全國2018年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 滾動(dòng)小專題（十一）與圓的有關(guān)計(jì)算與證明（答案不全）

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1、 （分類）滾動(dòng)小專題（十一）與圓有關(guān)的計(jì)算與證明 類型1 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明 （2018·安徽）20.如圖,⊙O為銳角△ABC的外接圓,半徑為5. （1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法)； （2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長(zhǎng). 解：（1）畫圖略 （2） ∵AE平分∠BAC ∴弧BE=弧EC，連接OE 則OE⊥BC于點(diǎn)F，EF=3 連接OC、EC 在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC= 在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE= （2018湖州） 21．（8分）（2018?湖州

2、）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，OC∥BD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC． （1）求證：AE=ED； （2）若AB=10，∠CBD=36°，求的長(zhǎng)． （2018無錫）24、（本題滿分8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓心O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cos B=，求AD的長(zhǎng)。 【解答】 DA⊥AB ∠DAB=90° 在圓O中 ∠DCB=90° 延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，易證∠B=∠EDC 在△EAB中，EA= DA=EA-ED==6 25．（10分）如圖，AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，半徑CO⊥AO，點(diǎn)M是上的

3、動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、C、B重合，直線AM交直線OC于點(diǎn)D，連結(jié)OM與CM． （1）若半圓的半徑為10． ①當(dāng)∠AOM=60°時(shí)，求DM的長(zhǎng)； ②當(dāng)AM=12時(shí)，求DM的長(zhǎng)． （2）探究：在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，∠DMC的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由． 【解答】解：（1）①當(dāng)∠AOM=60°時(shí)， ∵OM=OA， ∴△AMO是等邊三角形， ∴∠A=∠MOA=60°， ∴∠MOD=30°，∠D=30°， ∴DM=OM=10 ②過點(diǎn)M作MF⊥OA于點(diǎn)F， 設(shè)AF=x， ∴OF=10﹣x， ∵AM=12，OA=OM=10， 由勾股定理可知：122﹣x2

4、=102﹣（10﹣x）2 ∴x=， ∴AF=， ∵M(jìn)F∥OD， ∴△AMF∽△ADO， ∴， ∴， ∴AD= ∴MD=AD﹣AM= （2）當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)， 連接BC， ∵C是的重點(diǎn)， ∴∠B=45°， ∵四邊形AMCB是圓內(nèi)接四邊形， 此時(shí)∠CMD=∠B=45°， 當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)， 連接BC， 由圓周角定理可知：∠CMD=∠B=45° 綜上所述，∠CMD=45° （2018溫州）22.（本題10分）如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接AD，作△ABD的外接圓，將△ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在上. （1）求證：AE=AB.

5、 （2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的長(zhǎng). （2018臺(tái)州）24.如圖，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在弦上（不與重合），且四邊形為菱形. （1）求證：； （2）求證：； （3）已知的半徑為3. ①若，求的長(zhǎng)； ②當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？ （2018南通）28.如圖，的直徑，是上（不與點(diǎn)重合）的任一點(diǎn)，點(diǎn)為上的兩點(diǎn).若，則稱為直徑的“回旋角”. （1）若，則是直徑的 “回旋角”嗎？并說明理由； （2）若的長(zhǎng)為，求“回旋角”的度數(shù)； （3）若直徑的“回旋角”為，且的周長(zhǎng)為，直接寫出的長(zhǎng). 解：28．（1）是； （2）45

6、°； （3）3或23． （2018湘潭） （2018南京）26.如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，連接.過點(diǎn)作，垂足為.經(jīng)過點(diǎn)、、，與相交于點(diǎn). （1）求證； （2）若正方形的邊長(zhǎng)為，，求的半徑 （2018黃岡）18. 如圖，是的直徑，為的弦，，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交于點(diǎn). （1）求證：. （2）若，，求線段的長(zhǎng). （2018宜昌）21. 如圖，在中，. 以為直徑的半圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn).延長(zhǎng)至點(diǎn)，使,連接. (1)求證:四邊形是菱形； (2) 若，求半圓和菱形的面積. 21.(1)證明：為半圓的直徑， , , , 又, ∴

7、四邊形是平行四邊形. 又,（或，） ∴平行四邊形是菱形. (2)解：∵, 設(shè)，則， 解法一：連接，（如圖） 圖1 ∵為半圓的直徑， , 或（舍去） 解法二：連接.（如圖） 圖2 ∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形 或（舍去） 解法三：如圖1，連接， 為半徑的直徑， 可證 或（舍去） , （2018福建） （2018張家界）20、（本小題滿分6分） 如圖，點(diǎn)是⊙的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且=4,點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與重合),射線與⊙交于點(diǎn)(不與重合) (1) 當(dāng)在什么位置時(shí),的面積最大,并求岀這個(gè)

