2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題06 反比例函數(shù)（含解析）

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1、專題05 反比例函數(shù) 必考點1 反比例函數(shù)的概念 1．（）可以寫成（）的形式，注意自變量x的指數(shù)為，在解決有關(guān)自變量指數(shù)問題時應(yīng)特別注意系數(shù)這一限制條件； 2．（）也可以寫成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k，從而得到反比例函數(shù)的解析式； 3．反比例函數(shù)的自變量，故函數(shù)圖象與x軸、y軸無交點． 【典例1】下列各點中，在函數(shù)y=－圖象上的是（ ） A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1） 【答案】A 【解析】 所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應(yīng)等于比例系數(shù)．本題只需把所給點的橫縱坐標相乘，結(jié)果是﹣8的，就在此函數(shù)圖象

2、上 考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征 【舉一反三】 1. 點（2，﹣4）在反比例函數(shù)y=的圖象上，則下列各點在此函數(shù)圖象上的是（　?。? A．（2，4） B．（﹣1，﹣8） C．（﹣2，﹣4） D．（4，﹣2） 【答案】D 【解析】 ∵點（2，-4）在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴k=2×（-4）=-8． ∵A中2×4=8；B中-1×（-8）=8；C中-2×（-4）=8；D中4×（-2）=-8， ∴點（4，-2）在反比例函數(shù)y=的圖象上． 故選D． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是求出反比例系數(shù)k，解決該題型題目時，結(jié)合點的坐標利用反比例函

3、數(shù)圖象上點的坐標特征求出k值是關(guān)鍵． 2．下列函數(shù)中是反比例函數(shù)的是（　?。? A．y＝x+1 B．y＝ C．y＝﹣2x D．y＝2x2 【答案】B 【解析】 解：A、y＝x+1是一次函數(shù)，故選項錯誤； B、是反比例函數(shù)，故選項正確； C、是正比例函數(shù)，故選項錯誤； D、，是二次函數(shù)函數(shù)，故選項錯誤． 故選：B． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式（k≠0）轉(zhuǎn)化為（k≠0）的形式． 3．若反比例函數(shù)的圖象過點（-2，1），則這個函數(shù)的圖象一定過點（ ） A．（2，-1） B．（2，1） C．（-2，-1） D．（1，2） 【答案】A 【解析】 把

4、（-2，1）代入y=得k=-2×1=-2， 所以反比例函數(shù)解析式為y=， 因為2×（-1）=-2， 2×1=2，-2×(-1)=2，1×2=2， 所以點（2，-1）在反比例函數(shù)y=的圖象上． 故選A． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k． 必考點2 反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì) 【典例2】若點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵點，，都在反比例函數(shù)的圖象上， ∴分別把x=-

5、3、x=-2、x=1代入得，， ∴ 故選：B 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識點是解題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 1. 點A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函數(shù)的圖象上，若x1＜x2＜0，則（　?。? A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0 【答案】C 【解析】 解：∵k＝2＞0， ∴此函數(shù)圖象的兩個分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小， ∵x1＜x2＜0， ∴點A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限， ∴y2＜y1＜0， 故選：C． 【點睛】 本題考查的是反

6、比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵． 2．在反比例函數(shù)y＝的每一條曲線上，y都隨著x的增大而減小，則k的值可以是（ ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】 ∵反比例函數(shù)y=1?kx圖象的每一條曲線上，y隨x的增大而減小， ∴1?k>0， 解得k<1. 故選A. 【點睛】 此題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于根據(jù)其性質(zhì)求出k的值. 3．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過，結(jié)合圖象，則不等式的解集是（　?。? A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】

7、 解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象上方時，的取值范圍是：或， ∴不等式的解集是或. 故選：C． 【點睛】 本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 必考點3 K的幾何意義 幾種常見基本類型 1.類型一： 類型二： 類型三： 【典例3】如圖所示，點A是反比例函數(shù)y＝的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC、BC．若△ABC的面積為5，則k的值為( ) A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10 【

8、答案】D 【解析】 解：連結(jié)OA，如圖， 軸， ， ， 而， ， ， ． 故選D． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值． 【舉一反三】 1.如圖，是直角三角形，，，點在反比例函數(shù)的圖象上．若點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為（ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】D 【解析】 過點、作軸，軸，分別于、， 設(shè)點的坐標是，則，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 因為點在反比例函數(shù)的圖象上，則， 點在反

