2年中考1年模擬備戰(zhàn)2018年中考數(shù)學(xué) 第四篇 圖形的性質(zhì) 專(zhuān)題18 等腰三角形與直角三角形（含解析）

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1、 第四篇 圖形的性質(zhì) 專(zhuān)題18 等腰三角形與直角三角形 ?解讀考點(diǎn) 知　識(shí)　點(diǎn) 名師點(diǎn)晴 等腰三角形 等腰三角形的性質(zhì) 理解等腰三角形的性質(zhì)，并能解決等腰三角形的有關(guān)計(jì)算 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是等腰三角形 等邊三角形 等邊三角形的性質(zhì) 理解等邊三角形的性質(zhì) 等邊三角形的判定 掌握等邊三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是等邊三角形 直角三角形 直角三角形的性質(zhì) 理解直角三角形的有關(guān)性質(zhì) 直角三角形的判定 掌握直角三角形的判定方法，會(huì)證明一個(gè)三角形是直角三角形 勾股定理 理解并掌握勾股定理及其逆定

2、理 ?2年中考 【2017年題組】 一、選擇題 1．（2017內(nèi)蒙古包頭市）若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm，其中一邊長(zhǎng)為2cm，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（　?。? A．2cm　　　　　　B．4cm　　　　　　C．6cm　　　　　　D．8cm 【答案】A． 【解析】 試題分析：若2cm為等腰三角形的腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為10﹣2﹣2=6（cm），2+2＜6，不符合三角形的三邊關(guān)系； 若2cm為等腰三角形的底邊，則腰長(zhǎng)為（10﹣2）÷2=4（cm），此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)分別為2cm，4cm，4cm，符合三角形的三邊關(guān)系；故選A． 考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．三角形三邊關(guān)系；3．

3、分類(lèi)討論． 2．（2017天津）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的兩條中線(xiàn)，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線(xiàn)段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是（　?。? A．BC　　　　　　B．CE　　　　　　C．AD　　　　　　D．AC 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：1．軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；2．等腰三角形的性質(zhì)；3．最值問(wèn)題． 3．（2017山東省淄博市）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】C．

4、 【解析】 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．角平分線(xiàn)的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定與性質(zhì)；4．綜合題． 4．（2017湖北省武漢市）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一邊為邊畫(huà)等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫(huà)出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為（　?。? A．4　　　　　　B．5　　　　　　C．6　　　　　　D．7 【答案】D． 【解析】 試題分析：如圖： 故選D． 考點(diǎn)：1．等腰三角形的判定與性質(zhì)；2．分類(lèi)討論；3．綜合題；4．操作型． 5．（2017湖北省荊州市）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，A

5、B的垂直平分線(xiàn)l交AC于點(diǎn)D，則∠CBD的度數(shù)為（　　） A．30°　　　　　　B．45°　　　　　　C．50°　　　　　　D．75° 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)． 6．（2017湖北省鄂州市）如圖，AB∥CD，E為CD上一點(diǎn)，射線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EC=EA．若∠CAE=30°，則∠BAF=（　?。? A．30°　　　　　　B．40°　　　　　　C．50°　　　　　　D．60° 【答案】D． 【解析】 考點(diǎn)：1．平行線(xiàn)的性質(zhì)；2．等腰三角形的性質(zhì)． 7．（2017貴州省畢節(jié)市）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分

6、別在BC，CD上，且∠EAF=45°，將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，則下列判斷不正確的是（　　） A．△AEE′是等腰直角三角形　　　　　　B．AF垂直平分EE' C．△E′EC∽△AFD　　　　　　D．△AE′F是等腰三角形 【答案】D． 【解析】 試題分析：∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，∴AE′=AE，∠E′AE=90°，∴△AEE′是等腰直角三角形，故A正確； ∵將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，∴∠E′AD=∠BAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DA

7、F=45°，∴∠E′AD+∠FAD=45°，∴∠E′AF=∠EAF，∵AE′=AE，∴AF垂直平分EE'，故B正確； ∵AF⊥E′E，∠ADF=90°，∴∠FE′E+∠AFD=∠AFD+∠DAF，∴∠FE′E=∠DAF，∴△E′EC∽△AFD，故C正確； ∵AD⊥E′F，但∠E′AD不一定等于∠DAE′，∴△AE′F不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤； 故選D． 考點(diǎn)：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；3．等腰三角形的判定；4．等腰直角三角形；5．正方形的性質(zhì)；6．相似三角形的判定． 8．（2017遼寧省營(yíng)口市）如圖，在△ABC中，AB=AC，E，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，以AC