8、最大值； (2)求證:∽. 20.解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在 AB弧的中點(diǎn)處時(shí)， 最大 ………………1分 （其它表述合理均給分） 因?yàn)榇藭r(shí)： ………………2分 ……………3分 （2） …………4分 …………5分 …………6分 （2018貴陽） 23.（本題滿分 10 分）如圖，AB 為⊙ O 的直徑，,，且 ， AB = 4 ，點(diǎn) C 在半圓上，OC ^ AB

9、 ， 垂足為點(diǎn) O ， P 為半圓上任意一點(diǎn)，過 P 點(diǎn)作 PE ^ OC 于點(diǎn) E，設(shè) DOPE 的內(nèi)心 為 M ,連接 OM、PM . （1）求 DOMP 的度數(shù)； （2）當(dāng)點(diǎn) P 在半圓上從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過的路徑長(zhǎng). 103 【解】（1）∵ PE ^ OC ∴ DPEO = 90° ∴ DEPO + DEOP = 90° ∵ M 是 DOPE 的內(nèi)心 ∴ DEOM = DPOM，DEPM = DOPM ∴ DPOM + DOPM = 1 (DEPO + DEOP) = 45° 2 在 DPOM 中， DOMP

10、= 180° - (DPOM + DOPM ) = 180° - 45° = 135° （2）連接 CM ，作過 O、M、C 三點(diǎn)的外接圓，即⊙ N ，連接 NC、NO ，在⊙ N 的優(yōu)弧上任取一點(diǎn) H ，連接 HC、HO .如圖所示： 由題意知： OP = OC，DPOM = DCOM，OM = OM ∴ DPOM ≌ DCOM ∴ DOMP = DOMC = 135° 在⊙ N 的內(nèi)接四邊形 CMOH 中， DH = 180° - DOMC = 180° - 135° = 45° ∴ DN = 2 ′ 45° = 90° 由題意知： OC = 1 AB

11、= 1 ′ 4 = 2 2 2 在等腰直角三角形 CNO 中， NC = NO 由勾股定理得： NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 T NC = 2 當(dāng)點(diǎn) P 在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 在上運(yùn)動(dòng) 90° ′p′ ∴ 的長(zhǎng)為： 180° ∵與關(guān)于 OC 對(duì)稱 2 = 2 p 2 ∴當(dāng)點(diǎn) P 在 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 所在弧上的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與當(dāng)點(diǎn) P 在 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 在 上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)相等 ∴當(dāng)點(diǎn) P 在半圓上從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為： 2 ′

12、 2 p = 2p 2 （2018遵義） 25. (12 分)如圖，AB 是半圓 O 的直徑，C 是 AB 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AC 的垂直平分線交半圓于點(diǎn) D，交 AC 于點(diǎn) E，連接 DA，DC.已知半圓 0 的半徑為 3，BC=2. (1) 求 AD 的長(zhǎng). (2) 點(diǎn) P 是線段 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 DP，作∠DPF=∠DAC，PF 交線段 CD 于點(diǎn) F.當(dāng)?DPF 為等腰三角形時(shí)，求 AP 的長(zhǎng). （2018哈爾濱） 類型2 與切線有關(guān)的計(jì)算與證明 （2018十堰）23.如圖

13、，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn). （1）求證：是的切線； （2）若，求的值. （2018·德州）22.如圖,是的直徑,直線與相切于點(diǎn),且與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).點(diǎn)是的中點(diǎn). (1)求證: (2)若.的半徑為3，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著爬回至點(diǎn),求螞蟻爬過的路程結(jié)果保留一位小數(shù). （2018·綿陽）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)D在上（點(diǎn)D不與A，B重合），直線AD交過點(diǎn)B的切線于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作的切線DE交BC于點(diǎn)E。 （1） 求證：BE=CE； （2） 若DE平行AB，求的值。 （2018·濱州）22.如圖，為的直徑,點(diǎn)在上,于點(diǎn)

