝0，得x＝4， 所以G(4,0)，＝(x1－4，y1)，＝(x2－4，y2)， 因?yàn)椤ぃ?，所以(x1－4)(x2－4)＋y1

8、y2＝5， x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2＝5，－4×4＋16＋y1y2＝5.?、? 把②代入③得(m2－4)2＋8(m2－4)－20＝0， (m2＋6)·(m2－6)＝0，m2＝6<8，m＝±. 所以，直線l的方程為2x－y＋2＝0或2x＋y＋2＝0. 解法二：設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m. 由消y得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0或消x得ky2－4y＋4m＝0. 則即2k2＋mk＝2.?、? AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2k＋m)，AB的垂直平分線方程為y－(2k＋m)＝－(x－2)． 令y＝0，xG＝2k2＋mk＋2＝4， 所以·＝(x1－4，y1)·(x2－4

9、，y2)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2＝－16＋16＋＝5， ＋－5＝0. 解得m＝k或m＝－5k，分別代入①得3k2＝2(符合Δ>0)或3k2＝－2(舍去)． 所以，直線l的方程為2x－y＋2＝0或2x＋y＋2＝0. 21．(2019·安徽皖南八校聯(lián)考三)已知函數(shù)f(x)＝aln x－(a2＋1)x＋ax2，其中a∈R. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)＋x＞0對x＞1恒成立，求a的取值范圍． 解　(1)由題意，得f′(x)＝－a2－1＋ax＝(x＞0)， 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，沒有單調(diào)遞增區(qū)間． 當(dāng)0

10、＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＜x＜時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)0＜x＜a或x＞時(shí)，f′(x)＞0. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，，單調(diào)遞減區(qū)間為. 當(dāng)a＝1時(shí)，f′(x)≥0對x＞0成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，沒有單調(diào)遞減區(qū)間． 當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)＜x＜a時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)0＜x＜或x＞a時(shí)，f′(x)＞0. ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，(a，＋∞)， 單調(diào)遞減區(qū)間為. (2)f(x)＋x＞0，即aln x－a2x＋ax2＞0，當(dāng)a＞0時(shí)，ln x－ax＋x2＞0，a＜＋x， 令g(x)＝＋x，x≥1，則g′(x)＝＋＝，令h(x)＝2－2ln x＋x2，則h′(x)

11、＝2x－，當(dāng)x≥1時(shí)，h′(x)≥0，h(x)是增函數(shù)，h(x)≥h(1)＝3＞0，∴g′(x)＞0. ∴當(dāng)x≥1時(shí)，g(x)是增函數(shù)，g(x)的最小值為g(1)＝，∴0＜a≤. 當(dāng)a＝0時(shí)，顯然f(x)＋x＞0不成立，當(dāng)a＜0時(shí)，由g(x)的最小值為，且g(x)沒有最大值，得a＞g(x)不成立，綜上，a的取值范圍是. 22．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓錐曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位，曲線C2的極坐標(biāo)方程為(ρcosφ＋k)2＋(ρsinφ－2)2＝k2＋25(φ為參數(shù)，k∈R)． (1)寫出C1，C2的直

12、角坐標(biāo)方程； (2)是否存在曲線C2包圍曲線C1？請說明理由． 解　(1)C1：＋＝1，C2：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0. (2)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0可知點(diǎn)(6,0)在曲線C2外； 若k<0，(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0可知點(diǎn)在曲線C2外． 綜上，無論k取何值，曲線C2都不能包圍曲線C1. 23．已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|，g(x)＝|x＋1|. (1)在圖中畫出f(x)和g(x)的圖象，并寫出不等式f(x)>g(x)的解集； (2)若|f(x)－2g(x)|≤a(a∈R)恒成立，求a的取值范圍． 解　(1)f(x)，g(x)的圖象如圖，不等式f(x)>g(x)的解集為. (2)|f(x)－2g(x)|＝||2x＋1|－2|x＋1|| ＝ 所以|f(x)－2g(x)|≤1，所以a≥1.