高考數(shù)學大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第一部分 考點十六 直線與圓錐曲線綜合問題

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1、 考點十六　直線與圓錐曲線綜合問題 一、選擇題 1．(2019·安徽蕪湖模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，右焦點到一條漸近線的距離為，則此雙曲線的焦距等于(　　) A． B．2 C．3 D．6 答案　B 解析　由題意得焦點F(c,0)到漸近線bx＋ay＝0的距離為d＝＝＝b，即b＝，又＝，c2＝a2＋b2，可解得c＝，∴該雙曲線的焦距為2c＝2，故選B. 2．拋物線有如下光學性質(zhì)：由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點．若拋物線y2＝4x的焦點為F，一平行于x軸的光線從

2、點M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則直線AB的斜率為(　　) A． B．－ C．± D．－ 答案　B 解析　由題意可設(shè)點A的坐標為(x0,1)，代入y2＝4x得12＝4x0，x0＝，又焦點F的坐標為(1,0)，所以kAB＝kAF＝＝－，故選B. 3．(2019·河南安陽二模)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，右頂點為A，直線x＝a與雙曲線的一條漸近線的交點為B.若∠BFA＝30°，則雙曲線的離心率為(　　) A． B． C．2 D．3 答案　C 解析　由題意可得A(a,0)，雙曲線的漸近線方程為ay±bx＝0，不妨設(shè)B點為

3、直線x＝a與y＝x的交點，則B點的坐標為(a，b)，因為AB⊥FA，∠BFA＝30°，所以tan∠BFA＝＝＝＝，解得e＝2，故選C. 4．(2019·四川五校高三聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F，短軸的一個端點為P，直線l：4x－3y＝0與橢圓C相交于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝6，點P到直線l的距離不小于，則橢圓C的離心率的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AF′BF是平行四邊形，可得6＝|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝2a，得a＝3，取P(0，b)，由點P

4、到直線l的距離不小于，可得≥，解得|b|≥2. 所以e＝＝≤ ＝，故選C. 5．已知圓O：x2＋y2＝4，從圓上任意一點P向y軸作垂線段PP1(P1在y軸上)，點M在直線PP1上，且向量＝2，則動點M的軌跡方程是(　　) A．4x2＋16y2＝1 B．16x2＋4y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案　D 解析　由題可知P是MP1的中點，設(shè)點M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，則又x＋y＝4，故2＋y2＝4，即＋＝1.故選D. 6．(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知F是橢圓C：＋＝1的右焦點，P為橢圓C上一點，A(1,2)，則|PA|＋|PF|的最大值為(　　

5、) A．4＋ B．4 C．4＋ D．4 答案　D 解析　如圖，設(shè)橢圓的左焦點為F′，則 |PF|＋|PF′|＝2，又F′(－1,0)， |AF′|＝ ＝2， ∴|PA|＋|PF|＝2＋|PA|－|PF′|，根據(jù)圖形可以看出||PA|－|PF′||≤|AF′|，∴當P在線段AF′的延長線上時，|PA|－|PF′|最大，為|AF′|＝2， ∴|PA|＋|PF|的最大值為2＋2＝4，故選D. 7．已知拋物線y2＝4x上有10個不同的點，坐標分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，P10(x10，y10)，且橫坐標x1，x2，x3，…，x10成等差數(shù)列，x2，x9為方程

6、x2－5x＋6＝0的兩個根，拋物線的焦點為F，則|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|的值為(　　) A．20 B．30 C．25 D．35 答案　D 解析　由x2，x9為方程x2－5x＋6＝0的兩個根，可知x2＋x9＝5，x1＋x2＋…＋x10＝＝＝25，|FP1|＋|FP2|＋…＋|FP10|＝x1＋x2＋…＋x10＋10＝35. 8．已知拋物線y2＝x，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，且直線AB與x軸交于點(a,0)，若∠AOB為銳角(其中O為坐標原點)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 答案　B

