2018年高考數(shù)學(xué) 100題系列 第05題 含參數(shù)的簡易邏輯問題 文

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1、 第5題 含參數(shù)的簡易邏輯問題 I．題源探究·黃金母題 【例1】下列各題中，那些是的充要條件？（節(jié)選） （1）：，：函數(shù)是偶函數(shù)； 【解析】是的充要條件． 精彩解讀 【試題來源】人教A版選修1-1第11頁例3． 【母題評析】本題考查充要條件的判斷，容易題． 【思路方法】直接應(yīng)用定義進(jìn)行判斷． II．考場精彩·真題回放 【例2】【2017天津，理4】設(shè)，則“”是“”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】當(dāng)時(shí)，有，即充分性成立．當(dāng)時(shí)，有，得解得或，即必要性不成立，故選A．

2、 【例3】【2014 福建理數(shù)】直線與圓相交于兩點(diǎn)，則“”是“的面積為”的（ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 【解析】當(dāng)時(shí)，，由題意不妨令，，則，所以充分性成立；當(dāng)時(shí)，，也有，所以必要性不成立． 【例4】【2014四川理數(shù)】以表示值域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合，表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)，存在一個(gè)正數(shù)，使得函數(shù)的值域包含于區(qū)間．例如，當(dāng)，時(shí)，，．現(xiàn)有如下命題： ①設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”的充要條件是“，，”； ②函數(shù)的充要條件是有最大值和最小值； ③若函數(shù)，的定義域相同，且，，則； ④

3、若函數(shù)有最大值，則． 其中的真命題有 ．（寫出所有真命題的序號） 【解析】依題意可直接判定①正確；令，顯然存在正數(shù)2，使得的值域，但無最小值，②錯(cuò)誤；假設(shè)，則存在正數(shù)，使得當(dāng)在其公共定義域內(nèi)取值時(shí)，有，則，又因?yàn)椋瑒t存在正數(shù)，使， 所以，即，所以，與矛盾，③正確；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，而，此時(shí)無最大值，故，④正確． 【命題意圖】本類題通常主要考查充分條件與必要條件的判定． 【考試方向】這類試題在考查題型上，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，往往與命題（特別是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題）真假的判斷、充分條件與必要條件的判斷以及全稱命題、特稱命題等聯(lián)系

4、緊密． 【難點(diǎn)中心】充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“? ”為真，則是的充分條件． 2．等價(jià)法：利用? 與非?非， ? 與非?非， ? 與非?非的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． 3．集合法：若? ，則是的充分條件或是的必要條件；若，則是的必要條件；若＝，則是的充要條件；若是的真子集，則是的充分不必要條件；若是的真子集，則是的必要不充分條件． III．理論基礎(chǔ)·解題原理 考點(diǎn)一 與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問題 充分條件和必要條件的理解，可以翻譯成“若則”命題的真假，或者集合與集

5、合之間的包含關(guān)系，尤其轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系后，利用集合知識處理． 考點(diǎn)二 與邏輯聯(lián)接詞有關(guān)的參數(shù)問題 邏輯聯(lián)接詞“或”“且”“非”與集合運(yùn)算的并集、交集、補(bǔ)集有關(guān)，由邏輯聯(lián)接詞組成的復(fù)合命題的真假與組成它的簡單命題真假有關(guān)，其中往往會涉及參數(shù)的取值范圍問題． 考點(diǎn)三 與全稱命題、特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)問題 全稱命題和特稱命題從邏輯結(jié)構(gòu)而言，是含義相反的兩種命題，利用正難則反的思想互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到解題的目的． 考點(diǎn)四 與全稱量詞、特稱量詞有關(guān)的參數(shù)問題 全稱量詞“”表示對于任意一個(gè)，指的是在指定范圍內(nèi)的恒成立問題，而特稱量詞“”表示存在一個(gè)，指的是在指定范圍內(nèi)的有解問題，上述兩個(gè)問