14、,且平分.求證;(1)直線是的切線;(2). （2018內(nèi)江）26.如圖，以的直角邊為直徑作交斜邊于點(diǎn)，過圓心作，交于點(diǎn)，連接. （1）判斷與的位置關(guān)系并說明理由； （2）求證：； （3）若，，求的長(zhǎng). （2018?內(nèi)江）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D，過圓心O作OE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接DE． （1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由； （2）求證：2DE2=CD?OE； （3）若tanC=，DE=，求AD的長(zhǎng)． 【解答】解：（1）DE是⊙O的切線，理由：如圖， 連接OD，BD，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=

15、∠BDC=90°， ∵OE∥AC，OA=OB， ∴BE=CE， ∴DE=BE=CE， ∴∠DBE=∠BDE， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切線； （2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴BC2=CD?AC， 由（1）知DE=BE=CE=BC， ∴4DE2=CD?AC， 由（1）知，OE是△ABC是中位線， ∴AC=2OE， ∴4DE2=CD?2OE， ∴2DE2=CD?OE； （3）∵DE=， ∴BC=5， 在Rt△BCD中，

16、tanC==， 設(shè)CD=3x，BD=4x，根據(jù)勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25， ∴x=﹣1（舍）或x=1， ∴BD=4，CD=3， 由（2）知，BC2=CD?AC， ∴AC==， ∴AD=AC﹣CD=﹣3=． （2018·甘肅） （2018·南充）22.如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的延長(zhǎng)線上，的半徑為3，，. （1）求證：是的切線. （2）求的值. 22.解：（1）證明：連接. ∵的半徑為3，∴. 又∵，∴. 在中，， ∴為直角三角形，. ∴，故為的切線. （2）過作于點(diǎn)，. ∵，∴. ∴，∴，∴，，∴. 又∵， ∴在中，

17、. （2018·金華/麗水）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E，連結(jié)AD.已知∠CAD=∠B. （1）求證：AD是⊙O的切線. （2）若BC=8，tanB=,求⊙O的半徑. （2018寧波） （2018衢州）如圖，已知AB為⊙O直徑，AC是⊙O的切線，連接BC交⊙O于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB于H。 （1）求證：△HBE∽△ABC； （2）若CF＝4，BF＝5，求AC和EH的長(zhǎng)。 （2018·棗莊）23．如圖，在中，，，以為直徑作⊙

18、交于點(diǎn). （1）求線段的長(zhǎng)度； （2）點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，直線與⊙相切？請(qǐng)說明理由. 解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm； 連接CD，∵BC為直徑， ∴∠ADC=∠BDC=90°； ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB； ∴，∴； （2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與⊙O相切； 證明：連接OD， ∵DE是Rt△ADC的中線； ∴ED=EC， ∴∠EDC=∠ECD； ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD； ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OC

19、D=∠ACB=90°； ∴ED⊥OD， ∴ED與⊙O相切． （2018成都）20.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn). （1）求證：是的切線； （2）設(shè)，，試用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)； （3）若，，求的長(zhǎng). 23．（10分）（2018?自貢）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°． （1）作出經(jīng)過點(diǎn)B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的⊙O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明） （2）設(shè)（1）中所作的⊙O與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D，若⊙O的直徑為5，BC=4；求DE的長(zhǎng)．（如果

20、用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問） 解：（1）⊙O如圖所示； （2）作OH⊥BC于H． ∵AC是⊙O的切線， ∴OE⊥AC， ∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°， ∴四邊形ECHO是矩形， ∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=， 在Rt△OBH中，OH==2， ∴EC=OH=2，BE==2， ∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°， ∴△BCE∽△BED， ∴=， ∴=， ∴DE=． （2018瀘州）24.如圖10，已知AB，CD是⊙O的直徑，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，⊙O的弦DE交AB于點(diǎn)F，且DF=EF. （

21、1）求證：； （2）連接EB交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GHAB于點(diǎn)H，若PC=，PB=4，求GH的長(zhǎng). 【解答】（1）證明：∵PC是⊙O的切線， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°， ∵AB是直徑，EF=FD， ∴AB⊥ED， ∴∠OFD=∠OCP=90°， ∵∠FOD=∠COP， ∴△OFD∽△OCP， ∴=，∵OD=OC， ∴OC2=OF?OP． （2）解：如圖作CM⊥OP于M，連接EC、EO．設(shè)OC=OB=r． 在Rt△POC中，∵PC2+OC2=PO2， ∴（4）2+r2=（r+4）2， ∴r=2， ∵CM==， ∵DC是直徑