8、為斜邊作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，則下列結(jié)論不正確的是（　?。? A．∠ECD=112.5°　　　　　　B．DE平分∠FDC　　　　　　C．∠DEC=30°　　　D．AB=CD 【答案】C． 【解析】 ∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C錯(cuò)誤，符合題意； ∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正確，不符合題意． 故選C． 考點(diǎn)：1．三角形中位線(xiàn)定理；2．等腰三角形的性質(zhì)． 9．（2017廣西河池市）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12，D是AB上的

9、動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)G．當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長(zhǎng)是（　?。? A．3　　　　　　B．4　　　　　　C．8　　　　　　D．9 【答案】B． 【解析】 試題分析：設(shè)AD=x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°，∴AF=2x，∴CF=12﹣2x，∴CE=2CF=24﹣4x，∴BE=12﹣CE=4x﹣12，∴BD=2BE=8x﹣24，∵AD+BD=AB，∴x+8x﹣24=12，∴x=4，∴AD=4．故選B． 考點(diǎn)：1．等邊三角形的性

10、質(zhì)；2．含30度角的直角三角形；3．動(dòng)點(diǎn)型． 10．（2017廣西玉林崇左市）如圖，大小不同的兩個(gè)磁塊，其截面都是等邊三角形，小三角形邊長(zhǎng)是大三角形邊長(zhǎng)的一半，點(diǎn)O是小三角形的內(nèi)心，現(xiàn)將小三角形沿著大三角形的邊緣順時(shí)針滾動(dòng)，當(dāng)由①位置滾動(dòng)到④位置時(shí)，線(xiàn)段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度是（　　） A．240°　　　　　　B．360°　　　　　　C．480°　　　　　　D．540° 【答案】C． 【解析】 考點(diǎn)：1．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 11．（2017天門(mén)）如圖，P（m，m）是反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)作等邊△PAB，使

11、AB落在x軸上，則△POB的面積為（　?。? A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】D． 【解析】 考點(diǎn)：1．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；2．反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；3．等邊三角形的性質(zhì)． 12．（2017內(nèi)蒙古包頭市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F．若AC=3，AB=5，則CE的長(zhǎng)為（　?。? A． 　　　　B． 　　　　C． 　　　　D． 【答案】A． 【解析】 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．勾股定理；3．角平分線(xiàn)的性質(zhì)；4．綜合題． 13．（

12、2017山東省泰安市）如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，ME⊥AM，ME交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．若AB=12，BM=5，則DE的長(zhǎng)為（　?。? A．18　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，AB=12，BM=5，∴MC=12﹣5=7．∵M(jìn)E⊥AM，∴∠AME=90°，∴∠AMB+∠CMG=90°．∵∠AMB+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CMG，∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCG，∴，即，解得CG=，∴DG=12﹣=．∵AE∥BC，∴∠E=CMG，∠EDG=∠C，∴△MCG∽△EDG，∴，即，解得DE=．故選B

13、． 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．勾股定理；3．正方形的性質(zhì)． 14．（2017山東省聊城市）如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形，線(xiàn)段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn)，連接PA、PB，那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（　?。? A．2個(gè)　　　　　　B．3個(gè)　　　　　　C．4個(gè)　　　　　　D．5個(gè) 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：等腰直角三角形． 15．（2017江蘇省無(wú)錫市）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)等于（　?。?

14、A．2　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】D． 【解析】 試題分析：如圖連接BE交AD于O，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC==5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=，∵?BC?AH=?AB?AC，∴AH=，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分線(xiàn)段BE，△BCE是直角三角形，∵?AD?BO=?BD?AH，∴OB=，∴BE=2OB=，在Rt△BCE中，EC===，故選D． 考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問(wèn)題）；2．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)；3．勾股定理． 16．（2017浙江省紹興市）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子

15、斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（　?。? A．0.7米　　　　　　B．1.5米　　　　　　C．2.2米　　　　　　D．2.4米 【答案】C． 【解析】 考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用． 17．（2017湖北省襄陽(yáng)市）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（　?。?

16、A．3　　　　　　B．4　　　　　　C．5　　　　　　D．6 【答案】C． 【解析】 試題分析：如圖所示，∵，∴=21，∵大正方形的面積為13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C． 考點(diǎn)：勾股定理的證明． 18．（2017遼寧省大連市）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CD=DE=a，則AB的長(zhǎng)為（　　） A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D． 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)． 19．（2017遼寧省營(yíng)口市）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D在BC上

17、，BD=3，DC=1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為（　?。? A．4　　　　　　B．5　　　　　　C．6　　　　　　D．7 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：1．軸對(duì)稱(chēng)﹣?zhàn)疃搪肪€(xiàn)問(wèn)題；2．等腰直角三角形；3．最值問(wèn)題． 20．（2017遼寧省葫蘆島市）如圖，將矩形紙片ABCD沿直線(xiàn)EF折疊，使點(diǎn)C落在AD邊的中點(diǎn)C′處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，其中AB=9，BC=6，則FC′的長(zhǎng)為（　　） A．　　　　　　B．4　　　　　　C．4.5　　　　　　D．5 【答案】D． 【解析】 試題分析：設(shè)FC′=x，則FD=9﹣x，∵BC=6，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)C′為

