專題一 第2講 不等式與線性規(guī)劃

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1、 第2講　不等式與線性規(guī)劃 考情解讀　1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題．基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.2.多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題． 1．四類不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集． (2)簡單分式不等式的解法 ①變形?>0(<0)?

2、f(x)g(x)>0(<0)； ②變形?≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. (3)簡單指數(shù)不等式的解法 ①當a>1時，af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)； ②當0ag(x)?f(x)1時，logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0； ②當0logag(x)?f(x)0，g(x)>0. 2．五個重要不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R

3、)． (3)≥(a>0，b>0)． (4)ab≤()2(a，b∈R)． (5) ≥≥≥(a>0，b>0)． 3．二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃 (1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等． (2)解不含實際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：①畫出可行域；②根據(jù)線性目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；③求出目標函數(shù)的最大值或者最小值． 4．兩個常用結(jié)論 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 熱點一　一元二次不等式的解法 例1　(1)(2013·安徽)已知一元二次不等式f(x)<

4、0的解集為，則f(10x)>0的解集為(　　) A．{x|x<－1或x>－lg 2} B．{x|－1－lg 2} D．{x|x<－lg 2} (2)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞增，則f(2－x)>0的解集為(　　) A．{x|x>2或x<－2} B．{x|－24} D．{x|00.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b，再解f(2－x)>0. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)由已知條件0<

5、10x<，解得x0. f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4. 故選C. 思維升華　二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學的基礎知識，也是高考的熱點，“三個二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法． 　(1)不等式≤0的解集為(　　) A．(－，1] B．[－，1] C．(－∞，－)∪[1，＋∞) D．(－∞，

6、－]∪[1，＋∞) (2)已知p：?x0∈R，mx＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∧q為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．[－2,0) C．(－2,0) D．[0,2] 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)原不等式等價于(x－1)(2x＋1)<0或x－1＝0，即－

7、某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝. ①如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時； ②如果限定車型，l＝5，則最大車流量比①中的最大車流量增加________輛/時． (2)(2013·山東)設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最大值時，＋－的最大值為(　　) A．0 B．1 C. D．3 思維啟迪　(1)把所給l值代入，分子分母同除以v，構(gòu)造基本不等式的形式求最值；

8、(2)關(guān)鍵是尋找取得最大值時的條件． 答案　(1)①1 900　②100　(2)B 解析　(1)①當l＝6.05時，F(xiàn)＝ ＝≤＝＝1 900. 當且僅當v＝11 米/秒時等號成立，此時車流量最大為1 900輛/時． ②當l＝5時，F(xiàn)＝＝≤＝＝2 000. 當且僅當v＝10 米/秒時等號成立，此時車流量最大為2 000 輛/時．比①中的最大車流量增加100 輛/時． (2)由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(*) 則＝＝≤1，當且僅當x＝2y時取等號，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2， 所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1， 所以當y＝1時，＋－的最大值為1. 思維升華　在利用

9、基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤． 　(1)若點A(m，n)在第一象限，且在直線＋＝1上，則mn的最大值為________． (2)已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　(1)3　(2)B 解析　(1)因為點A(m，n)在第一象限，且在直線＋＝1上，所以m，n>0，且＋＝1. 所以·≤()2(當且僅當＝＝，即m＝，n＝2時，取等號)．所

10、以·≤，即mn≤3， 所以mn的最大值為3. (2)2x＋＝2(x－a)＋＋2a ≥2·＋2a＝4＋2a， 由題意可知4＋2a≥7，得a≥， 即實數(shù)a的最小值為，故選B. 熱點三　簡單的線性規(guī)劃問題 例3　(2013·湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛．則租金最少為(　　) A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 思維啟迪　通過設變量將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃

11、問題． 答案　C 解析　設租A型車x輛，B型車y輛時租金為z元， 則z＝1 600x＋2 400y,　x、y滿足 畫出可行域如圖 直線y＝－x＋過點A(5,12)時縱截距最小， 所以zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800， 故租金最少為36 800元． 思維升華　(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標函數(shù)的最優(yōu)解．(3)對于應用問題，要準確地設出變量，確定可行域和目標函數(shù)． 　(1)已知實數(shù)x，y滿足約束

12、條件，則w＝的最小值是(　　) A．－2 B．2 C．－1 D．1 (2)(2013·北京)設關(guān)于x、y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x0－2y0＝2，求得m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　(1)D　(2)C 解析　(1)畫出可行域，如圖所示． w＝表示可行域內(nèi)的點(x，y)與定點P(0，－1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為＝1，故選D. (2)當m≥0時，若平面區(qū)域存在，則平面區(qū)域內(nèi)的點在第二象限，平面區(qū)域內(nèi)不可能存在點P(x0，y0)滿足x0－2y0＝2，因此m<0. 如圖所示的陰影部分為不等式組表示

13、的平面區(qū)域． 要使可行域內(nèi)包含y＝x－1上的點，只需可行域邊界點 (－m，m)在直線y＝x－1的下方即可，即m<－m－1，解得m<－. 1．幾類不等式的解法 一元二次不等式解集的端點值是相應一元二次方程的根，也是相應的二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，即二次函數(shù)的零點；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化． 2．基本不等式的作用 二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題．解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等

14、式的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點，并創(chuàng)造基本不等式的應用背景，如通過“代換”、“拆項”、“湊項”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應用條件．利用基本不等式求最值時要注意“一正、二定、三相等”的條件，三個條件缺一不可． 3．線性規(guī)劃問題的基本步驟 (1)定域——畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應； (2)平移——畫出目標函數(shù)等于0時所表示的直線l，平行移動直線，讓其與平面區(qū)域有公共點，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標函數(shù)的幾何意義； (3)求值——利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標，代入目標

