高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔:第一部分 考點(diǎn)十九 二項(xiàng)式定理

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):77504946 上傳時(shí)間:2022-04-20 格式:DOC 頁(yè)數(shù):10 大?。?24.50KB
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1、 考點(diǎn)十九 二項(xiàng)式定理 一、選擇題 1.(2019·湖北四校六月考前模擬)在6的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為(  ) A.-240 B.-60 C.60 D.240 答案 D 解析 6的通項(xiàng)為Tr+1=C(x2)6-r·r=C(-2)rx12-3r,令12-3r=0得r=4,即T5=C(-2)4=240,故選D. 2.(2019·湖北黃岡2月聯(lián)考)(1+x)7展開式中x3的系數(shù)為(  ) A.-7 B.28 C.35 D.42 答案 B 解析 ∵二項(xiàng)式(1+x)7的通項(xiàng)為Tr+1=Cxr,分別令r=3,r=6,則x3的系數(shù)為C-C=28,故選B. 3.(2019

2、·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)(2x2-x-1)5的展開式中x2的系數(shù)為(  ) A.400 B.120 C.80 D.0 答案 D 解析 ∵(2x2-x-1)5=(x-1)5(2x+1)5,二項(xiàng)展開式(x-1)5的通項(xiàng)為Cx5-r(-1)r,二項(xiàng)展開式(2x+1)5的通項(xiàng)為C(2x)5-k,(x-1)5(2x+1)5的通項(xiàng)為(-1)r25-kCCx10-(k+r),所以k+r=8,即展開式中x2的系數(shù)為(-1)522CC+(-1)421CC+(-1)3CC=0. 4.(2019·山東聊城二模)已知n展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于22,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(  ) A. B. C.

3、- D.- 答案 A 解析 因?yàn)镃+C+C=22,整理得n(n+1)=42,解得n=6,所以二項(xiàng)式6展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C6-k6-k(-1)kx2k=C6-k·(-1)kx3k-6,令3k-6=0得k=2,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C6-2(-1)2=.故選A. 5.16的展開式的項(xiàng)中,整式的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.3 C.5 D.7 答案 B 解析 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk+1=C16-k·k=(-1)kCxy (k∈Z,0≤k≤16),要使得它為整式,則-8與16-均為非負(fù)整數(shù),即8≤≤16,k=6,8,10,故有3項(xiàng),選B. 6.已知n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展

4、開式中x7的系數(shù)為(  ) A.5 B.40 C.20 D.10 答案 B 解析 令x=1,可得3n=243,n=5,故展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C(x3)5-rr=2rCx15-4r.令15-4r=7,得r=2,所以T3=22Cx7=40x7,展開式中x7的系數(shù)為40. 7.二項(xiàng)式n的展開式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為(  ) A.3 B.5 C.6 D.7 答案 D 解析 因?yàn)檎归_式中只有第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=20.二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C(x)20-r·r=C3x,由題得20-r為整數(shù),所以r=0,3,6,9

5、,12,15,18,所以展開式中x的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為7. 8.(2019·湖北八市3月聯(lián)考)若(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5,則a3=(  ) A.-70 B.28 C.-26 D.40 答案 C 解析 令t=x-3,則(x-2)5-3x4=a0+a1(x-3)+a2(x-3)2+a3(x-3)3+a4(x-3)4+a5(x-3)5可化為(t+1)5-3(t+3)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,則a3=C-3C×3=10-36=-26.故選C. 二、填空題 9.6的

6、展開式中x3的系數(shù)為________.(用數(shù)字作答) 答案 60 解析 6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C(2x)6-rr=r26-rCx,令6-r=3,得r=2, ∴x3的系數(shù)為2·26-2·C=60. 10.(2019·山西晉城三模)(2-3x)2(1-x)7的展開式中,x3的系數(shù)為________. 答案?。?55 解析 依題意,x3的系數(shù)為4×C×(-1)3-12×C×(-1)2+9×C×(-1)=-455. 11.(2019·陜西咸陽(yáng)模擬檢測(cè)三)若a>0,b>0,二項(xiàng)式(ax+b)6的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則定積分2xdx+2xdx的最小值為________.