18、AD的中點(diǎn)，∴AD=BC=6，C′D=3．在Rt△FC′D中，∠D=90°，F(xiàn)C′=x，F(xiàn)D=9﹣x，C′D=3，∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5．故選D． 考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．勾股定理． 21．（2017四川省雅安市）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=60°，AD=1，BC=2，則四邊形ABCD的面積是 （　?。? A．　　　　B．3　　　　C．　　　　D．4 【答案】A． 【解析】 考點(diǎn)：1．勾股定理；2．含30度角的直角三角形；3．解直角三角形． 二、填空題 22．（2017吉林省長(zhǎng)春市）如圖①，

19、這個(gè)圖案是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱(chēng)它為“趙爽弦圖”．此圖案的示意圖如圖②，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四個(gè)全等的直角三角形．若EF=2，DE=8，則AB的長(zhǎng)為 ． 【答案】10． 【解析】 考點(diǎn)：勾股定理的證明． 23．（2017吉林省長(zhǎng)春市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)為（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)P．若△ABC與△A'B'C'關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為 ． 【答案】（﹣2，﹣

20、3）． 【解析】 試題分析：如圖，點(diǎn)B，C的坐標(biāo)為（2，1），（6，1），得：BC=4．由∠BAC=90°，AB=AC，得AB=，∠ABD=45°，∴BD=AD=2，A（4，3），設(shè)AB的解析式為y=kx+b，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得：，解得：，AB的解析式為y=x﹣1，當(dāng)y=1時(shí)，x=1，即P（1，0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 xA′=2xP﹣xA=2﹣4=﹣2，yA′=2yA′﹣yA=0﹣3=﹣3，A′（﹣2，﹣3）．故答案為：（﹣2，﹣3）． 考點(diǎn)：1．坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)；2．等腰直角三角形． 24．（2017四川省樂(lè)山市）點(diǎn)A、B、C在格點(diǎn)圖中的位置如圖5所示，格點(diǎn)小正方形的

21、邊長(zhǎng)為1，則點(diǎn)C到線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的距離是 ． 【答案】． 【解析】 考點(diǎn)：勾股定理． 25．（2017山東省東營(yíng)市）我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處，則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是 尺． 【答案】25． 【解析】 考點(diǎn)：1．平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題；2．勾股定理的應(yīng)用；3．壓軸題；4．轉(zhuǎn)化思想． 26．（2017山東省青

22、島市）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，連接BE，ED，BD．若∠BAD=58°，則∠EBD的度數(shù)為 度． 【答案】32． 【解析】 試題分析：∵∠ABC=∠ADC=90°，∴點(diǎn)A，B，C，D在以E為圓心，AC為直徑的同一個(gè)圓上，∵∠BAD=58°，∴∠DEB=116°，∵DE=BE=AC，∴∠EBD=∠EDB=32°，故答案為：32． 考點(diǎn)：直角三角形斜邊上的中線(xiàn)． 27．（2017江蘇省徐州市）如圖，已知OB=1，以O(shè)B為直角邊作等腰直角三角形A1BO，再以O(shè)A1為直角邊作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，則線(xiàn)段OAn的

23、長(zhǎng)度為 ． 【答案】． 【解析】 考點(diǎn)：1．等腰直角三角形；2．規(guī)律型；3．綜合題． 28．（2017河南?。┤鐖D，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線(xiàn)折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為 ． 【答案】或1． 【解析】 試題分析：①如圖1，當(dāng)∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，∴BM=BC=； ②如圖2，當(dāng)∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，

24、∵沿MN所在的直線(xiàn)折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，∴BM=B′M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為或1，故答案為：或1． 考點(diǎn)：1．翻折變換（折疊問(wèn)題）；2．等腰直角三角形；3．分類(lèi)討論． 29．（2017湖北省武漢市）如圖，在△ABC中，AB=AC=，∠BAC=120°，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，則DE的長(zhǎng)為 ． 【答案】． 【解析】 ∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+

25、∠CAE=60°． 在△ADE和△AFE中，∵AD=AF，∠DAE=∠FAE=60°，AE=AE，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴DE=FE． ∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，∴設(shè)CE=2x，則CM=x，EM=x，F(xiàn)M=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x． 在Rt△EFM中，F(xiàn)E=6﹣6x，F(xiàn)M=3x，EM=x，∴EF2=FM2+EM2，即，解得：x1=，x2=（不合題意，舍去），∴DE=6﹣6x=．故答案為：． 考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．勾股定理；3．翻折變換（折疊問(wèn)題）；4．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 30．（2017寧夏）在△ABC中，AB=6，點(diǎn)D是

