第一講集合與邏輯

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1、word 第一講 集合與邏輯 【知識引入】 1. 集合的子集個數(shù)共有 個；真子集有－1個；非空子集有－1個；非空的真子集有－2個； 2. 常見結(jié)論的否認(rèn)形式： 原結(jié)論 否認(rèn)形式 原結(jié)論 否認(rèn)形式 是 不是 至少有一個 沒有 都是 不都是 至多有一個 至少有二個 大于 小于或等于 至少有個 至多有-1個 小于 大于或等于 至多有個 至少有+1個 對所有的成立 存在不成立 或 非且非 對任何的不成立 存在成立 且 非或非 【知識拓展】 集合與命題這一章的相關(guān)知識，在自主招生考試中一般是以小題形式出現(xiàn)．但偶爾也綜合其

2、它知識點(diǎn)而出現(xiàn)在大題中． 1.命題的否認(rèn)是四種命題中最麻煩的細(xì)節(jié)問題．下面是一些常見詞語的否認(rèn)： “至少有一個〞的否認(rèn)是“一個也沒有〞；“都是〞的否認(rèn)是“不都是〞；“所有〞的否認(rèn)是“某些〞， “存在〞的否認(rèn)是“任意〞，“或〞的否認(rèn)是“且〞． 2.容斥原理：令表示集合中元素的個數(shù)，如此 3. 德摩根定理：是全集，,． 4. 集合的差： 5.抽屜原如此： 抽屜原如此有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原如此．抽屜原理常常結(jié)合幾何、整除、數(shù)列和染色等問題出現(xiàn)，它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理．把它推廣到一般情

3、形有以下幾種表現(xiàn)形式． 形式一： 證明：設(shè)把個元素分為個集合，用表示這個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個大于或等于2〔〕． 〔用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個都有，如此因為是整數(shù)，應(yīng)有，于是有： 這與題設(shè)矛盾． 所以，至少有一個，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素． 形式二： 設(shè)把個元素分為n個集合，用表示這個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個大于或等于〔〕． 〔用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個都有，如此因為是整數(shù)，應(yīng)有，于是有： 個 這與題設(shè)相矛盾．所以，至少有存在一個 【高斯函數(shù)】：對任意的實(shí)數(shù)，表示“不大于的最大整數(shù)〞.例如：，，

4、，……一般地，我們有：． 形式三： 證明：設(shè)把個元素分為個集合，用表示這個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個大于或等于． 〔用反證法〕假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個都有，于是有： 個 ∴ 這與題設(shè)相矛盾．所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于． 【典例精講】 例1.〔2012年復(fù)旦〕設(shè)是某集合的三個子集，且滿足，如此 是為空集的 〔 〕 （A） 必要充分條件 〔B〕充分條件，但非必要條件 〔C〕必要條件，但非充分條件 〔D〕即非必要條件，也非充分條件 ?分析與解答： 由于，故兩個陰影局部均為；如此：， ，．

5、 （1） ，如此．所以，，如此 成立． （2） 假設(shè)，由于、，所以．所以，所以． 應(yīng)當(dāng)選 例2.〔2011復(fù)旦千分考〕設(shè)是由任意個人組成的集合，如果中任意4個人中都至少有1個人認(rèn)識其余3個人，那么，下面的判斷中正確的答案是〔 〕． 〔A〕中沒有人認(rèn)識中的所有人 〔B〕中至少有一個人認(rèn)識中的所有人 〔C〕中至多有2個人不認(rèn)識中的所有人 〔D〕中至多有2個人認(rèn)識中的所有人 ?分析與解答： 如果設(shè)中所有人都互相認(rèn)識，顯然這樣的符合題目條件，從而都是錯誤的． 又設(shè)是中的3個人，中每個人都不認(rèn)識其他任何人，而除外，其他個人 認(rèn)識所有的人．

6、顯然這樣的集合符合要求，故是錯誤的． 的證明，由于中任意4個人中都至少有一個人和其余3個人互相認(rèn)識，故認(rèn)識的總?cè)舜巫钌偈牵海? 由于〔因為〕 這里表示取整函數(shù)或高斯函數(shù)，由抽屜原理知：中至少有一個人認(rèn)識中的所有人，應(yīng)當(dāng)選． 例3.〔2009交大〕珠寶店丟失了一件珍貴珠寶，以下4人只有1人說真話，只有1人偷了珠寶． 甲：我沒有偷． 乙：丙是小偷． 丙：丁是小偷． 丁：我沒有偷．如此說真話的人是，偷珠寶的人是． ?分析與解答： 4人中有且僅有一人說真話． 先假設(shè)甲說的是真話，即甲沒有偷，由于丙說的是假話，故丁不是小偷，由于丁說的也是假話，故丁是小偷，矛盾！ 設(shè)乙說的是真話，即丙是小

