高考數(shù)學大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第二部分 解答題三 Word版含解析

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1、 解答題(三) 17．(2019·河南八市重點高中聯(lián)盟第五次測評)已知等差數(shù)列{an}中，a3＝3，且a2＋2，a4，a6－2成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝，求{bn}的前2n項和S2n. 解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d， ∵a2＋2，a4，a6－2成等比數(shù)列，∴a＝(a2＋2)(a6－2)， ∴(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－2)，又a3＝3， ∴(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)，化簡得d2－2d＋1＝0，解得d＝1，∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n. (2)由(1)得bn＝＝(－1)n ＝(

2、－1)n， ∴S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n＝－＋－＋…＋＝－1＋＝－. 18．(2019·安徽江淮十校5月考前最后一卷)如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，平面ABC⊥平面ACC′A′，AB＝BC＝CA＝AA′，D是棱BB′的中點． (1)求證：平面DA′C⊥平面ACC′A′； (2)若∠A′AC＝60°，求二面角A′－CD－B′的余弦值． 解　(1)證明：如圖，取AC，A′C′的中點O，F(xiàn)，連接OF與A′C交于點E，連接DE，OB，B′F， 則E為OF的中點，OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，所以BB′FO是平行四邊形． 又D是棱BB′的中點，所以

3、DE∥OB.又平面AA′C′C⊥平面ABC，平面AA′C′C∩平面ABC＝AC，且OB⊥AC，OB?平面ABC，所以OB⊥平面ACC′A′，得DE⊥平面ACC′A′，又DE?平面DA′C，所以平面DA′C⊥平面ACC′A′. (2)連接A′O，因為∠A′AC＝60°，所以△A′AC是等邊三角形，設AB＝BC＝CA＝AA′＝2， 則A′O⊥平面ABC，由已知可得A′O＝OB＝.以OB，OC，OA′分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A′(0,0，)，＝(－，1,0)，＝＝(0,1，)， 設平面BCC′B′的法向量為m＝(x，y，z)

4、，則m·＝0，m·＝0，所以取x＝1，則y＝，z＝－1，所以m＝(1，，－1)． 設平面A′CD的法向量為n＝(x′，y′，z′)，＝(0,1，－)，＝＋＝(，－1,0)＋＝， 則n·＝0，n·＝0， 所以 取x′＝0，y′＝，z′＝1，n＝(0，，1)， 故cos〈m，n〉＝＝，又因為二面角A′－CD－B′為銳角，所以其余弦值為. 19．(2019·廣東深圳適應性考試)在平面直角坐標系xOy中，離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點M. (1)求橢圓C的標準方程； (2)若直線x＋y＋m＝0上存在點G，且過點G的橢圓C的兩條切線相互垂直，求實數(shù)m的取值范圍． 解　

5、(1)由題意得解得a2＝3b2，又＋＝1，解得 所以橢圓C的標準方程為＋y2＝1. (2)①當過點G的橢圓C的一條切線的斜率不存在時，另一條切線必垂直于y軸，易得G(±，±1)． ②當過點G的橢圓C的切線的斜率均存在時，設G(x0，y0)，x0≠±，切線方程為y＝k(x－x0)＋y0， 代入橢圓方程得(3k2＋1)x2－6k(kx0－y0)x＋3(kx0－y0)2－3＝0， Δ＝[6k(kx0－y0)]2－4(3k2＋1)·[3(kx0－y0)2－3]＝0，化簡得(kx0－y0)2－(3k2＋1)＝0， 則(x－3)k2－2x0y0k＋y－1＝0，設過點G的橢圓C的切線的斜率分別為

6、k1，k2，則k1k2＝. 因為兩條切線相互垂直，所以＝－1，即x＋y＝4(x0≠±)， 由①②知點G在圓x＋y＝4上，又點G在直線x＋y＋m＝0上，所以直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝4有公共點，所以≤2，所以－2≤m≤2. 綜上所述，m的取值范圍為[－2，2 ]． 20．(2019·湖南永州第三次模擬)某機器生產(chǎn)商，對一次性購買兩臺機器的客戶推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修方案： 方案一：交納延保金6000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費1500元； 方案二：交納延保金7740元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費a元． 某工廠

