2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第5單元 四邊形 第24課時 矩形、菱形、正方形檢測 湘教版

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1、 課時訓(xùn)練(二十四)矩形、菱形、正方形 |夯 實 基 礎(chǔ)| 一、選擇題 1．[2017·益陽]下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　) A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直 C．對角線相等 D．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 2．[2017·蘭州]如圖K24－1，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ADB＝30°，AB＝4，則OC＝(　　) A．5 B．4 C．3.5 D．3 圖K24－1 　　　圖K24－2 3．[2017·河南]如圖K24－2，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加下列條件不能判定?ABCD是菱形的只有(　　)

2、A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2 4．[2015·資陽]若順次連接四邊形ABCD四邊的中點，得到的圖形是一個矩形，則四邊形ABCD一定是(　　) A．矩形 B．菱形 C．對角線相等的四邊形 D．對角線互相垂直的四邊形 5．[2017·南充]已知菱形的周長為4 ，兩條對角線的和為6，則菱形的面積為(　　) A．2 B. C．3 D．4 6．[2017·臨沂]如圖K24－3，在△ABC中，點D是邊BC上的點(與B、C兩點不重合)，過點D作DE∥AC，DF∥AB，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，下列說法正確的是(　　) 圖K24－3

3、 A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形 7．[2017·呼和浩特]如圖K24－4，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E，F(xiàn)為BD所在直線上的兩點．若AE＝，∠EAF＝135°，則以下結(jié)論正確的是(　　) 圖K24－4 A．DE＝1 B．tan∠AFO＝ C．AF＝ D．四邊形AFCE的面積為 二、填空題 8．[2016·南充]如圖K24－5，菱形ABCD的周長是8 cm，則AB的長是________ cm. 圖K2

4、4－5 　　　圖K24－6 9．[2016·內(nèi)江]如圖K24－6，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE＝________． 10．[2017·蘭州]在平行四邊形ABCD中，對角線AC與DB相交于點O.要使四邊形ABCD是正方形，還需添加一組條件．下面給出了四組條件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正確的序號是：________． 11．[2017·黃岡]如圖K24－7，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形ADE，則∠BED＝______

5、__度． 圖K24－7 　　　圖K24－8 12．[2017·常德]如圖K24－8，正方形EFGH的頂點在邊長為2的正方形的邊上，若設(shè)AE＝x，正方形EFGH的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系為________． 圖K24－9 13．[2017·義烏]如圖K24－9為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點G在對角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F，若小敏行走的路程為3100 m，則小聰行走的路程為________m. 三、解答題 14．[2017·自貢]如圖K24－10

6、，點E、F分別在菱形ABCD的邊DC、DA上，且CE＝AF. 求證：∠ABF＝∠CBE. 圖K24－10 15．[2017·鹽城]如圖K24－11，矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分線BE，DF分別交邊AD，BC于點E，F(xiàn). (1)求證：四邊形BEDF為平行四邊形； (2)當(dāng)∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由． 圖K24－11 16．[2017·張家界]如圖K24－12，在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E，交CB的延長線于點F，連接AF，BE. (1)求證：△AGE≌△BGF； (2)試判斷四邊形AFBE的形狀，

7、并說明理由． 圖K24－12 |拓 展 提 升| 17．[2017·杭州]如圖K24－13，在正方形ABCD中，點G在對角線BD上(不與點B，D重合)，GE⊥DC于點E，GF⊥BC于點F，連接AG. (1)寫出線段AG，GE，GF長度之間的等量關(guān)系，并說明理由； (2)若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF＝105°，求線段BG的長． 圖K24－13 參考答案 1．C　[解析] 菱形的對角線互相平分、垂直、且每一條對角線平分一組對角，菱形是軸

8、對稱圖形又是中心對稱圖形，菱形的對角線不一定相等．因此選C. 2．B　[解析] 由題意可知，四邊形ABCD為矩形，則AC＝BD，OC＝AC.已知∠ADB＝30°，故在直角三角形ABD中，BD＝2AB＝8，AC＝BD＝8，OC＝AC＝4，故選B. 3．C　[解析] 選項A，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)； 選項B，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴?ABCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)； 選項C，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)； 選項D，

9、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ACB，∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴?ABCD是菱形(一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形)，故答案為C. 4．D 5．D　[解析] ∵菱形的四條邊相等，周長為4 ，∴菱形的邊長為.設(shè)菱形的兩條對角線的長分別為x，y，則x＋y＝6①，＝，即x2＋y2＝20②.①2－②，得2xy＝16.∴xy＝8.∴S菱形＝xy＝4.故選D. 6．D　[解析] 根據(jù)DE∥AC，DF∥AB，可證明四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判斷． 若AD⊥BC，無法判定四邊形AEDF是矩形，所以A錯誤； 若AD