6、題都利用參變分離法求參數(shù)取值范圍． IV．題型攻略·深度挖掘 【考試方向】 這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，往往與命題（特別是含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的復(fù)合命題）真假的判斷、充分條件與必要條件的判斷以及全稱命題、特稱命題等聯(lián)系緊密． 【技能方法】 解決與簡易邏輯問題有關(guān)的參數(shù)問題，需要正確理解充分條件和必要條件的定義，弄懂邏輯聯(lián)接詞的含義以及全稱量詞、特稱量詞包含的數(shù)學(xué)理論 【易錯(cuò)指導(dǎo)】 （1）參數(shù)的邊界值即是否取等號，容易出錯(cuò)； （2）判斷充分條件和必要條件時(shí)，容易將方向弄錯(cuò)． V．舉一反三·觸類旁通 考向1 與充分條件、必要條件有關(guān)的參數(shù)問題

7、 【例1】【2018安徽滁州高三9月聯(lián)合質(zhì)檢】“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 【答案】A 【例2】【2017湖南邵陽第二次聯(lián)考】“”是“函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)”的（ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若函數(shù)在區(qū)間無零點(diǎn)，則 故選A． 【例3】【2017黑龍江哈爾濱第三中學(xué)高三二?！繉τ诔?shù)，“關(guān)于的方程有兩個(gè)正根” 是“方程的曲線是橢圓” 的（ ） A．充分不必要條件

8、 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．即不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】依題意，兩個(gè)正根即，令，此時(shí)方程有兩個(gè)正根，但是方程不是橢圓．反之，令，方程是橢圓，但是沒有實(shí)數(shù)根．綜上所述，應(yīng)選既不充分也不必要條件． 【例4】【2017江蘇無錫模擬】若，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限是的 （ ） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】∵，∴由題設(shè)可得，因此不充分；反之，當(dāng)，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，是必要條件，故應(yīng)選答案B． 【例5】【江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中

9、考試】已知命題，命題，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】[－2，5] 【解析】 【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“? ”為真，則是的充分條件． 2．等價(jià)法：利用? 與非?非， ? 與非?非， ? 與非?非的等價(jià)關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． 3．集合法：若? ，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件． 【跟蹤練習(xí)】 1．【2017湖北七市（州）3月聯(lián)考】已知圓．設(shè)條件，條件圓上至多有個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則是的 A．充分不必要條件

10、 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】∵圓心到定直線的距離為，若半徑，如上圖，則恰有三個(gè)點(diǎn)到定直線的距離都是1．由于，故圓上最多有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1；反之也成立，應(yīng)選答案C． 2．【2017高三百校聯(lián)盟】已知，，若的一個(gè)充分不必要條件是 ，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3．已知，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． 【答案】[-1，6] 【解析】∵p是q的充分不必要條件，∴q是p的充分不必要條件．又∵，∴，解得： ． 考向2 與邏輯

11、聯(lián)接詞有關(guān)的參數(shù)問題 【例6】【2018齊魯名校教科研協(xié)作體山東、湖北部分重點(diǎn)聯(lián)考】已知命題 若為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由為假命題可得p假q真，若p為假，則無解，可得； 若q為真則，∴答案為C． 【例7】【2017四川資陽4月模擬】設(shè)命題：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題：當(dāng)時(shí)， 恒成立，如果命題“p∧q”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________． 【答案】； 【解析】解：由題意可知，命題 均為真命題， 為真命題時(shí)： ，解得： ， 為真命題時(shí)： 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 上單調(diào)遞增， ，故：，綜上可得

12、，實(shí)數(shù)的取值范圍是：． 【例8】【2017貴州校級聯(lián)考】已知函數(shù)，命題：實(shí)數(shù)滿足不等式；命題：實(shí)數(shù)滿足不等式，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 【例9】【2018遼寧莊河高級中學(xué)、沈陽第二十中學(xué)聯(lián)考】已知命題指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，命題關(guān)于的方程 的兩個(gè)實(shí)根均大于3．若“或”為真，“且”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】． 【解析】試題分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出命題p為真命題時(shí)a的范圍，利用二次方程的實(shí)根分布求出命題q為真命題時(shí)a的范圍；據(jù)復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡單命題真假的關(guān)系將“p或q為真，p且q為假”轉(zhuǎn)化為p， q的真假，列出不等式