7、準備一次性購買兩臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了100臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，統(tǒng)計得下表： 維修次數(shù) 0 1 2 3 機器臺數(shù) 20 10 40 30 以上100臺機器維修次數(shù)的頻率代替一臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這兩臺機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)． (1)求X的分布列； (2)以所需延保金與維修費用之和的期望值為決策依據(jù)，該工廠選擇哪種延保方案更合算？ 解　(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6， P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝××2＝，P(X＝2)＝×＋××2＝，P(X

8、＝3)＝××2＋××2＝，P(X＝4)＝×＋××2＝，P(X＝5)＝××2＝，P(X＝6)＝×＝. ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P (2)選擇延保方案一，所需費用Y1元的分布列為： Y1 6000 7500 9000 10500 12000 P E(Y1)＝×6000＋×7500＋×9000＋×10500＋×12000＝8580(元)． 選擇延保方案二，所需費用Y2元的分布列為： Y2 7740 7740＋a 7740＋2a P E(Y2)＝×7740＋×(774

9、0＋a)＋×(7740＋2a)＝7740＋(元)，∴E(Y1)－E(Y2)＝840－，當E(Y1)－E(Y2)＝840－>0， 即02000時，選擇方案一． 21．(2019·河北石家莊模擬一)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋，g(x)＝，a∈R. (1)求函數(shù)f(x)的極小值； (2)求證：當－1≤a≤1時，f(x)>g(x)． 解　(1)f′(x)＝－＝(x>0)， 當a－1≤0，即a≤1時，f′(x)>0，函數(shù)f(x

10、)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極小值； 當a－1>0，即a>1時，由f′(x)<0，得00，得x>a－1，則函數(shù)f(x)在(a－1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)極?。絝(a－1)＝1＋ln (a－1)， 綜上所述，當a≤1時，f(x)無極小值； 當a>1時，f(x)極?。?＋ln (a－1)． (2)證明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x＋－＝(x>0)， 當－1≤a≤1時，要證f(x)>g(x)，即證F(x)>0， 即證xln x－asinx＋1>0，即證xln x>asinx－1. ①當0

11、≤1時，令h(x)＝x－sinx， 則h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故h(x)>h(0)＝0，即x>sinx. ∴ax－1>asinx－1(*)， 令q(x)＝xln x－x＋1，則q′(x)＝ln x， 當x∈(0,1)，q′(x)<0，q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減； 當x∈(1，＋∞)，q′(x)>0，q(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故q(x)≥q(1)＝0，即xln x≥x－1.當且僅當x＝1時取等號， 又∵0asinx－1， 所

12、以當0asinx－1. ②當a＝0時，即證xln x>－1. 令m(x)＝xln x，m′(x)＝ln x＋1，m(x)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，m(x)min＝m＝－>－1，故xln x>－1. ③當－1≤a<0時，當x∈(0,1]時，asinx－1<－1， 由②知m(x)＝xln x≥－，而－>－1， 故xln x>asinx－1，當x∈(1，＋∞)時，asinx－1≤0， 由②知m(x)＝xln x>m(1)＝0，故xln x>asinx－1； 所以，當x∈(0，＋∞)時，xln x>asinx－1. 綜上①②③可知，當－1≤a≤1時，f(x

13、)>g(x)． 22．在直角坐標系xOy中，圓C的普通方程為x2＋y2－4x－6y＋12＝0，在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為ρsin＝. (1)寫出圓C的參數(shù)方程和直線l的直角坐標方程； (2)設直線l與x軸和y軸的交點分別為A，B，P為圓C上的任意一點，求·的取值范圍． 解　(1)圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．直線l的直角坐標方程為x＋y－2＝0. (2)由直線l的方程x＋y－2＝0可得點A(2,0)，點B(0，2)． 設點P(x，y)，則·＝(2－x，－y)·(－x,2－y)＝x2＋y2－2x－2y. 由(1)知 則·＝4sinθ＋2cosθ＋4＝2sin(θ＋φ)＋4，其中tanφ＝. 因為θ∈R，所以4－2≤·≤4＋2. 23．已知函數(shù)f(x)＝. (1)當a＝1，求函數(shù)f(x)的定義域； (2)當a∈[1,2]時，求證：f2(x)＋f2≤5. 解　(1)當a＝1時，f(x)＝， 所以|x－1|－|x＋1|≥0， 得(x－1)2≥(x＋1)2，解得x≤0. 故f(x)的定義域為(－∞，0]． (2)證明：f2(x)＋f2＝|x－a|－＋－≤2＝2≤5(a∈[1,2])，當且僅當a＝2時等號成立．