10、垂直平分BC，可以判定四邊形AEDF是菱形，所以B錯誤； 若BD＝CD，無法判定四邊形AEDF是菱形，所以C錯誤； 若AD平分∠BAC，則∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF＝DF，又因為四邊形AEDF是平行四邊形，所以四邊形AEDF是菱形，故D正確． 7．C　[解析] ∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∴對角線互相垂直平分，AO＝OD＝，∴在Rt△AOE中，OE＝，DE＝OE－OD＝，∴A選項錯．∵∠EAF＝135°，∠ADO＝45°，∴∠ADE＝135°，∴△AFE∽△DAE，∴＝＝＝，∴AF＝，C選項正確．∴在Rt△AOF中，OF2＝AF2－AO2，∴OF＝，∴tan∠AFO＝

11、＝，∴B選項錯．EF＝OF＋OE＝，四邊形AFCE的面積＝EF·AC＝××＝，∴D選項錯誤． 8．2 9.　[解析] 在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝3，OA＝OC＝AC＝4，由勾股定理得BC＝＝5.∵OE⊥BC， ∴OE·BC＝OB·OC，∴OE＝＝. 10．①③④　[解析] ①有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即①正確；②BD為平行四邊形的對角線，AB為平行四邊形的一條邊，所以AB＝BD時，平行四邊形不可能是正方形，即②錯誤；③對角線相等且垂直的平行四邊形是正方形．由OB＝OC，得AC＝BD，由OB⊥OC得AC⊥BD，即四邊形ABCD為

12、正方形，即③正確；④鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線相等的菱形是正方形．依題意在平行四邊形ABCD中，由AB＝AD，得四邊形ABCD為菱形，又∵AC＝BD，∴四邊形ABCD為正方形，即④正確． 11．45　[解析] 由題意得，AB＝AE，∠BAD＝90°，∠DAE＝∠AED＝60°.所以∠BAE＝150°，∠AEB＝15°.所以∠BED＝∠AED－∠AEB＝60°－15°＝45°. 12．y＝2x2－4x＋4　[解析] 由題中條件可知，圖中的四個直角三角形是全等三角形，設(shè)AE＝x，則DE＝2－x，AF＝DE＝2－x，在Rt△AEF中，由勾股定理可得EF2＝(2－x)2＋x2＝2x2－4x

13、＋4，即正方形EFGH的面積為2x2－4x＋4. 13．4600　[解析] 連接GC，由四邊形ABCD為正方形可得△ADG≌△CDG，所以GC＝AG，由四邊形GECF為矩形可得GC＝EF，所以EF＝AG，小敏行走的路線為B→A→G→E，所以BA＋AG＋GE＝3100.小聰行走的路線為B→A→D→E→F，所以BA＋AD＋DE＋EF＝BA＋1500＋GE＋AG＝3100＋1500＝4600(m)． 14．證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C，AB＝CB. 在△AFB和△CEB中， ∴△AFB≌△CEB，∴∠ABF＝∠CBE. 15．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，

14、 ∴AB∥CD，BC∥AD.∴∠ABD＝∠CDB. ∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB， ∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB. ∴∠EBD＝∠FDB.∴BE∥DF. 又∵BC∥AD， ∴四邊形BEDF是平行四邊形． (2)當(dāng)∠ABE＝30°時，四邊形BEDF是菱形．理由如下： ∵BE平分∠ABD，∠ABE＝30°， ∴∠ABD＝60°，∠DBE＝30°. ∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°， ∴∠ADB＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠ADB.∴DE＝BE. ∵四邊形BEDF是平行四邊形， ∴四邊形BEDF是菱形． 16．解

15、：(1)證明：∵EF是AB的垂直平分線， ∴AG＝BG. ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CF， ∴∠AEG＝∠BFG，∠EAG＝∠FBG， 在△AGE和△BGF中， ∴△AGE≌△BGF(AAS)． (2)四邊形AFBE是菱形．理由如下： ∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF， 又AD∥CF，∴四邊形AFBE是平行四邊形， 又AB⊥EF，∴四邊形AFBE是菱形． 17．解：(1)AG2＝GE2＋GF2.理由如下：連接GC，由正方形的性質(zhì)知AD＝CD，∠ADG＝∠CDG. 在△ADG和△CDG中， ∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG. 由題意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°， ∴四邊形GFCE是矩形，∴GF＝EC. 在Rt△GEC中，根據(jù)勾股定理，得GC2＝GE2＋EC2， ∴AG2＝GE2＋GF2. (2)作AH⊥BD于點H， 由題意知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°， ∴△ABH為等腰直角三角形，△AGH為含30°角的直角三角形． ∵AB＝1， ∴AH＝BH＝，HG＝， ∴BG＝＋＝. 6