26、AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)M在DE上，且ME=DM．當(dāng)AM⊥BM時(shí)，則BC的長(zhǎng)為 ． 【答案】8． 【解析】 考點(diǎn)：1．三角形中位線(xiàn)定理；2．等腰三角形的判定與性質(zhì)． 31．（2017浙江省紹興市）如圖，∠AOB=45°，點(diǎn)M、N在邊OA上，OM=x，ON=x+4，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)．若使點(diǎn)P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是 ． 【答案】x=0或x= 或 ． 【解析】 試題分析：以MN為底邊時(shí)，可作MN的垂直平分線(xiàn)，與OB的必有一個(gè)交點(diǎn)P1 ， 且MN=4，以M為圓心MN為半徑畫(huà)圓，以N為圓心MN為

27、半徑畫(huà)圓，①如下圖，當(dāng)M與點(diǎn)O重合時(shí)，即x=0時(shí)，除了P1 ， 當(dāng)MN=MP，即為P3；當(dāng)NP=MN時(shí)，即為P2； 只有3個(gè)點(diǎn)P； ②當(dāng)0＜x＜4時(shí)，如下圖，圓N與OB相切時(shí)，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此時(shí)MP3=4，則OM=ON-MN= NP2-4= ． ③因?yàn)镸N=4，所以當(dāng)x＞0時(shí)，MN＜ON，則MN=NP不存在，除了P1外，當(dāng)MP=MN=4時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OB于D，當(dāng)OM=MP=4時(shí)，圓M與OB剛好交OB兩點(diǎn)P2和P3； 當(dāng)MD=MN=4時(shí)，圓M與OB只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)OM=MD=，故4≤x＜． 與OB有兩個(gè)交點(diǎn)P2和P3，故答案為：x=0或x=或

28、4≤x＜． 考點(diǎn)：1．等腰三角形的判定；2．相交兩圓的性質(zhì)；3．分類(lèi)討論；4．綜合題． 32．（2017黑龍江省綏化市）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，若AD=BC，則△ABC的頂角的度數(shù)為 ． 【答案】30°或150°或90°． 【解析】 考點(diǎn)：1．含30度角的直角三角形；2．等腰三角形的性質(zhì)；3．分類(lèi)討論． 33．（2017黑龍江省龍東地區(qū)）如圖，在△ABC中，AB=BC=8，AO=BO，點(diǎn)M是射線(xiàn)CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，則當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為 ． 【答案】或或4． 【解析】 如圖3，當(dāng)∠ABM

29、=90°時(shí)，∵∠BOM=∠AOC=60°，∴∠BMO=30°，∴MO=2BO=2×4=8，∴Rt△BOM中，BM==，∴Rt△ABM中，AM==． 綜上所述，當(dāng)△ABM為直角三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為或或4．故答案為：或或4． 考點(diǎn)：1．勾股定理；2．等腰三角形的性質(zhì)；3．分類(lèi)討論；4．動(dòng)點(diǎn)型；5．綜合題． 34．（2017遼寧省撫順市）如圖，等邊△A1C1C2的周長(zhǎng)為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)C3，使D1C3=D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)C4，使D2C4=D2C2，連接D2C4，

30、以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…且點(diǎn)A1，A2，A3，…都在直線(xiàn)C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長(zhǎng)和為 ．（n≥2，且n為整數(shù)） 【答案】． 【解析】 考點(diǎn)：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．規(guī)律型；3．綜合題． 35．（2017遼寧省營(yíng)口市）如圖，點(diǎn)A1（1，）在直線(xiàn)l1：y=x上，過(guò)點(diǎn)A1作A1B1⊥l1交直線(xiàn)l2：y=x于點(diǎn)B1，A1B1為邊在△OA1B1外側(cè)作等邊三角形A1B1C1，再過(guò)點(diǎn)C1作A2B2⊥l1，分別交直線(xiàn)l1和l2于A2，B2兩點(diǎn)，以A2B2為邊在△OA2B2外側(cè)作等邊三角形A2

31、B2C2，…按此規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)等邊三角形AnBnCn的面積為 ．（用含n的代數(shù)式表示） 【答案】． 【解析】 試題分析：∵點(diǎn)A1（1，），∴OA1=2． ∵直線(xiàn)l1：y=x，直線(xiàn)l2：y=x，∴∠A1OB1=30°． 在Rt△OA1B1中，OA1=2，∠A1OB1=30°，∠OA1B1=90°，∴A1B1=OB1，∴A1B1=． ∵△A1B1C1為等邊三角形，∴A1A2=A1B1=1，∴OA2=3，A2B2=． 同理，可得出：A3B3=，A4B4=，…，AnBn=，∴第n個(gè)等邊三角形AnBnCn的面積為×AnBn2=．故答案為：． 考點(diǎn)：1．一次函數(shù)圖象上