22、， ∴∠CEF=∠EFM=∠CMF=90°， ∴四邊形EFMC是矩形， ∴EF=CM=， 在Rt△OEF中，OF==， ∴EC=2OF=， ∵EC∥OB， ∴==， ∵GH∥CM， ∴==， ∴GH=． （2018宜賓）23．（10分）（2018?宜賓）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BC=CD，CE⊥AD于點(diǎn)E． （1）求證：直線EC為圓O的切線； （2）設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值． 【解答】解：（1）證明：∵CE⊥AD于點(diǎn)E ∴∠DEC

23、=90°， ∵BC=CD， ∴C是BD的中點(diǎn)，又∵O是AB的中點(diǎn)， ∴OC是△BDA的中位線， ∴OC∥AD ∴∠OCE=∠CED=90° ∴OC⊥CE，又∵點(diǎn)C在圓上， ∴CE是圓O的切線． （2）連接AC ∵AB是直徑，點(diǎn)F在圓上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE2=PF×PA ∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC2=PF×PA ∴PE=PC 在直角△PEF中，sin∠PEF==． （2018衡陽）23.如圖，是的外接圓，為直徑，的平分線

24、交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、. （1）求證：是的切線； （2）若，，求的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留） 解：（1）如圖，連接OD， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠DAE=∠DAO， ∴∠DAE=∠ADO， ∴OD∥AE， ∵AE⊥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切線； （2）如圖，作OG⊥AE于點(diǎn)G，連接BD， 則AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°， ∴四邊形ODEG是矩形， ∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°， ∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°，

25、 ∴△ADE∽△ABD， ∴=，即=， ∴AD2=48， 在Rt△ABD中，BD==4， 在Rt△ABD中，∵AB=2BD， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=60°， 則的長(zhǎng)度為=． （2018聊城） 24.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，是的外接圓. （1）求證：是的切線； （2）已知的半徑為2.5，，求，的長(zhǎng). （2018泰州）22.如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn). (1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由. (2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，求圖中陰影部分的面積. 解：（1）DE與⊙O相切， 理由：連接DO， ∵DO=BO

26、， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE與⊙O相切； （2）∵∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3， ∴BD==6， ∵sin∠DBF==， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°===， ∴DO=2， 則FO=， 故圖中陰影部分的面積為：﹣××3=2π﹣． （2018白銀、武威、張掖）20.如圖，在中，. （1）作的平分線交邊于

27、點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡） （2）判斷（1）中與的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果. 20.解：（1）如圖,作出角平分線CO; 作出⊙O. （2）AC與⊙O相切． （2018白銀、武威、張掖）27.如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，與邊，分別相交于點(diǎn)，，且. （1）求證：； （2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng). 27．（1）證明：連接OE,BE． ∵ DE=EF，∴ =,∴ ∠OBE=∠DBE. ∵ OE=OB,∴∠OEB=∠OBE, ∴∠OEB =∠DBE,∴OE∥B

28、C. ∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，∴ OE⊥AC． ∴BC⊥AC,∴∠C=90°. （2）解：在△ABC中，∠C=90°，BC=3，， ∴AB=5． 設(shè)⊙O的半徑為r，則AO=5-r， 在Rt △AOE中，, ∴ ． ∴． （2018常德）24.如圖12，已知是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)在圓上，在的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn),使,交于. （1）求證：是的切線； （2）求證：. 【解答】證明：（1）連接OD， ∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓， ∴∠OAC=30°，∠BCA=60°， ∵AE∥BC， ∴∠EAC=∠BCA=60°， ∴∠O

29、AE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°， ∴AE是⊙O的切線； （2）∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°， ∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓， ∴∠ADF=∠ABC=60°， ∵AD=DF， ∴△ADF是等邊三角形， ∴AD=AF，∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠BAF=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∵， ∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF． （2018婁底）25.如圖， 是以為直徑的上的點(diǎn)， ，弦交于點(diǎn). (1)當(dāng)是的切線時(shí)，求證: ； (2)求證: ； (3)已知

30、，是半徑的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng). 解：（1）∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°， ∵PB是⊙O的切線， ∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°， ∴∠BAD=∠PBD； （2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB， ∴△ADE∽△CBE， ∴=，即DE?CE=AE?BE， 如圖，連接OC， 設(shè)圓的半徑為r，則OA=OB=OC=r， 則DE?CE=AE?BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2， ∵=， ∴∠AOC=∠BOC=90°， ∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2， 則B