7、答案 2 解析 二項(xiàng)式(ax+b)6的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=Ca6-rbrx6-r,當(dāng)6-r=3,即r=3時(shí),二次項(xiàng)系數(shù)為Ca3b3=20,∴ab=1,∴2xdx+2xdx=a2+b2≥2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 12.已知m是常數(shù),(mx-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,且a1+a2+a3+a4+a5=33,則m=________. 答案 3 解析 令x=0得a0=-1, 令x=1得(m-1)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0=33+(-1)=32,所以m-1=2,故m=3. 三、解答題 13.已知(+3x2)n的展開式中,各項(xiàng)系數(shù)

8、的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為32. (1)求n; (2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 解 (1)令x=1,則(+3x2)n展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為4n,又(+3x2)n展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為2n,所以=32,即2n=32,解得n=5. (2)由(1)可知:n=5,所以(+3x2)5展開式的中間兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,即T3=C()3(3x2)2=90x6,T4=C()2(3x2)3=270x. 14.(2019·江蘇高考)設(shè)(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n≥4,n∈N*.已知a=2a2a4. (1)求n的值; (2)設(shè)(1+)n=a+b,其中a,b∈N*,

9、求a2-3b2的值. 解 (1)因?yàn)?1+x)n=C+Cx+Cx2+…+Cxn,n≥4,n∈N*, 所以a2=C=,a3=C=, a4=C=. 因?yàn)閍=2a2a4,所以2 =2××. 解得n=5. (2)由(1)知,n=5. (1+)n=(1+)5=C+C+C()2+C()3+C()4+C()5=a+b. 解法一:因?yàn)閍,b∈N*,所以a=C+3C+9C=76, b=C+3C+9C=44,從而a2-3b2=762-3×442=-32. 解法二:(1-)5=C+C(-)+C(-)2+C(-)3+C(-)4+C(-)5 =C-C+C()2-C()3+C()4-C()5.

10、因?yàn)閍,b∈N*,所以(1-)5=a-b. 因此a2-3b2=(a+b)(a-b)=(1+)5×(1-)5=(-2)5=-32. 一、選擇題 1.(2019·安徽黃山第三次質(zhì)檢)已知(1+x)(1-ax)5的展開式中x2的系數(shù)為-,則a=(  ) A.1 B. C. D. 答案 D 解析 根據(jù)題意知,(1-ax)5的展開式的通項(xiàng)公式為C(-a)rxr,∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為Ca2-Ca=-,即10a2-5a=-,解得a=,故選D. 2.在二項(xiàng)式(1-2x)n的展開式中,偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開式的中間項(xiàng)的系數(shù)為(  ) A.-960 B.960 C.1

11、120 D.1680 答案 C 解析 因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n-1=128,所以n-1=7,n=8,則展開式共有9項(xiàng),中間項(xiàng)為第5項(xiàng),因?yàn)?1-2x)8的展開式的通項(xiàng)Tr+1=C(-2x)r=C(-2)rxr,所以T5=C(-2)4x4,其系數(shù)為C(-2)4=1120. 3.(2019·江西新八校第二次聯(lián)考)若二項(xiàng)式n的展開式中第m項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則m,n應(yīng)滿足(  ) A.3n=4(m+1) B.4n=3(m+1) C.3n=4(m-1) D.4n=3(m-1) 答案 C 解析 n展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Cxn-r·r=C(-2)rxn-,第m項(xiàng)為C(-2)m-1·x,

12、由n-=0得3n=4(m-1),故選C. 4.(2019·廣東佛山質(zhì)檢一)(2x-y)(x+2y)5展開式中x3y3的系數(shù)為(  ) A.-40 B.120 C.160 D.200 答案 B 解析 展開式中含x3y3的項(xiàng)為2x·Cx2·(2y)3+(-y)C·x3·(2y)2=160x3y3-40x3y3=120x3y3,則展開式中x3y3的系數(shù)為120,故選B. 5.(2019·湖南長(zhǎng)沙一中模擬三)若n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為128,則展開式中的系數(shù)是(  ) A.14 B.-14 C.7 D.-7 答案 A 解析 ∵2n=128,∴n=7,∴展開式的通項(xiàng)Tr+1=C(