32、點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．規(guī)律型；4．綜合題． 三、解答題 36．（2017寧夏）在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，P是BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P分別作 PM⊥A B，PN⊥AC，M、N分別為垂足． （1）求證：不論點(diǎn)P在BC邊的何處時(shí)都有PM+PN的長(zhǎng)恰好等于三角形ABC一邊上的高； （2）當(dāng)BP的長(zhǎng)為何值時(shí)，四邊形AMPN的面積最大，并求出最大值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)BP=1時(shí)，四邊形AMPN的面積最大，最大值是． 【解析】 （2）設(shè)BP=x，則CP=2﹣x，由△ABC是等邊三角形，得到∠B=∠C=60°，解直角三角形得到BM=x，PM=x

33、，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 試題解析：（1）連接AP，過(guò)C作CD⊥AB于D，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵S△ABC=S△ABP+S△ACP，∴ AB?CD=AB?PM+AC?PN，∴PM+PN=CD，即不論點(diǎn)P在BC邊的何處時(shí)都有PM+PN的長(zhǎng)恰好等于三角形ABC一邊上的高； （2）設(shè)BP=x，則CP=2﹣x，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴BM=x，PM=x，CN=（2﹣x），PN=（2﹣x），∴四邊形AMPN的面積=×（2﹣x）?x+×[2﹣（2﹣x）]? （2﹣x）= =，∴當(dāng)BP=1時(shí)

34、，四邊形AMPN的面積最大，最大值是． 考點(diǎn)：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．二次函數(shù)的最值；3．定值問(wèn)題；4．動(dòng)點(diǎn)型；5．最值問(wèn)題． 37．（2017內(nèi)蒙古呼和浩特市）如圖，等腰三角形ABC中，BD，CE分別是兩腰上的中線(xiàn)． （1）求證：BD=CE； （2）設(shè)BD與CE相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段BO和CO的中點(diǎn)，當(dāng)△ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長(zhǎng)相等時(shí)，判斷四邊形DEMN的形狀，無(wú)需說(shuō)明理由． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）四邊形DEMN是正方形． 【解析】 試題解析：（1）解：由題意得，AB=AC，∵BD，CE分別是兩腰上的中線(xiàn)，∴AD=AC，AE=AB，∴A

35、D=AE，在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE； （2）四邊形DEMN是正方形，證明：∵E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AE=AB，AD=AC，ED是△ABC的中位線(xiàn)，∴ED∥BC，ED=BC，∵點(diǎn)M、N分別為線(xiàn)段BO和CO中點(diǎn)，∴OM=BM，ON=CN，MN是△OBC的中位線(xiàn)，∴MN∥BC，MN=BC，∴ED∥MN，ED=MN，∴四邊形EDNM是平行四邊形，由（1）知BD=CE，又∵OE=ON，OD=OM，OM=BM，ON=CN，∴DM=EN，∴四邊形EDNM是矩形，在△BDC與△CEB中，∵BE=CD，CE=BD，BC

36、=CB，∴△BDC≌△CEB，∴∠BCE=∠CBD，∴OB=OC，∵△ABC的重心到頂點(diǎn)A的距離與底邊長(zhǎng)相等，∴O到BC的距離=BC，∴BD⊥CE，∴四邊形DEMN是正方形． 考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．三角形的重心；3．等腰三角形的性質(zhì)． 38．（2017江蘇省連云港市）如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB．AC上，且AD=AE，連接BE、CD，交于點(diǎn)F． （1）判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）求證：過(guò)點(diǎn)A、F的直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段BC． 【答案】（1）∠ABE=∠ACD；（2）證明見(jiàn)解析． 【解析】 （2）∵A

37、B=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴點(diǎn)A、F均在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，即直線(xiàn)AF垂直平分線(xiàn)段BC． 考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)；3．探究型． 39．（2017北京市）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線(xiàn)段BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AP，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M． （1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆? （2）用等式表示線(xiàn)段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【答案】（1）∠AMQ=45

38、°+α；（2）PQ=MB． 【解析】 試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論； （2）連接AQ，作ME⊥QB，由AAS證明△APC≌△QME，得出PC=ME，△AEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 試題解析：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下： ∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α； （2）PQ=MB；理由如下： 連接AQ，作ME⊥QB，

39、如圖所示： ∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，∵∠MQE=∠PAC，∠ACP=∠QEM，AP=QM，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB． 考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等腰直角三角形；3．探究型；4．動(dòng)點(diǎn)型． 40．（2017四川省阿壩州）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線(xiàn)BD，CE的交點(diǎn)． （1）求證：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE

40、繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)； 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）PB的長(zhǎng)為或． 【解析】 試題解析：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE． （2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°，∴CE==． 同（1）可證△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=． ②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BE=3． ∵∠EAC=90°，∴CE==． 同（1）可證