9、比例函數(shù)的圖象上，點的坐標是， . 故選：. 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點的坐標的問題，求出圖象上點的橫縱坐標的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式. 2．如圖，A 、 B是曲線上的點，經(jīng)過A、 B兩點向x 軸、y軸作垂線段，若S陰影＝1 則 S1+S2 =( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 ∵A、B是曲線上的點，經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段圍成的矩形面積都是5， ,∵S陰影＝1，∴S1=S2=4，即S1+S2=8， 故選D 【點睛】 本題主要

10、考查反比例函數(shù)上的點向坐標軸作垂線圍成的矩形面積問題，難度不大 3．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與邊長是4的正方形的兩邊，分別相交于兩點。的面積為6。則的值是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】 解：（1）∵正方形OABC的邊長是4， ∴點M的橫坐標和點N的縱坐標為4， ∴M（4，），N（，4）， ∵△OMN的面積為6， ∴ 解得： ∵圖像位于第一象限， ∴k=8. 故選：C. 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義. 必考點4 反比例函數(shù)的實際應(yīng)用 【典例4】（2018·山東中考真題）春季

11、是傳染病多發(fā)的季節(jié)，積極預(yù)防傳染病是學(xué)校高度重視的一項工作，為此，某校對學(xué)生宿舍采取噴灑藥物進行消毒.在對某宿舍進行消毒的過程中，先經(jīng)過的集中藥物噴灑，再封閉宿舍，然后打開門窗進行通風(fēng)，室內(nèi)每立方米空氣中含藥量與藥物在空氣中的持續(xù)時間之間的函數(shù)關(guān)系，在打開門窗通風(fēng)前分別滿足兩個一次函數(shù)，在通風(fēng)后又成反比例，如圖所示.下面四個選項中錯誤的是（ ） A．經(jīng)過集中噴灑藥物，室內(nèi)空氣中的含藥量最高達到 B．室內(nèi)空氣中的含藥量不低于的持續(xù)時間達到了 C．當室內(nèi)空氣中的含藥量不低于且持續(xù)時間不低于35分鐘，才能有效殺滅某種傳染病毒.此次消毒完全有效 D．當室內(nèi)空氣中的含藥量低于時，對人體才

12、是安全的，所以從室內(nèi)空氣中的含藥量達到開始，需經(jīng)過后，學(xué)生才能進入室內(nèi) 【答案】C 【解析】 解: A、正確．不符合題意． B、由題意x=4時，y=8，∴室內(nèi)空氣中的含藥量不低于8mg/m3的持續(xù)時間達到了11min，正確，不符合題意； C、y=5時，x=2.5或24，24-2.5=21.5＜35，故本選項錯誤，符合題意； D、正確．不符合題意， 故選C. 【點睛】 本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，屬于中考?？碱}型. 【舉一反三】 1．（2019·湖北中考真題）公元前3世紀，古希臘科學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿平衡，后來人們把它歸納

13、為“杠桿原理”，即：阻力×阻力臂=動力×動力臂.小偉欲用撬根撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和，則動力（單位：）關(guān)于動力臂l（單位：）的函數(shù)解析式正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵阻力×阻力臂=動力×動力臂．小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，已知阻力和阻力臂分別是和， ∴動力(單位：)關(guān)于動力臂(單位：)的函數(shù)解析式為：， 則， 故選B． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，弄清題意，正確分析各量間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 2．（2019·江蘇初二月考）我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種在自然光照且溫度為18℃的條件下

14、生長最快的新品種．圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）隨時間x（小時）變化的函數(shù)圖象，其中BC段是雙曲線的一部分．請根據(jù)圖中信息解答下列問題： （1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚內(nèi)溫度18℃的時間有多少小時？ （2）求k的值； （3）當x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為多少度？ 【答案】（1）10小時 （2）k=216 （3）13.5℃ 【解析】 （1）恒溫系統(tǒng)在這天保持大棚溫度18℃的時間為12﹣2=10小時. （2）∵點B（12，18）在雙曲線上， ∴，∴解得：k=216 （3）由（2）， 當x=16時，， ∴當x=16時，大棚內(nèi)的溫度約為13.5℃.