7、 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0>y2)，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋a，由得y2－my－a＝0，則y1＋y2＝m，y1y2＝－a，又因為∠AOB為銳角，所以·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2>0，因為y1y2<0，所以y1y2<－1，即a>1. 二、填空題 9．已知直角坐標系中A(－2,0)，B(2,0)，動點P滿足|PA|＝|PB|，則點P的軌跡方程為________，軌跡為________． 答案　x2＋y2－12x＋4＝0　一個圓 解析　設(shè)動點P的坐標為(x，y)，因為|PA|＝|PB|， 所以＝， 整理得x2＋y

8、2－12x＋4＝0，軌跡為一個圓． 10．已知P為橢圓＋＝1(a>b>0)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點，∠F1PF2取最大值時cos∠F1PF2＝，則橢圓的離心率為________． 答案　 解析　易知∠F1PF2取最大值時，點P為橢圓＋＝1與y軸的交點，由余弦定理及橢圓的定義得2a2－＝4c2，即a＝c，所以橢圓的離心率e＝＝. 11．已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點P在Γ上且|PK|＝|PF|，則△PKF的面積為________． 答案　8 解析　由已知得，F(xiàn)(2,0)，K(－2,0)，過P作PM垂直于準線，M為垂足，則|PM|＝|PF|，又|P

9、K|＝|PF|，所以|PM|＝|MK|＝|PF|，所以PF⊥x軸，△PFK的高等于|PF|，不妨設(shè)P(m2,2m)(m>0)，則m2＋2＝4，解得m＝，故△PFK的面積S＝4×2××＝8. 12．(2019·山東濰坊三模)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，左頂點為A，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交C的右支于M，N兩點，且線段AM的垂直平分線經(jīng)過點N，則C的離心率為________． 答案　 解析　由題意得A(－a,0)，F(xiàn)(c,0)，另一個焦點F′(－c,0)，由對稱性知，|AM|＝|AN|，又因為線段AM的垂直平分線經(jīng)過點N，則|AN|＝|MN|，可得△AMN是

10、正三角形，如圖所示，連接MF，則|AF|＝|MF|＝a＋c，由圖象的對稱性可知，∠MAF＝∠NAF＝∠MAN＝30°，又因為△AMF是等腰三角形，則∠AFM＝120°，在△MFF′中，|FF′|2＋|FM|2－2|FF′||FM|cos120°＝|F′M|2＝(|FM|＋2a)2，即4c2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×＝(3a＋c)2，整理得3c2－ac－4a2＝0，即(c＋a)·(3c－4a)＝0，則3c－4a＝0，故e＝＝. 三、解答題 13．(2019·全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B. (1)證明：直線AB過定點；

11、(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積． 解　(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1. 因為y′＝x，所以切線DA的斜率為x1， 故＝x1. 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0. 所以直線AB過定點. (2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋. 由 可得x2－2tx－1＝0. 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1， y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝|x1－x2| ＝×＝2(t2＋1)． 設(shè)

12、d1，d2分別為點D，E到直線AB的距離， 則d1＝，d2＝. 因此，四邊形ADBE的面積 S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3) . 設(shè)M為線段AB的中點，則M. 因為⊥，而＝(t，t2－2)， 與向量(1，t)平行， 所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1. 當t＝0時，S＝3；當t＝±1時，S＝4. 因此，四邊形ADBE的面積為3或4. 14．(2019·湖北武漢5月模擬)如圖，O為坐標原點，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距等于其長半軸長，M，N為橢圓C的上、下頂點，且|MN|＝2. (1)求橢圓C的方程； (2)過點P(0,1)作直線l交橢圓C

13、于異于M，N的A，B兩點，直線AM，BN交于點T.求證：點T的縱坐標為定值3. 解　(1)由題意可知2c＝a,2b＝2， 又a2＝b2＋c2，則b＝，c＝1，a＝2， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明：由題意知直線l的斜率存在， 設(shè)其方程為y＝kx＋1， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2≠0)， 由得(4k2＋3)x2＋8kx－8＝0， 所以x1＋x2＝， x1x2＝，且x1＋x2＝kx1x2， 又lBN：y＝·x－，lAM：y＝·x＋， 由得＝·， 故＝· ＝， 整理得＝， 故y＝× ＝× ＝×＝3. 故點T的縱坐標為3. 一、選擇