41、△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=． 綜上所述，PB的長(zhǎng)為或． 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形；4．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；5．分類(lèi)討論． 41．（2017山西?。┚C合與實(shí)踐 背景閱讀 早在三千多年前，我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被記載于我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3：4：5的三角形稱(chēng)為（3，4，5）型三角形．例如：三邊長(zhǎng)分別為9，12，15或的三

42、角形就是（3，4，5）型三角形．用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類(lèi)型的三角形． 實(shí)踐操作 如圖1，在矩形紙片ABCD中，AD=8cm，AB=12cm． 第一步：如圖2，將圖1中的矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)E處，折痕為AF，再沿EF折疊，然后把紙片展平． 第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，折痕為GH，然后展平，隱去AF． 第三步：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿AH折疊，得到△AD′H，再沿AD′折疊，折痕為AM，AM與折痕EF交于點(diǎn)N，然后展平． 問(wèn)題解決 （1）請(qǐng)?jiān)趫D2中證明四邊形AEFD是正方形． （2）請(qǐng)?jiān)趫D4

43、中判斷NF與ND′的數(shù)量關(guān)系，并加以證明． （3）請(qǐng)?jiān)趫D4中證明△AEN是（3，4，5）型三角形． 探索發(fā)現(xiàn) （4）在不添加字母的情況下，圖4中還有哪些三角形是（3，4，5）型三角形？請(qǐng)找出并直接寫(xiě)出它們的名稱(chēng)． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）NF=ND′，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析；（4）△MFN，△MD′H，△MDA． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題中所給（3，4，5）型三角形的定義證明即可； （2）NF=ND′，證明Rt△HNF≌Rt△HND′即可； （3）根據(jù)題中所給（3，4，5）型三角形的定義證明即可； （4）由△AEN是（3，4，5）型三角形，凡是與△AEN

44、相似的△都是（3，4，5）型三角形． ∵四邊形AEFD是正方形，∴∠EFD=90°． ∵∠AD′H=90°，∴∠HD′N(xiāo)=90°． 在Rt△HNF和Rt△HND′中，∵HN=HN，HF=HD′，∴Rt△HNF≌Rt△HND′，∴NF=ND′． （3）∵四邊形AEFD是正方形，∴AE=EF=AD=8cm，由折疊知：AD′=AD=8cm，EN=EF-NF=（8-x）㎝． 在Rt△AEN中，由勾股定理得： ，即，解得：x=2，∴AN=8+x=10（㎝），EN=6（㎝），∴AN=6：8：10=3：4：5，∴△AEN是（3，4，5）型三角形． （4）∵△AEN是（3，4，5）型三角形

45、，凡是與△AEN相似的△都是（3，4，5）型三角形，故答案為：△MFN，△MD′H，△MDA． 考點(diǎn)：1．勾股定理的應(yīng)用；2．新定義；3．閱讀型；4．探究型；5．翻折變換（折疊問(wèn)題）；6．壓軸題． 42．（2017甘肅省天水市）△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段DE與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)P，線(xiàn)段EF與射線(xiàn)CA相交于點(diǎn)Q． （1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE； （2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ

46、；并求當(dāng)BP=2，CQ=9時(shí)BC的長(zhǎng)． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析，． 【解析】 試題解析：（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵BE=CE，∠B=∠C，BP=CQ，∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：連接PQ，∵△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ

47、，∴，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=，∴BC=． 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形；4．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 43．（2017重慶）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接AC． （1）如圖1，若AB=，BC=5，求AC的長(zhǎng)； （2）如圖2，點(diǎn)D是線(xiàn)段AM上一點(diǎn)，MD=MC，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，EC=AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且點(diǎn)F是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF=∠CEF． 【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析． 【解析】 試題解析：（1）∵∠A

48、BM=45°，AM⊥BM，∴AM=BM=ABcos45°=×=3，則CM=BC﹣BM=5﹣2=2，∴AC= = =； （2）延長(zhǎng)EF到點(diǎn)G，使得FG=EF，連接BG． 由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，∴△BMD≌△AMC（SAS），∴AC=BD，又CE=AC，因此BD=CE，由BF=FC，∠BFG=∠EFC，F(xiàn)G=FE，∴△BFG≌△CFE，故BG=CE，∠G=∠E，所以BD=BG=CE，因此∠BDG=∠G=∠E． 考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．勾股定理． 44．（2017黑龍江省哈爾濱市）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°

49、，連接AE，BD交于點(diǎn)O，AE與DC交于點(diǎn)M，BD與AC交于點(diǎn)N． （1）如圖1，求證：AE=BD； （2）如圖2，若AC=DC，在不添加任何輔助線(xiàn)的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中四對(duì)全等的直角三角形． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）△ACB≌△DCE， △EMC≌△BCN， △AON≌△DOM， △AOB≌△DOE． 【解析】 （2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）； 由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC，∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON

50、≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）． 考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等腰直角三角形． 45．（2017黑龍江省龍東地區(qū)）已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH． （1）如圖1所示，易證：OH=AD且OH⊥AD（不需證明） （2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2，圖3所示位置時(shí)，線(xiàn)段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）圖2，圖3的結(jié)論都相同：OH=AD，OH⊥AD． 【解析】 試題解析：（1）證明：如圖1中

51、，∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，在△AOD與△BOC中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵點(diǎn)H為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠ADO+∠BOH=90°，∴OH⊥AD； （2）解：①結(jié)論：OH=AD，OH⊥AD，如圖2中，延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，易證△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD．由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AO

52、H=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD． ②如圖3中，結(jié)論不變．延長(zhǎng)OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長(zhǎng)EO交AD于G． 易證△BEO≌△ODA，∴OE=AD，∴OH=OE=AD． 由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO，∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD． 考點(diǎn)：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形；4．和差倍分；5．探究型；6．變式探究；7．壓軸題． 46．（2017山東省萊蕪市）已知△ABC與△DEC是兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形． （1）如圖①所示，連接AE，DB，試判斷線(xiàn)段AE和D

53、B的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由； （2）如圖②所示，連接DB，將線(xiàn)段DB繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到DF，連接AF，試判斷線(xiàn)段DE和AF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF． 【解析】 試題解析：（1）AE=DB，AE⊥DB．證明如下： ∵△ABC與△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB； （2）DE=AF，DE

54、⊥AF．證明如下： 設(shè)DE與AF交于N，由題意得，BE=AD，∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF． 考點(diǎn)：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等腰直角三角形；4．探究型；5．變式探究． 【2016年題組】 一、選擇題 1．（2016內(nèi)蒙古赤峰市）等腰三角形有一個(gè)角是90°，則

55、另兩個(gè)角分別是（　　） A．30°，60°　　　　　　B．45°，45°　　　　　　C．45°，90°　　　　　　D．20°，70° 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)． 2．（2016四川省樂(lè)山市）如圖，C、D是以線(xiàn)段AB為直徑的⊙O上兩點(diǎn)，若CA=CD，且∠ACD=40°，則∠CAB=（　?。? A．10°　　　　　　B．20°　　　　　　C．30°　　　　　　D．40° 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵∠ACD=40°，CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=（180°﹣40°）=70°，∴∠ABC=∠ADC=70°，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴

56、∠CAB=90°﹣∠B=20°，故選B． 考點(diǎn)：1．圓周角定理；2．等腰三角形的性質(zhì)． 3．（2016四川省甘孜州）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB=3，AD=1，則△AED的周長(zhǎng)為（　?。? A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5 【答案】C． 【解析】 考點(diǎn)：1．等腰三角形的判定與性質(zhì)；2．平行線(xiàn)的性質(zhì)． 4．（2016四川省雅安市）如圖所示，底邊BC為，頂角A為120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，則△ACE的周長(zhǎng)為（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．4　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 試題分

57、析：過(guò)A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=，∴△ACE的周長(zhǎng)=AC+AE+CE=AC+BC=，故選A． 考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)． 5．（2016陜西?。┤鐖D，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位線(xiàn)，延長(zhǎng)DE交△ABC的外角∠ACM的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，則線(xiàn)段DF的長(zhǎng)為（　?。? A．7　　　　B．8　　　　C．9　　　　D．10 【答案】B． 【解析】 考點(diǎn)：1．三角形中位線(xiàn)定理；2．等腰三角形的判定

58、與性質(zhì)；3．勾股定理． 6．（2016貴州省六盤(pán)水市）如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，則∠An的度數(shù)為（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】C． 【解析】 考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．規(guī)律型． 7．（2016湖南省懷化市）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm，則它的周長(zhǎng)為（　　） A．16cm　　　　　　B．17cm　　　　　　C．20cm　　　　　　D．16cm或20cm 【答案】C． 【解析】 試題分析：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和8cm，當(dāng)腰長(zhǎng)是4

59、cm時(shí)，則三角形的三邊是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不滿(mǎn)足三角形的三邊關(guān)系； 當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，三角形的三邊是8cm，8cm，4cm，三角形的周長(zhǎng)是20cm． 故選C． 考點(diǎn)：1．等腰三角形的性質(zhì)；2．三角形三邊關(guān)系；3．分類(lèi)討論． 8．（2016四川省內(nèi)江市）已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．不能確定 【答案】B． 【解析】 試題分析：如圖，∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為3，∴高線(xiàn)AH=3×=，S△ABC=BC?AH=AB?PD+BC?PE+AC?PF，∴×3A