15、 【點睛】 本題考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于讀懂題意. 1．（2019·廣西中考真題）已知，一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象可能（　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：若反比例函數(shù) 經(jīng)過第一、三象限，則 ．所以 ．則一次函數(shù) 的圖象應(yīng)該經(jīng)過第一、二、三象限； 若反比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，則a<0．所以b>0．則一次函數(shù)的圖象應(yīng)該經(jīng)過第二、三、四象限． 故選項A正確； 故選A． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題． 2．（2019·湖北中

16、考真題）反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（　　） A．圖象經(jīng)過點(1,-3) B．圖象位于第二、四象限 C．圖象關(guān)于直線y=x對稱 D．y隨x的增大而增大 【答案】D 【解析】 解：由點的坐標滿足反比例函數(shù)，故A是正確的； 由，雙曲線位于二、四象限，故B也是正確的； 由反比例函數(shù)的對稱性，可知反比例函數(shù)關(guān)于對稱是正確的，故C也是正確的， 由反比例函數(shù)的性質(zhì)，，在每個象限內(nèi)，隨的增大而增大，不在同一象限，不具有此性質(zhì)，故D是不正確的， 故選：D． 【點睛】 考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當時，在每個象限內(nèi)隨的增大而增大的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖象，和是它的對稱軸，同時也是中心

17、對稱圖形；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵. 3．（2019·廣東中考模擬）如圖，A、B兩點在雙曲線y=上，分別經(jīng)過A、B兩點向軸作垂線段，已知S陰影=1，則S1+S2=（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】 ∵點A、B是雙曲線y=上的點，分別經(jīng)過A、B兩點向x軸、y軸作垂線段， 則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個矩形的面積都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4-1×2=6． 故選D． 4．（2019·內(nèi)蒙古中考模擬）如圖，△ABC的三個頂點分別為A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函數(shù)y＝

18、在第一象限內(nèi)的圖象與△ABC有交點，則k的取值范圍是(　　) A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16 【答案】C 【解析】 ∵△ABC是直角三角形，∴當反比例函數(shù)經(jīng)過點A時k最小，經(jīng)過點C時k最大， ∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．故選C． 5．（2019·山東中考真題）如圖，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點C，若S△AOB＝S△BOC＝1，則k＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 如圖，作CD⊥x軸于D，設(shè)OB＝a（a＞0）． ∵

19、S△AOB＝S△BOC， ∴AB＝BC． ∵△AOB的面積為1， ∴OA?OB＝1， ∴OA＝， ∵CD∥OB，AB＝BC， ∴OD＝OA＝，CD＝2OB＝2a， ∴C（，2a）， ∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點C， ∴k＝×2a＝4． 故選D． 【點睛】 此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會運用相似求線段長度是解題的關(guān)鍵． 6．（2019·湖南中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象都經(jīng)過，結(jié)合圖象，則不等式的解集是（　?。? A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 解：由函數(shù)圖象可知，

20、當一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象上方時，的取值范圍是：或， ∴不等式的解集是或. 故選：C． 【點睛】 本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵． 7．（2019·浙江中考真題）如圖，矩形的頂點都在曲線 （常數(shù)，）上，若頂點的坐標為，則直線的函數(shù)表達式是_. 【答案】 【解析】 ∵D（5，3）， ∴A（，3），C（5，）， ∴B（，）， 設(shè)直線BD的解析式為y=mx+n， 把D（5，3），B（，）代入得 ，解得， ∴直線BD的解析式為． 故答案為． 【點睛】 本題考查了反比例

21、函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性質(zhì)． 8．（2019·湖南初三期中）已知反比例函數(shù)y=（k是常數(shù)，k≠1）的圖象有一支在第二象限，那么k的取值范圍是_____． 【答案】k＜1 【解析】 ∵反比例函數(shù)y=的圖象有一支在第二象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1， 故答案為k＜1． 【點睛】本題考查了反比例函數(shù)y=(k≠0，k為常數(shù))的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，k>0時，圖象位于一、三象限，k<0時，圖象位于二、四象限，熟知這些相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵. 9．（