14、題 1．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右兩個焦點，過點F1作垂直于x軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點，△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(1，) C．(1,5) D．(，＋∞) 答案　B 解析　利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解．由等腰△ABF2是銳角三角形可得∠AF2F1<45°，即|AF1|<|F1F2|，所以|AF1|＝<|F1F2|＝2c，所以b2＝c2－a2<4a2，離心率e＝<，又雙曲線的離心率e>1，所以離心率e的取值范圍是(1，)，故選B. 2．已知橢圓C：＋＝1，若直線l經(jīng)過M(0,1)

15、，與橢圓交于A，B兩點，且＝－，則直線l的方程為(　　) A．y＝±x＋1 B．y＝±x＋1 C．y＝±x＋1 D．y＝±x＋1 答案　B 解析　依題意，設(shè)直線l：y＝kx＋1，點A(x1，y1)，B(x2，y2)．則由消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，由此解得k＝±，即直線l的方程為y＝±x＋1，選B. 3．已知雙曲線E：－＝1，直線l交雙曲線于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，則l的方程為(　　) A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0 C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0 答案　C 解析　依題

16、意，設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得＝，即＝×.又線段AB的中點坐標是，因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2，＝－，＝－，即直線AB的斜率為－，直線l的方程為y＋1＝－，即2x＋8y＋7＝0，選C. 4．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個區(qū)域(不含邊界)，若點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　依題意，雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，且“右”區(qū)域由不等式組所確定，又點(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1<，即>，因此題中的雙曲線的

17、離心率e＝∈，選B. 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，P是雙曲線C右支上一點，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且∠PF1F2＝30°，則雙曲線C的漸近線方程是(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 答案　A 解析　因為P為右支上一點，由雙曲線的定義，可得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得，|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，又∠PF1F2＝30°，由余弦定理，可得cos30°＝＝＝.則有c2＋3a2＝2ac，即c＝a，則b＝＝a，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x

18、＝±x，故選A. 6．P是雙曲線C：－y2＝1右支上一點，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點，則|PF1|＋|PQ|的最小值為(　　) A．1 B．2＋ C．4＋ D．2＋1 答案　D 解析　設(shè)F2是雙曲線C的右焦點，因為|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，顯然當F2，P，Q三點共線且P在F2，Q之間時，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值為F2到直線l的距離．易知l的方程為y＝或y＝－，F(xiàn)2(，0)，可求得F2到l的距離為1，故|PF1|＋|PQ|的最小值為2＋1.選D. 7．(2019·五省名校聯(lián)考

19、)在直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為左、右頂點，過點F作x軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點，連接PB交y軸于點E，連接AE交PQ于點M，若M是線段PF的中點，則橢圓C的離心率為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　如圖，連接BQ，則由橢圓的對稱性易得∠PBF＝∠QBF，∠EAB＝∠EBA，所以∠EAB＝∠QBF，所以ME∥BQ，因為△PME∽△PQB，所以＝，因為△PBF∽△EBO，所以＝，從而有＝，又因為M是線段PF的中點，所以e＝＝＝＝，故選C. 8．已知拋物線x2＝8y，過點P(b,4)作該拋物線的切線PA，PB，切點為A，

20、B，若直線AB恒過定點，則該定點為(　　) A．(4,0) B．(3,2) C．(0，－4) D．(4,1) 答案　C 解析　設(shè)A，B的坐標為(x1，y1)，(x2，y2)，y＝，y′＝，PA，PB的方程分別為y－y1＝(x－x1)，y－y2＝(x－x2)，由y1＝，y2＝得y＝x－y1，y＝x－y2，因為切線PA，PB都過點P(b,4)， 所以4＝b－y1,4＝b－y2，故可知過A，B兩點的直線方程為4＝x－y，當x＝0時，y＝－4，所以直線AB恒過點(0，－4)． 二、填空題 9．(2019·河北唐山一模)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，經(jīng)過點M(－2,0)的直線交C于A

21、，B兩點，若OA∥BF(O為坐標原點)，則|AB|＝________. 答案　 解析　如圖，拋物線C：y2＝8x的焦點為F，經(jīng)過點M(－2,0)的直線交C于A，B兩點，由OA∥BF，得A是BM的中點，不妨設(shè)B(m，2)， 可得A，可得2m＝4(m－2)，解得m＝4，所以B(4,4)，A(1,2)，所以|AB|＝＝. 10．(2019·安徽合肥第二次教學質(zhì)量檢測)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點，且∠F1PF2＝，若F1關(guān)于∠F1PF2平分線的對稱點在橢圓C上，則該橢圓的離心率為________． 答案　 解析　∵F1關(guān)于∠F1P