13、組解得． 試題解析：若p真，則在R上單調(diào)遞減，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a＜． 若q真，令f（x）=x2-3ax+2a2+1，則應(yīng)滿足 ，又由已知“或”為真，“且”為假；應(yīng)有p真q假，或者p假q真． ①若p真q假，則， a無解． ②若p假q真，則． 綜上①②知實(shí)數(shù)的取值范圍為． 考點(diǎn)：１．復(fù)合命題的真假與簡單命題真假的關(guān)系；２．二次方程實(shí)根分布． 【例10】【2018安徽滁州9月聯(lián)考】已知； 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． (1)若為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)若為真命題， 為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）；（2）． 若為真，則， 或 ． (1)若為假命題，則

14、均為假命題，實(shí)數(shù)的取值范圍為． (2)若為真命題， 為假命題，則一真一假． 若真假，則實(shí)數(shù)滿足，即； 若假真，則實(shí)數(shù)滿足，即． 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為． 【例11】設(shè)命題p：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題q：對一切的實(shí)數(shù)恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【分析】首先分別將命題翻譯成實(shí)數(shù)的取值范圍，若命題“p且q”為假命題，則至少有一個(gè)假，分類討論． 【解析】，． “且”為假命題，，至少有一假: （1）若真假，則且； （2）若假真，則且； （3）若假假，則且，． 【點(diǎn)評】復(fù)合命題的真假與組成它的簡單命題真假有關(guān)，故先分別將簡單命題翻譯，根據(jù)其真假關(guān)系，

15、轉(zhuǎn)化為集合間的運(yùn)算． 【跟蹤練習(xí)】 已知命題函數(shù)的值域?yàn)?，命題方程在上有解，若命題“或”是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 考向3 與全稱命題、特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)問題 【例12】【2017吉林三模】函數(shù)的定義域?yàn)?，對給定的正數(shù)，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的級“理想?yún)^(qū)間”．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．函數(shù)（）存在級“理想?yún)^(qū)間” B．函數(shù)不存在級“理想?yún)^(qū)間” C．函數(shù)存在級“理想?yún)^(qū)間” D．函數(shù)不存在級“理想?yún)^(qū)間” 【答案】D 【例13】【江蘇省如東高級中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研】若命題“，使得”是假命題，則實(shí)數(shù)的

16、取值范圍為__________． 【答案】 【點(diǎn)評】已知命題為假命題，則其否定是真命題，故將該題轉(zhuǎn)化為恒成立問題處理． 【跟蹤練習(xí)】 已知命題p：“?x∈R，?m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命題p為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________． 【答案】(－∞，－2] 考向4 與全稱量詞、特稱量詞有關(guān)的參數(shù)問題 【例14】【2017北京西城區(qū)二?！亢瘮?shù)．若存在，使得，則k的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù) 的圖象， 函數(shù) 是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則 也是R上的單調(diào)遞增

17、函數(shù)，則滿足題意時(shí)： 只需當(dāng) 時(shí) 成立，分類討論： 當(dāng) 時(shí)： ，解得： ，此時(shí)： ， 當(dāng) 時(shí)： ，解得： ，此時(shí)： ， 綜合以上兩種情況可得k的取值范圍是 ． 點(diǎn)睛：無論參數(shù)出現(xiàn)在什么類型 的題目中，只要根據(jù)解題要求，即參數(shù)的存在對解題造成了怎樣的阻礙，通過分類討論，消除這種阻礙，使問題得到解決．但需要注意一點(diǎn)，不能形成定勢思維：有參數(shù)就一定要分類討論． 【例15】【2018江蘇橫林高級中學(xué)模擬】若命題“， ”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____． 【答案】 【解析】，由于，命題“，”是真命題，則，實(shí)數(shù)的取值范圍是． 【例16】【2017湖北省黃岡模擬】若命題“”是假命題，則的

18、取值范圍是__________． 【答案】 【例17】【2017江蘇鹽城三?！咳裘}“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________． 【答案】 【解析】 為真命題，∴ 【例18】已知命題：“”，命題：“”． 若命題“且”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______________． 【分析】若命題“且”是真命題，則命題都是真命題，首先將命題對應(yīng)的參數(shù)范圍求出來，求交集即可． 【點(diǎn)評】命題是恒成立問題，命題是有解問題． 【例19】【泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試】已知命題是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________． 【答案】 【解析】由題設(shè)方程有解，故，即，故應(yīng)填答案． 【跟蹤練習(xí)】 已知函數(shù)，(a>0)，若，，使得f(x1)= g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________． 【答案】 13