60、H=×3PD+×3PE+×3PF，∴PD+PE+PF=AH=，即點(diǎn)P到三角形三邊距離之和為．故選B． 考點(diǎn)：1．等邊三角形的性質(zhì)；2．定值問(wèn)題． 9．（2016山東省臨沂市）如圖，將等邊△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△EDC，連接AD，BD．則下列結(jié)論： ①AC=AD；②BD⊥AC；③四邊形ACED是菱形． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【答案】D． 【解析】 考點(diǎn)：1．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．菱形的判定． 10．（2016廣西梧州市）三張背面完全相同的數(shù)字牌，它們的正面分別印有數(shù)字“1”、“2”、

61、“3”，將它們背面朝上，洗勻后隨機(jī)抽取一張，記錄牌上的數(shù)字并把牌放回，再重復(fù)這樣的步驟兩次，得到三個(gè)數(shù)字a、b、c，則以a、b、c為邊長(zhǎng)正好構(gòu)成等邊三角形的概率是（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 考點(diǎn)：1．列表法與樹(shù)狀圖法；2．等邊三角形的判定． 11．（2016廣西百色市）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，D為線(xiàn)段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是（　?。? A．4　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】A． 【解析】 試題分析：作點(diǎn)A關(guān)

62、于直線(xiàn)BC′的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連接A1C交直線(xiàn)BC與點(diǎn)D，如圖所示． 由圖象可知當(dāng)點(diǎn)D在C′B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，AD+CD最小，而點(diǎn)D為線(xiàn)段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)AD+CD值最小，此時(shí)AD+CD=AB+CB=2+2=4．故選A． 考點(diǎn)：1．軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題；2．等邊三角形的性質(zhì)；3．最值問(wèn)題． 12．（2016四川省南充市）如圖，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，點(diǎn)D，E分別是直角邊BC，AC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)為（　?。? A．1　　　　B．2　　　　C．　　　　D．1+ 【答案】A． 【解析】 考點(diǎn)：1．三角形中位線(xiàn)定理；2．含30度角的直角三角形．

63、 13．（2016四川省達(dá)州市）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從在格點(diǎn)上的點(diǎn)A，B，C，D中任取三點(diǎn)，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為（　?。? A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 【答案】D． 【解析】 考點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用． 14．（2016四川省達(dá)州市）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點(diǎn)F，D為AB的中點(diǎn)，連接DF延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E．若AB=10，BC=16，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為（　?。? A．2　　　　　　B．3　　　　　　C．4　　　　　　D．5 【答案】B． 【解析】 試題分析：∵AF⊥BF，∴∠AFB=90°，∵AB

64、=10，D為AB中點(diǎn)，∴DF=AB=AD=BD=5，∴∠ABF=∠BFD，又∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∴∠CBF=∠DFB，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：DE=8，∴EF=DE﹣DF=3，故選B． 考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．平行線(xiàn)的判定；3．直角三角形斜邊上的中線(xiàn)． 15．（2016山東省東營(yíng)市）在△ABC中，AB=10，AC=，BC邊上的高AD=6，則另一邊BC等于（　?。? A．10　　　　　　B．8　　　　　　C．6或10　　　　　　D．8或10 【答案】C． 【解析】 試題分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB=10

65、，AC=，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD==8，CD==2，此時(shí)BC=BD+CD=8+2=10； 如圖2所示，AB=10，AC=，AD=6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD==8，CD==2，此時(shí)BC=BD﹣CD=8﹣2=6，則BC的長(zhǎng)為6或10．故選C． 考點(diǎn)：1．勾股定理；2．分類(lèi)討論． 二、填空題 16．（2016內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，正方形ABCD的面積為3cm2，E為BC邊上一點(diǎn)，∠BAE=30°，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)分別與AB，DC相交于點(diǎn)M，N．若MN=AE，則AM的長(zhǎng)等于 cm．

66、【答案】或． 【解析】 考點(diǎn)：1．正方形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．勾股定理；4．分類(lèi)討論． 17．（2016天津市）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，E為格點(diǎn)，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點(diǎn)，C為AE，BF的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)． （1）AE的長(zhǎng)等于________； （2）若點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BC上，且滿(mǎn)足AP = PQ = QB，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，畫(huà)出線(xiàn)段PQ，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的（不要求證明）________． 【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析． 【解析】 試題分析：（1）AE==； 考點(diǎn)：1．勾股定理；2．作圖題． 18．（2016四川省甘孜州）直角三角形斜邊長(zhǎng)是5，一直角邊的長(zhǎng)是3，則此直角三角形的面積為 ． 【答案】6． 【解析】 考點(diǎn)：勾股定理． 19．（2016山東省煙臺(tái)市）如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)﹣3，3，作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC，連接OC，以O(shè)為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為 ． 【答案】． 【解析