31、C2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2， ∴BC2﹣CE2=DE?CE； （3）∵OA=4， ∴OB=OC=OA=4， ∴BC==4， 又∵E是半徑OA的中點(diǎn)， ∴AE=OE=2， 則CE===2， ∵BC2﹣CE2=DE?CE， ∴（4）2﹣（2）2=DE?2， 解得：DE=． （2018永州）24.如圖，線段為的直徑，點(diǎn)、在上，，，垂足為點(diǎn)，連接，弦與線段相交于點(diǎn). （1）求證：； （2）若，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，的半徑為，求證：直線是的切線. 25、(本題滿分10分)如圖，已知AB為⊙O的直徑，A

32、B=8，點(diǎn)C和點(diǎn)D是⊙O上關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，連接OC、AC，且∠BOC＜90°，直線BC和直線AD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線CG與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，與直線AD相交于點(diǎn)G，且∠GAF＝∠GCE （1）求證：直線CG為⊙O的切線； （2）若點(diǎn)H為線段OB上一點(diǎn)，連接CH，滿足CB＝CH， ①△CBH∽△OBC； ②求OH＋HC的最大值. （1） 證明：∵C、D關(guān)于AB對(duì)稱 ∴∠GAF=∠CAF ∵∠GAF=∠GCE,∴∠GCE=∠CAF ∵OA=OC,∴∠CAF=∠ACO,∴∠GCE=∠ACO ∵AB為直徑 ∴∠ACO+∠OCB=90°

33、 ∴∠GCE+∠OCB=90° 即∠OCG=90°，∴CG為圓O的切線. （2） ①∵OC=OB,CH=BC ∴∠OCB=∠OBC,∠CHB=∠CBH ∠CBH=∠OBC=∠OCB=∠CHB △CBH∽△OBC ② 設(shè)BC=x，則CH=x，BH= ∴當(dāng)x=2時(shí)，最大值為5. （2018宿遷）26. （本題滿分10分） 如圖，AB、AC分別是 O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作 O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. ⑴ 求證：PC是 O的切線； ⑵ 若∠ABC=600,AB=10,求線段CF的長(zhǎng)， （2018鹽城

34、）25.如圖，在以線段為直徑的上取一點(diǎn)，連接、.將沿翻折后得到. （1）試說明點(diǎn)在上； （2）在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使.求證：為的切線； （3）在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)線段、相交于點(diǎn)，若，，求線段的長(zhǎng). （2018揚(yáng)州）25.如圖，在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作半圓，交于點(diǎn). （1）求證：是的切線； （2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，求圖中陰影部分的面積； （3）在（2）的條件下，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出的長(zhǎng). （1）證明：作OH⊥AC于H，如圖， ∵AB=AC，AO⊥BC于點(diǎn)O， ∴AO平分∠BAC， ∵OE⊥AB，OH⊥AC， ∴OH

35、=OE， ∴AC是⊙O的切線； （2）解：∵點(diǎn)F是AO的中點(diǎn)， ∴AO=2OF=3， 而OE=3， ∴∠OAE=30°，∠AOE=60°， ∴AE=OE=3， ∴圖中陰影部分的面積=S△AOE﹣S扇形EOF=×3×3﹣=； （3）解：作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F′，連接EF′交BC于P，如圖， ∵PF=PF′， ∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此時(shí)EP+FP最小， ∵OF′=OF=OE， ∴∠F′=∠OEF′， 而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°， ∴∠F′=30°， ∴∠F′=∠EAF′， ∴EF′=EA=3， 即PE+PF最小值為3， 在Rt△OPF

36、′中，OP=OF′=， 在Rt△ABO中，OB=OA=×6=2， ∴BP=2﹣=， 即當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為． （2018江西省卷）20.如圖，在中，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且. （1）求證：為的切線； （2）若，，求的長(zhǎng). （2018呼和浩特） （2018臨沂）（2018?臨沂）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與⊙O相切于點(diǎn)D，OB與⊙O相交于點(diǎn)E． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）若BD=，BE=1．求陰影部分的面積． 【解答】（1）證明：連接O

37、D，作OF⊥AC于F，如圖， ∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D， ∴OD⊥AB， 而OF⊥AC， ∴OF=OD， ∴AC是⊙O的切線； （2）解：在Rt△BOD中，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=OE=r， ∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1， ∴OD=1，OB=2， ∴∠B=30°，∠BOD=60°， ∴∠AOD=30°， 在Rt△AOD中，AD=OD=， ∴陰影部分的面積=2S△AOD﹣S扇形DOF =2××1×﹣ =﹣． （2018濰坊） 22．如圖,為外接圓的直徑,且．

