2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動(dòng)員 第04講 分式（含解析）

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1、第04講 分式 1．分式的基本概念 (1)形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式． (2)當(dāng)B≠0時(shí)，分式有意義；當(dāng)B＝0時(shí)，分式無(wú)意義；當(dāng)A＝0 時(shí)，分式的值為零. 2．分式的性質(zhì) (1)分式的分子與分母都乘(或除以)一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，即＝，＝；(M是不等于零的整式) (2)分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變．即＝－＝－＝. 3．最簡(jiǎn)分式：如果一個(gè)分式的分子與分母沒(méi)有公因式，那么這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式． 4．分式的運(yùn)算 (1)通分：把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分

2、的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母． (2)確定最簡(jiǎn)公分母： 確定方法：①取各分式的分母中系數(shù)的最小公倍數(shù)；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的冪取指數(shù)最大的；④所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各分母(或因式)的最高次冪的積即為最簡(jiǎn)公分母． (3)約分：把分式中分子與分母的___公因式____約去，這種變形叫做約分，約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)． (4)分式的運(yùn)算法則： ①加減法： 同分母加減法：±＝__； 異分母加減法：±＝. ②乘除法： ·＝；　÷＝___． ③乘方：()n＝. 考點(diǎn)1： 分式的化簡(jiǎn) 【例題1】下列變形錯(cuò)

3、誤的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】：A選項(xiàng)分子和分母同時(shí)除以最大公因式；B選項(xiàng)的分子和分母互為相反數(shù)；C選項(xiàng)分子和分母同時(shí)除以最大公因式，D選項(xiàng)正確的變形是所以答案是D選項(xiàng) 考點(diǎn)2： 分式的化簡(jiǎn) 【例題2】（2018包頭）化簡(jiǎn)；÷（﹣1）=　?。? 【答案】﹣． 【解析】：原式=÷（﹣） =÷ =? =﹣， 故答案為：﹣． 考點(diǎn)3：分式的加減乘除運(yùn)算 【例題3】先化簡(jiǎn)，再求值：÷(a＋2－)，其中a滿(mǎn)足a2－a－6＝0. 【解答】解：原式＝÷ ＝· ＝. ∵a2－a－6＝0，且a≠2，±3，∴a＝3(舍去)或a＝－2.

4、 ∴當(dāng)a＝－2時(shí)，原式＝－. 歸納：1.分式化簡(jiǎn)時(shí)，應(yīng)注意：當(dāng)自主確定代數(shù)式中字母的取值時(shí)，一定要注意所選取的值不能使原分式中的分母為0；另外對(duì)于所給值是代數(shù)式時(shí)，可考慮整體代入思想計(jì)算以達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的目的． 2．分式化簡(jiǎn)求值的一般步驟： 第一步：若有括號(hào)的，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，括號(hào)內(nèi)如果是異分母加減運(yùn)算時(shí)，需將異分母分式通分化為同分母分式運(yùn)算，然后將分子合并同類(lèi)項(xiàng)，把括號(hào)去掉，簡(jiǎn)稱(chēng)：去括號(hào)； 第二步：若有除法運(yùn)算的，將分式中除號(hào)(÷)后面的式子分子、分母顛倒，并把這個(gè)式子前的“÷”變?yōu)椤啊痢?，保證幾個(gè)分式之間除了“＋、－”就只有“×或·”，簡(jiǎn)稱(chēng)：除法變乘法； 第三步：計(jì)算分

5、式乘法運(yùn)算，利用因式分解、約分來(lái)計(jì)算乘法運(yùn)算，簡(jiǎn)稱(chēng)：先算乘法； 第四步：最后按照式子順序，從左到右計(jì)算分式加減運(yùn)算，直到化為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱(chēng)：再算加減； 第五步：將所給數(shù)值代入求值，代入數(shù)值時(shí)要注意使原分式有意義，簡(jiǎn)稱(chēng)：代入求值． 一、選擇題： 1. （2018?金華）若分式的值為0，則x的值為（　?。? A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．0 【答案】A 【解答】由分式的值為零的條件得x﹣3=0，且x+3≠0， 解得x=3． 故選：A． 2. （2018?臺(tái)州）計(jì)算，結(jié)果正確的是（　?。? A．1 B．x C． D． 【答案】A 【解答】原式

6、= =1，故選：A． 3. （2019?江蘇揚(yáng)州?3分）分式可變形為( D ) A. B.- C. D. 【答案】：故選B. 【解析】：分式的分母整體提取負(fù)號(hào)，則每一個(gè)都要變號(hào) 4.（2019?河北省?2分）如圖，若x為正整數(shù)，則表示﹣的值的點(diǎn)落在（　?。? A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【解析】∵﹣＝﹣＝1﹣＝ 又∵x為正整數(shù)， ∴≤x＜1 故表示﹣的值的點(diǎn)落在② 5. （2019?四川省達(dá)州市?3分）a是不為1的有理數(shù)，我們把稱(chēng)為a的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)為＝﹣1，﹣1的差倒數(shù)＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒數(shù)，