13、2x)7-rr=C27-r(-1)rx,令7-r=-3,解得r=6,∴的系數(shù)為C27-6·(-1)6=14,故選A. 6.已知(ax2+x-1)n(n∈N*)展開式中x最高次項(xiàng)系數(shù)是x最低次項(xiàng)系數(shù)的-32倍,且不含x2項(xiàng),則x3的系數(shù)為(  ) A.10 B.30 C.-10 D.-30 答案 D 解析 依題意,x最高次項(xiàng)的系數(shù)為Can,x最低次項(xiàng)即為常數(shù)項(xiàng),常數(shù)項(xiàng)為C(-1)n,所以Can=-32C×(-1)n,又不含x2項(xiàng),所以Ca×(-1)n-1+C×(-1)n-2=0,所以a=2,n=5,所以x3的系數(shù)為C×2×C×(-1)3+C×(-1)2=-30,故選D. 7.已知S為

14、執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果,則二項(xiàng)式6的展開式中常數(shù)項(xiàng)是(  ) A.-20 B.20 C.- D.60 答案 A 解析 輸入i=0,S=1,i=1<4是, S==-1,i=2<4是, S==3,i=3<4是, S==,i=4<4否. 輸出S=. 所以二項(xiàng)式6=6. 6展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C6-rr=(-1)r32r-6·Cx3-r,當(dāng)r=3時(shí),得T4=-C=-20. 8.在12的展開式中,x5的系數(shù)為(  ) A.252 B.264 C.512 D.528 答案 B 解析 12的通項(xiàng)為Tr+1=C(2+)12-rr,必須滿足r=0,T1=(2+)1

15、2,x5的系數(shù)為22C=264. 二、填空題 9.若n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為64,則n=________;該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________. 答案 3?。?7 解析 由題意得n的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64,令x=1得(3+1)n=64,解得n=3, 所以3的展開式的通項(xiàng)為 Tr+1=C(3)3-r·r=(-1)r·33-rCx. 令=0得r=1, 所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T2=(-1)×32×C=-27. 10.(2019·河北衡水第三次質(zhì)檢)(1+x2)5展開式中x2的系數(shù)為________. 答案 15 解析 因?yàn)槎?xiàng)式(1+x2)5展開式的通項(xiàng)為

16、Tk+1=Cx10-2k,分別令10-2k=2,3,4,可得k=4,,3,因?yàn)閗是正整數(shù),所以k=4,3,所以k=4時(shí),T5=Cx2;k=3時(shí),T4=Cx4,因此(1+x2)5展開式中x2的系數(shù)為C+C=15. 11.(2019·江西南昌外國(guó)語(yǔ)學(xué)校適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若15a=8b,則m=________. 答案 7 解析 (x+y)2m展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a=C,(x+y)2m+1展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b=C,因?yàn)?5a=8b,所以15C=8C,即15=8,解得m=7.

17、 12.(2019·廣東梅州質(zhì)檢)若(1+ex)2019=a0+a1x+a2x2+…+a2019x2019,則-+-+-…-=________. 答案?。? 解析 在(1+ex)2019=a0+a1x+a2x2+…+a2019x2019中,令x=0可得a0=1,再令x=-可得0=a0-+-+-…-,所以-+-+-…-=-1. 三、解答題 13.在二項(xiàng)式(axm+bxn)12(a>0,b>0,m,n≠0)中有2m+n=0,如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng). (1)求它是第幾項(xiàng); (2)求的取值范圍. 解 (1)設(shè)Tr+1=C(axm)12-r·(bxn)r=Ca12-r·brx

18、m(12-r)+nr為常數(shù)項(xiàng), 則有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0, ∴r=4,它是第5項(xiàng). (2)∵第5項(xiàng)是系數(shù)最大的項(xiàng), ∴有 由①得a8b4≥a9b3, ∵a>0,b>0,∴b≥a,即≤. 同理由②得≥,∴≤≤. 14.(2019·揚(yáng)州中學(xué)月考)設(shè)函數(shù)f(x,n)=(1+x)n(n∈N*). (1)求f(x,6)的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng); (2)若f(i,n)=32i(i為虛數(shù)單位),求C-C+C-C+C. 解 (1)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)T4=Cx3=20x3. (2)由已知(1+i)n=32i,兩邊取模,得()n=32,所以n=10. 所以C-C+C-C+C=C-C+C-C+C.而(1+i)10=C+Ci+Ci2+…+Ci9+Ci10=(C-C+C-C+C-C)+(C-C+C-C+C)i=32i,所以C-C+C-C+C=32.

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