38、 (1)求證:與相切于點(diǎn)； (2)若, ,求的長(zhǎng)． （2018天津）21. 已知是的直徑，弦與相交，. （Ⅰ）如圖①，若為的中點(diǎn)，求和的大小； （Ⅱ）如圖②，過點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求的大小. （2018武漢）21．（本題8分）如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PA＝PB (1) 求證：PB是⊙O的切線 (2) 若∠APC＝3∠BPC，求的值 （2018邵陽）21．如圖（十二）所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥CD

39、， 垂足為點(diǎn)D，連結(jié)BC．BC平分∠ABD． 求證：CD為⊙O的切線． 21．（8分） 證明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC．……………………………………………2分 ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB．……………………………………………………4分 ∴∠DBC＝∠OCB．∴OC∥BD．……………………………………………………6分 ∵BD⊥CD，∴OC⊥CD． 又∵點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)， ∴CD為⊙O的切線．…………………………………………………………………8分 （2018·淄博）22. （本小題滿分8分） 如圖，以為直徑的外

40、接于，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)，其中的長(zhǎng)是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． （1）求證：； （2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)給予證明，并求其面積；若不存在，說明理由. 解：（1）∵DP平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP與⊙O相切， ∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴， ∴PA?BD=PB?AE； （2）過點(diǎn)D作DF⊥PB于點(diǎn)F，作DG⊥AC于點(diǎn)G， ∵DP平分∠APB， AD⊥AP，DF⊥PB，

41、 ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC， 易證：DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC， 由于AE，BD（AE＜BD）的長(zhǎng)是x2﹣5x+6=0， 解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知：， ∴cos∠APC==， ∴cos∠BDF=cos∠APC=， ∴， ∴DF=2， ∴DF=AE， ∴四邊形ADFE是平行四邊形， ∵AD=AE， ∴四邊形ADFE是菱形， 此時(shí)點(diǎn)F即為M點(diǎn)， ∵cos∠BAC=cos∠APC=， ∴sin∠BAC=， ∴， ∴DG=， ∴在線段BC上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ADME是菱形 其面積為：DG?AE

42、=2×= （2018德陽） （2018廣東省卷）24.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC、OD交于點(diǎn)E. （1）證明：OD//BC； （2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切； （3）在（2），連接BD交⊙O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長(zhǎng). （2018菏澤）22.如圖，內(nèi)接于，，，過點(diǎn)作，與的平分線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn). （1）求的度數(shù)； （2）求證：； （3）求證：是的切線. （2018隨州） （2018咸寧）

43、 （2018孝感）23.如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn). （1）求證：是的切線； （2）已知，，求和的長(zhǎng). （2018巴中）26. 已知如圖9所示，中，是的角平分線，以為圓心，為半徑畫圓，交所在直線于、兩點(diǎn)，連接、. （1）求證：直線是的切線. （2）若，求的長(zhǎng) （2018郴州）23.已知是的直徑，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，是的弦，. （1）求證：直線是的切線； （2）若，垂足為，的半徑為，求的長(zhǎng). （2018深圳）22．如圖9，⊙是的外接圓，,， 。點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接

44、并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。 （1）試求的長(zhǎng)； （2）試判斷的值是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不為定值，請(qǐng)說明理由。 （3）如圖10，連接，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，求證：。 圖10 圖9 22.解：(1)作 ，在中， . (2)連接 ∵四邊形內(nèi)接于圓， ， ， 公共 . （3）在上取一點(diǎn)，使得 在和中 . （2018黔東南、黔西南、黔南）22.如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn). （1）求證：是的切線； （2）若的半徑為，，，求的

45、長(zhǎng). （2018恩施）23.如圖，為直徑，點(diǎn)為半徑上異于點(diǎn)和點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)作與直徑垂直的弦，連接，作，交于點(diǎn)，連接、、交于點(diǎn). （1）求證：為切線； （2）若的半徑為，，求； （3）請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明. 23．（10分）（2018?恩施州）如圖，AB為⊙O直徑，P點(diǎn)為半徑OA上異于O點(diǎn)和A點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，過P點(diǎn)作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E點(diǎn)，連接AE、DE、AE交CD于F點(diǎn)． （1）求證：DE為⊙O切線； （2）若⊙O的半徑為3，sin∠ADP=，求AD； （3）請(qǐng)猜想PF與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