7、a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)…，依此類(lèi)推，a2019的值是（　　） A．5 B．﹣ C． D． 【答案】D 【解答】解：∵a1＝5， a2＝＝＝﹣， a3＝＝＝， a4＝＝＝5， … ∴數(shù)列以5，﹣，三個(gè)數(shù)依次不斷循環(huán)， ∵2019÷3＝673， ∴a2019＝a3＝， 故選：D． 二、填空題： 6. （2019?江蘇泰州?3分）若分式有意義，則x的取值范圍是　?。? 【答案】 x≠ 【解答】解：根據(jù)題意得，2x﹣1≠0， 解得x≠． 故答案為：x≠． 7. （2018?襄陽(yáng)）計(jì)算﹣的結(jié)果是　　． 【答案】 【解答】原式= ==，故答案為：．

8、 8. （2018·四川自貢·4分）化簡(jiǎn)+結(jié)果是　?。? 【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案． 【解答】解：原式=+ = 故答案為： 9. 先閱讀下面一段文字，然后解答問(wèn)題： 一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購(gòu)買(mǎi)鉛筆301支以上（包括301支）可以按批發(fā)價(jià)付款；購(gòu)買(mǎi)300支以下（包括300支）只能按零售價(jià)付款．現(xiàn)有學(xué)生小王購(gòu)買(mǎi)鉛筆，如果給初三年級(jí)學(xué)生每人買(mǎi)1支，則只能按零售價(jià)付款，需用（m2﹣1）元，（m為正整數(shù)，且m2﹣1＞100）如果多買(mǎi)60支，則可按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用（m2﹣1）元． 設(shè)初三年級(jí)共有x名學(xué)生，則①x的取值范圍是　?。? ②鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為　　元；

9、 ③批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為　　元．（用含x、m的代數(shù)式表示）． 【分析】①關(guān)系式為：學(xué)生數(shù)≤300，學(xué)生數(shù)+60≥301列式求值即可； ②零售價(jià)=總價(jià)÷學(xué)生實(shí)有人數(shù)； ③批發(fā)價(jià)=總價(jià)÷（學(xué)生實(shí)有人數(shù)+60）． 【解答】解：①由題意得： x≤300，x+60≥301， ∴241≤x≤300； ②鉛筆的零售價(jià)每支應(yīng)為元； ③批發(fā)價(jià)每支應(yīng)為元． 三、解答題： 10. （2018?玉林）先化簡(jiǎn)再求值：（a﹣）÷，其中a=1+，b=1﹣． 【分析】據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案， 【解答】：當(dāng)a=1+，b=1﹣時(shí)， 原式=? =? === 11.（2017張家界）先化簡(jiǎn)（1﹣）÷，

10、再?gòu)牟坏仁?x﹣1＜6的正整數(shù)解中選一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)代入求值． 【分析】先把括號(hào)里的式子進(jìn)行通分，再把后面的式子根據(jù)完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解，然后約分，再求出不等式的解集，最后代入一個(gè)合適的數(shù)據(jù)代入即可． 【解答】解：（1﹣）÷=×=， ∵2x﹣1＜6， ∴2x＜7， ∴x＜， 把x=3代入上式得： 原式==4． 12. (2018·遵義)化簡(jiǎn)分式(＋)÷，并在2，3，4，5這四個(gè)數(shù)中取一個(gè)合適的數(shù)作為a的值代入求值． 【解析】：原式＝[－]÷ ＝(－)· ＝· ＝a＋3. ∵a≠－3，2，3， ∴a＝4或a＝5. ∴當(dāng)a＝4時(shí)，原式＝7.(或當(dāng)a＝5時(shí)，

11、原式＝8.) 13. (2018·石家莊模擬)化簡(jiǎn)÷－，并求值，其中a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊，且a為整數(shù)． 【解析】：原式＝·＋ ＝＋ ＝. ∵a與2，3構(gòu)成△ABC的三邊， ∴1

12、必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶(hù)面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好，問(wèn)同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（1）使用作差法，對(duì)兩個(gè)分式求差，有﹣=，由差的符號(hào)來(lái)判斷兩個(gè)分式的大小． （2）由（1）的結(jié)論，將1換為k，易得答案， （3）由（2）的結(jié)論，可得一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個(gè)分?jǐn)?shù)整體增大；結(jié)合實(shí)際情況判斷，可得結(jié)論． 【解答】解：（1）＜（m＞n＞0） 證明：∵﹣=， 又∵m＞n＞0， ∴＜0， ∴＜． （2）根據(jù)（1）的方法，將1換為k，有＜（m＞n＞0，k＞0）． （3）設(shè)原來(lái)的地板面積和窗戶(hù)面積分別為x、y，增加面積為a， 由（2）的結(jié)論，可得一個(gè)真分?jǐn)?shù)，分子分母增大相同的數(shù)，則這個(gè)分?jǐn)?shù)整體增大； 則可得：＞， 所以住宅的采光條件變好了． 8