22、2019·遼寧中考真題）如圖，點A在雙曲線y＝（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸于點B，點C在線段AB上且BC：CA＝1：2，雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點C，則k＝_____． 【答案】2 【解析】 解：連接OC， ∵點A在雙曲線y＝（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸于點B， ∴S△OAB＝×6＝3， ∵BC：CA＝1：2， ∴S△OBC＝3×＝1， ∵雙曲線y＝（x＞0）經(jīng)過點C， ∴S△OBC＝|k|＝1， ∴|k|＝2， ∵雙曲線y＝（x＞0）在第一象限， ∴k＝2， 故答案為2． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，

23、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵． 10．（2019·山東中考模擬）如圖，等邊三角形AOB的頂點A的坐標為（﹣4，0），頂點B在反比例函數(shù)（x＜0）的圖象上，則k= ． 【答案】-4. 【解析】 過點B作BD⊥x軸于點D， ∵△AOB是等邊三角形，點A的坐標為（﹣4，0）， ∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4， ∴OD= OB=2，BD=OB?sin60°=4×=2， ∴B（﹣2，2 ）， ∴k=﹣2×2 =﹣4． 【點睛】 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角函

24、數(shù)等知識，難度適中． 11．（2019·湖北中考真題）如圖，一直線經(jīng)過原點，且與反比例函數(shù)相交于點、點，過點作軸，垂足為，連接．若面積為，則_____． 【答案】8 【解析】 解：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象相交于、兩點， 兩點關(guān)于原點對稱， ， 的面積的面積， 又是反比例函數(shù)圖象上的點，且軸于點， 的面積， ， ， ． 故答案為． 【點睛】 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵在于得出O為線段AB的中點． 12．（2019·內(nèi)蒙古中考真題）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升10℃，加

25、熱到100℃停止加熱，水溫開始下降，此時水溫（℃）與開機后用時（）成反比例關(guān)系，直至水溫降至30℃，飲水機關(guān)機，飲水機關(guān)機后即刻自動開機，重復(fù)上述自動程序．若在水溫為30℃時接通電源，水溫（℃）與時間（）的關(guān)系如圖所示： （1）分別寫出水溫上升和下降階段與之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）怡萱同學(xué)想喝高于50℃的水，請問她最多需要等待多長時間？ 【答案】（1）與的函數(shù)關(guān)系式為： ，與的函數(shù)關(guān)系式每分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次；（2）她最多需要等待分鐘； 【解析】 （1）由題意可得， ， 當時，設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：， ，得， 即當時，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為， 當時，設(shè)， ，得， 即當時，關(guān)

26、于的函數(shù)關(guān)系式為， 當時，， ∴與的函數(shù)關(guān)系式為： ，與的函數(shù)關(guān)系式每分鐘重復(fù)出現(xiàn)一次； （2）將代入，得， 將代入，得， ∵， ∴怡萱同學(xué)想喝高于50℃的水，她最多需要等待分鐘； 【點睛】 考核知識點：一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合運用.根據(jù)實際結(jié)合圖象分析問題是關(guān)鍵. 13．（2019·湖南初三期中）某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種蔬菜．如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度y （℃）與時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段AB、BC表示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段． 請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

27、（1）求這天的溫度y與時間x（0≤x≤24）的函數(shù)關(guān)系式； （2）求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度； （3）若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害．問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？ 【答案】（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；（2）恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C；（3）恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害． 【解析】 （1）設(shè)線段AB解析式為y=k1x+b（k≠0） ∵線段AB過點（0，10），（2，14） 代入得 解得 ∴AB解析式為：y=2x+10（0≤x＜5） ∵B在線段AB上當x=5時，y=20 ∴B坐標為（5，20） ∴線段BC的解析式為：y=20（5≤x＜10） 設(shè)雙曲線CD解析式為：y=（k2≠0） ∵C（10，20） ∴k2=200 ∴雙曲線CD解析式為：y=（10≤x≤24） ∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為： （2）由（1）恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20°C （3）把y=10代入y=中，解得，x=20 ∴20-10=10 答：恒溫系統(tǒng)最多關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害． 點睛：本題為實際應(yīng)用背景的函數(shù)綜合題，考查求得一次函數(shù)、反比例函數(shù)和常函數(shù)關(guān)系式．解答時應(yīng)注意臨界點的應(yīng)用．