22、F2平分線的對稱點Q在橢圓C上，則|PF1|＝|PQ|，∵∠F1PQ＝60°， ∴△F1PQ為正三角形， ∴|F1Q|＝|F1P|， 又∵|F1Q|＋|F2Q|＝|F1P|＋|F2P|＝2a， ∴|F2Q|＝|F2P|， ∴PQ⊥x軸，設(shè)|PF2|＝t， 則|PF1|＝2t，|F1F2|＝t，即 即e＝＝＝. 11．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M與雙曲線C的焦點不重合，點M關(guān)于F1，F(xiàn)2的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在雙曲線的右支上，若|AN|－|BN|＝12，則a＝________. 答案　3 解析　如圖，設(shè)MN的中點為P.

23、 ∵F1為MA的中點，F(xiàn)2為MB的中點， ∴|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|， 又|AN|－|BN|＝12， ∴|PF1|－|PF2|＝6＝2a，∴a＝3. 12．已知M(－5,0)，N(5,0)是平面上的兩點，若曲線C上至少存在一點P，使|PM|＝|PN|＋6，則稱曲線C為“黃金曲線”．下列五條曲線： ①－＝1；②y2＝4x；③－＝1；④＋＝1；⑤x2＋y2－2x－3＝0. 其中為“黃金曲線”的是________(寫出所有“黃金曲線”的序號)． 答案?、冖? 解析　由已知得，點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長2a＝6的雙曲線的右支， 可得b2＝c2－a2＝

24、52－32＝16.則雙曲線的方程為－＝1(x>0)． 對于①，兩方程聯(lián)立，無解，則①錯誤； 對于②，解得x＝成立，②成立； 對于③，兩方程聯(lián)立，無解，則③錯誤； 對于④，兩方程聯(lián)立，無解，則④錯誤； 對于⑤，消去y整理得 25x2－18x－171＝0，必有一個正根，⑤成立． 故所有“黃金曲線”的序號為②⑤ 三、解答題 13．(2019·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點． (1)若△POF2為等邊三角形，求C的離心率； (2)如果存在點P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．

25、 解　(1)連接PF1.由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的離心率為e＝＝－1. (2)由題意可知，滿足條件的點P(x，y)存在當且僅當 |y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1， 即c|y|＝16，① x2＋y2＝c2，② ＋＝1.③ 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，從而a2＝b2＋c2≥2b2＝32， 故a≥4. 當b＝4，a≥4時，存在滿足條件的點P. 所以

26、b＝4，a的取值范圍為[4，＋∞)． 14．(2019·湖北四地七校期末)已知點F(0,1)，點A(x，y)(y≥0)為曲線C上的動點，過A作x軸的垂線，垂足為B，滿足|AF|＝|AB|＋1. (1)求曲線C的方程； (2)直線l與曲線C交于兩不同點P，Q(非原點)，過P，Q兩點分別作曲線C的切線，兩切線的交點為M.設(shè)線段PQ的中點為N，若|FM|＝|FN|，求直線l的斜率． 解　(1)由|AF|＝|AB|＋1得＝|y|＋1， 化簡得曲線C的方程為x2＝4y. (2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b， 聯(lián)立x2＝4y得x2－4kx－4b＝0， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 設(shè)N(xN，yN)，則xN＝＝2k，yN＝2k2＋b， 又曲線C的方程為x2＝4y，即y＝，y′＝， 所以過P點的切線斜率為， 切線方程為y－y1＝(x－x1)，即y＝x－x， 同理，過Q點的切線方程為y＝x－x， 聯(lián)立兩切線方程可得 xM＝＝2k，yM＝x1x2＝－b，所以xM＝xN， 又因為|FM|＝|FN|，所以MN中點縱坐標為1， 即2k2＋b－b＝2，即k2＝1，所以k＝±1， 故直線l的斜率為k＝±1.