46、 【解答】證明：（1）如圖1，連接OD、BD，BD交OE于M， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB=90°，AD⊥BD， ∵OE∥AD， ∴OE⊥BD， ∴BM=DM， ∵OB=OD， ∴∠BOM=∠DOM， ∵OE=OE， ∴△BOE≌△DOE（SAS）， ∴∠ODE=∠OBE=90°， ∴DE為⊙O切線； （2）設(shè)AP=a， ∵sin∠ADP==， ∴AD=3a， ∴PD===2a， ∵OP=3﹣a， ∴OD2=OP2+PD2， ∴32=（3﹣a）2+（2a）2， 9=9﹣6a+a2+8a2， a1=，a2=0（舍）， 當(dāng)a=時(shí)，AD=3a=2，

47、 ∴AD=2； （3）PF=FD， 理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE， ∴△APF∽△ABE， ∴， ∴PF=， ∵OE∥AD， ∴∠BOE=∠PAD， ∵∠OBE=∠APD=90°， ∴△ADP∽△OEB， ∴， ∴PD=， ∵AB=2OB， ∴PD=2PF， ∴PF=FD． （2018黃石）21、（本小題8分）如圖，已知A、B、C、D、E是⊙O上五點(diǎn)，⊙O的直徑,∠BCD=120°，A為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)P，使BA=AP，連接PE （1）求線段BD的長(zhǎng) （2）求證：直線PE是⊙O的切線.

48、 （2018荊門）23.如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于，于，分別交、于、，連接，. （1）求證：平方； （2）若，，①求的半徑；②求的長(zhǎng). 23.（1）證明：連接， ∵直線與相切于點(diǎn)， ∴， 又∵，∴. ∴ ∵，∴， ∴， ∴平方. （2）解：①∵，∴ 又∵，∴， ∵，∴ 設(shè)的半徑為， 則，解得 ②連接， ∵為的直徑，∴，∴， 在中，，，∴， ∵為的直徑，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∴. （2018淮安）24．（本題滿分

49、10分） 如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)． （1）試判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若⊙O的半徑為2，∠B＝50°，AC＝4.8，求圖中陰影部分的面積． （1）先根據(jù)“SSS”證明△AEO≌△DEO，從而得到∠ODE＝∠OAE＝90°，即可判斷出直線DE與⊙O相切； （2）陰影部分面積為：． 22．（12分）（2018建設(shè)兵團(tuán)）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)B．連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E． （1）求證：PB是⊙O的切線；

50、（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值． （2018河北）25. 如圖15，點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為26，以原點(diǎn)為圓心，為半徑作優(yōu)弧，使點(diǎn)在右下方，且.在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，且能過作直線交數(shù)軸于點(diǎn)，設(shè)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，連接. （1）若優(yōu)弧上一段的長(zhǎng)為，求的度數(shù)及的值； （2）求的最小值，并指出此時(shí)直線與所在圓的位置關(guān)系； （3）若線段的長(zhǎng)為，直接寫出這時(shí)的值. （2018北京）22. 如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD. (1)求證:OP⊥CD; (2)連接AD，BC，若∠DAB=50°

51、，∠CBA = 70°，OA=2，求OP的長(zhǎng). （2018安順） 25.如圖，在中，，為的中點(diǎn)，與半圓相切于點(diǎn). （1）求證：是半圓所在圓的切線； （2）若，，求半圓所在圓的半徑. （2018遂寧）如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的切線PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO并延長(zhǎng)，與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD于點(diǎn)N，連接AC、CM。 （1）求證：CM2=MN?MA （2）若∠P=300，PC=2，求CM的長(zhǎng) （2018仙桃）22．（滿分8分） 如圖，

52、在⊙O中，AB為直徑，AC為弦．過BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G，作GD⊥AO于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，M是GE的中點(diǎn)，連接CF，CM． （1）判斷CM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若∠ECF2∠A，CM6，CF4，求MF的長(zhǎng)． （第22題圖） · A B C D E F M G O （2018玉林） （2018河南）19.（9分）如圖，AB是圓0的直徑，DO垂直于點(diǎn)O，連接DA交圓O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作圓O的切線交DO于點(diǎn)E，連接BC交DO于點(diǎn)F。 （1）求證：CE=EF； （2）連接AF并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)G，填空： ①當(dāng)∠D

53、的度數(shù)為______時(shí)，四邊形ECFG為菱形； ②當(dāng)∠D的度數(shù)為______時(shí)，四邊形ECOG為正方形。 （2018廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)） （2018蘭州） （2018齊齊哈爾） （2018大慶） （2018懷化） （2018陜西）23．（本題滿分8分） 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB

54、＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，分別與AC、BC相交于點(diǎn)M、N． (1)過點(diǎn)N作⊙O的切線NE與AB相交于點(diǎn)E，求證：NE⊥AB； (2)連接MD，求證：MD＝NB． 23題圖 23題解圖(1) 解：(1)如圖，連接ON ∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線 ∴AD＝CD＝DB ∴∠DCB＝∠DBC 又∵∠DCB＝∠ONC ∴∠ONC＝∠DBC ∴ON∥AB ∵NE是⊙O的切線，ON是⊙O的半徑 ∴∠ONE＝90° ∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB； (2)如解圖(1)所示，由(1)可知ON∥A

55、B， O為⊙O的圓心，∴OC＝OB，∠CMD＝90° ∴CN＝NB＝CB，MD∥CB 又∵D是AB的中點(diǎn)，∴MD＝CB ∴MD＝NB． （2018長(zhǎng)春） （2018沈陽） （2018東營）22．(本題滿分8分)如圖，CD是⊙O的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上． （1）求證：∠CAD=∠BDC； （2）若BD=AD，AC=3，求CD的長(zhǎng)． 22．(本題滿分8分) （1）證明：連接OD ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB…………………………1分 ∵CD是⊙O的切線，OD是⊙O的半徑 ∴∠ODB+∠BDC=90°……………………2分 ∵AB是

56、⊙O的直徑 ∴∠ADB=90° ∴∠OBD +∠CAD = 90°………………………………………3分 ∴∠CAD=∠BDC………………………………………………4分 （2）解:∵∠C=∠C，∠CAD=∠BDC ∴△CDB ∽ △CAD………………………………………………5分 ∴…………………………………………………6分 ∵ ∴…………………………………………………7分 ∵ AC=3 ∴ CD=2…………………………………………………8分 （2018煙臺(tái)） （2018陜西） （2018南京）2

57、7.結(jié)果如此巧合！ 下面是小穎對(duì)一道題目的解答. 題目：如圖，的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn)，，，求的面積. 解：設(shè)的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、，的長(zhǎng)為. 根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得，，. 根據(jù)勾股定理，得. 整理，得. 所以 . 小穎發(fā)現(xiàn)恰好就是，即的面積等于與的積.這僅僅是巧合嗎? 請(qǐng)你幫她完成下面的探索. 已知：的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，，. 可以一般化嗎？ （1）若，求證：的面積等于. 倒過來思考呢？ （2）若，求證. 改變一下條件…… （3）若，用、表示的面積. （2018桂林）25.（本題滿分10分）如圖1，已知⊙O是ΔADB的外接圓，∠AD

58、B的平分線DC交AB于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，BC. （1）求證：AC=BC； （2）如圖2，在圖1 的基礎(chǔ)上做⊙O的直徑CF交AB于點(diǎn)E，連接AF，過點(diǎn)A做⊙O的切線AH，若AH//BC，求∠ACF的度數(shù)； （3）在（2）的條件下，若ΔABD的面積為，ΔABD與ΔABC的面積比為2：9，求CD的長(zhǎng). 25. （本題10分） （1） ∵DC平分∠ADB ∴∠ADC=∠BDC ∴AC=BC （2） 連接AO并延長(zhǎng)交BC于I交⊙O于J ∵AH是⊙O的切線且AH∥BC ∴AI⊥BC ∵垂徑定理 ∴BI=IC ∵AC=BC ∴IC=

59、AC ∴∠IAC=30° ∴∠ABC=60°=∠F=∠ACB ∵FC是直徑 ∴∠FAC=90° ∴∠ACF=180°-90°-60°=30° （3） 過點(diǎn)D作，連接AO 由（1）（2）知ABC為等邊三角形 ∵∠ACF=30° ∴ ∴AE=BE ∴ ∴AB= ∴ 在RtΔAEO中，設(shè)EO=x，則AO=2x ∴ ∴ ∴x=6，⊙O的半徑為6 ∴CF=12 ∵ ∴DG=2 過點(diǎn)D作,連接OD ∵, ∴CF//DG ∴四邊形G’DGE為矩形 ∴ 在RtΔ中 ∴ ∴ (2018通遼) （2018昆明） （2018云南） （2018曲靖） （2018畢節(jié)）26.(本題14分)如圖,在△ABC中,以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的垂線交AB于點(diǎn)F,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,且∠ABG=2∠G. (1)求證:EG是⊙O的切線； (2)若，AC=8，求⊙O的半徑。 （2018銅仁） （2018廣安） （2018資陽） （2018蘇州） （2018赤峰） （2018上海）