15、函數(shù)，求出最值. 真題感悟 1．(2014·山東)已知實數(shù)x，y滿足ax B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) C．sin x>sin y D．x3>y3 答案　D 解析　因為0y.采用賦值法判斷，A中，當x＝1，y＝0時，<1，A不成立．B中，當x＝0，y＝－1時，ln 1

16、數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[1，] 解析　畫可行域如圖所示，設目標函數(shù)z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，則a>0，數(shù)形結(jié)合知，滿足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范圍是1≤a≤. 押題精練 1．為了迎接2014年3月8日的到來，某商場舉行了促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品的銷售量P萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費用x萬元滿足P＝3－，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本(10＋2P)萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為(4＋)萬元/萬件．則促銷費用投入 萬元時，廠家的利潤最大？(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 答案　A

17、 解析　設該產(chǎn)品的利潤為y萬元，由題意知，該產(chǎn)品售價為2×()萬元，所以y＝2×()×P－10－2P－x＝16－－x(x>0)，所以y＝17－(＋x＋1)≤17－2＝13(當且僅當＝x＋1，即x＝1時取等號)，所以促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大，故選A. 2．若點P(x，y)滿足線性約束條件點A(3，)，O為坐標原點，則·的最大值為________． 答案　6 解析　由題意，知＝(3，)，設＝(x，y)，則·＝3x＋y. 令z＝3x＋y， 如圖畫出不等式組所表示的可行域， 可知當直線y＝－x＋z經(jīng)過點B時，z取得最大值． 由解得即B(1，)，故z的最大值為3×1＋×＝6

18、. 即·的最大值為6. (推薦時間：50分鐘) 一、選擇題 1．(2014·四川)若a>b>0，c B.< C.> D.< 答案　D 解析　令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2， 則＝－1，＝－1， 所以A，B錯誤； ＝－，＝－， 所以<， 所以C錯誤．故選D. 2．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 答案　C 解析　應用基本不等式：x，y>0，≥(當且僅當x＝y(tǒng)時取等號)逐個分析，注意基

19、本不等式的應用條件及取等號的條件． 當x>0時，x2＋≥2·x·＝x， 所以lg≥lg x(x>0)，故選項A不正確； 運用基本不等式時需保證一正二定三相等， 而當x≠kπ，k∈Z時，sin x的正負不定，故選項B不正確； 由基本不等式可知，選項C正確； 當x＝0時，有＝1，故選項D不正確． 3．(2013·重慶)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因a>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)

20、，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝. 4．(2014·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2，則a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 答案　D 解析　由題意得所以 又log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋ ≥7＋2＝7＋4， 當且僅當＝時取等號．故選D. 5．已知變量x，y滿足約束條件，則z＝x＋2y－1的最大值為(　　) A．9 B．8 C．7 D．6

21、 答案　B 解析　約束條件所表示的區(qū)域如圖， 由圖可知，當目標函數(shù)過A(1,4)時取得最大值，故z＝x＋2y－1的最大值為1＋2×4－1＝8. 二、填空題 6．已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，－1)，B(0,1)是其圖象上兩點，則不等式|f(1＋ln x)|<1的解集是________． 答案　(，e2) 解析　∵|f(1＋ln x)|<1， ∴－1

22、則實數(shù)a的值為________． 答案　1 解析　畫出滿足條件的可行域如圖陰影部分所示，則當直線z＝2x＋3y過點A(a，a)時，z＝2x＋3y取得最大值5，所以5＝2a＋3a，解得a＝1. 8．若點A(1,1)在直線2mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，則＋的最小值為________． 答案?。? 解析　∵點A(1,1)在直線2mx＋ny－2＝0上， ∴2m＋n＝2， ∵＋＝(＋)＝(2＋＋＋1) ≥(3＋2)＝＋， 當且僅當＝，即n＝m時取等號， ∴＋的最小值為＋. 三、解答題 9．設集合A為函數(shù)y＝ln(－x2－2x＋8)的定義域，集合B為函數(shù)y＝x＋的值域，集

23、合C為不等式(ax－)(x＋4)≤0的解集． (1)求A∩B； (2)若C??RA，求a的取值范圍． 解　(1)由－x2－2x＋8>0得－40，即x>－1時y≥2－1＝1， 此時x＝0，符合要求； 當x＋1<0，即x<－1時，y≤－2－1＝－3， 此時x＝－2，符合要求． 所以B＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A∩B＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)(ax－)(x＋4)＝0有兩根x＝－4或x＝. 當a>0時，C＝{x|－4≤x≤}，不可能C??RA； 當a<0時，C＝{x|x≤－4或

24、x≥}， 若C??RA，則≥2，∴a2≤， ∴－≤a<0.故a的取值范圍為[－，0)． 10．已知函數(shù)f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1處取得極大值，在x＝x2處取得極小值，且00； (2)若z＝a＋2b，求z的取值范圍． (1)證明　求函數(shù)f(x)的導數(shù) f′(x)＝ax2－2bx＋2－b. 由函數(shù)f(x)在x＝x1處取得極大值， 在x＝x2處取得極小值， 知x1、x2是f′(x)＝0的兩個根， 所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)． 當x0， 由x－x1<0，x

25、－x2<0得a>0. (2)解　在題設下，0