7、偷，但由于丁說的是假話，故丁也是小偷，矛盾！ 設(shè)丙說的是真話，即丁是小偷，但由于甲說的是假話，故甲也是小偷，矛盾！ 故只有丁說的是真話，且由于甲說的是假話，故甲是小偷． 例4.〔2006復(fù)旦〕假設(shè)非空集合，，如此使得成立的所有的集合是 〔 〕． （B） 〔B〕 〔C〕 〔D〕空集 ?分析與解答： 一方面，；另一方面，，故，而這又等價于．再注意到集合非空，故有，應(yīng)選． 注：注意此題中的“非空〞二字． 例5.〔2008武大〕有50名學(xué)生參加跳遠(yuǎn)和鉛球兩項測試，跳遠(yuǎn)和鉛球測試成績合格的分別有40和31人，兩項測試成績均不與格的有4人，兩項測試成績均與格的有多少人

8、？ ?分析與解答： 這是一道涉與容斥原理的試題，記{跳遠(yuǎn)測試成績與格的學(xué)生}，{鉛球測試成績與格的學(xué)生}，依題意，，兩項成績測試均合格的學(xué)生為，又，由容斥原理， ，故，即兩項測試成績均合格的學(xué)生有25人． 注：此題也可結(jié)合文氏圖，設(shè)兩項測試成績都與格的有人，有方程，解得：． 例6.〔2010復(fù)旦〕設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果點(diǎn)滿足：對任意，都存在，使得，那么稱為集合的聚點(diǎn)，用表示整數(shù)集，如此在如下集合：①②；③，④整數(shù)集中．以0為聚點(diǎn)的集合有〔 〕． （A） ②③ 〔B〕①④ 〔Ｃ〕①③　　　〔Ｄ〕①②④ ?分析與解答： 這是一道學(xué)習(xí)型問題，根據(jù)定義，“聚

9、點(diǎn)〞這個概念應(yīng)理解為以任意無窮小為半徑，以為圓心的圓都至少有的一個元素．〔不包括〕 對集合①，假設(shè)取，如此不存在，滿足．顯然②③是以０為聚點(diǎn)．對集合④，假設(shè)令〔不是唯一的取法，只要即可〕，也不存在，使得． 綜上，應(yīng)選〔Ａ〕． 例7.7月份的天熱得人都不想工作，只想呆在有空調(diào)的房間里．可小卻沒有方法休假，因為他是一個空調(diào)修理工，為了讓更多人好好休息，他只能放棄自己的休息．在過去的7月份里，小每天至少修理了一臺空調(diào)．由于技術(shù)過硬，每一臺空調(diào)都能在當(dāng)天修理好．8月1日結(jié)算的時候，大家發(fā)現(xiàn)小在7月份一共修理了56臺空調(diào)． 求證：存在連續(xù)的假設(shè)干天〔也可以是1天〕，在這些天里，小恰好修理了5臺空調(diào)

10、． ?分析與解答： 我們來考察“連續(xù)的假設(shè)干天〞里小修理的空調(diào)臺數(shù)．設(shè)小在第i天修理了xi臺空調(diào)，其中i=1，2，…，31．如此：x1p) 由此可見 xp+1+xp+2+…+xq=5． 即從第p+1天開始到第q天修理的空調(diào)正好是5臺．

11、?點(diǎn)評：此題的難點(diǎn)在于將題中結(jié)論轉(zhuǎn)化為抽屜原理的數(shù)學(xué)模型． 例8.求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)． ?分析與解答： 記，，由容斥原理，，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有個． 例9.〔2010浙大〕設(shè)集合，． （1） 求證： （2） 假設(shè)是一個在上單調(diào)遞增的函數(shù)，是否有？假設(shè)是，請證明． ?分析與解： 〔1)假設(shè)，顯然成立；假設(shè)，任取，即有，如此 ，即，故． （2） 結(jié)論是，下證． 假設(shè)，如此結(jié)論顯然成立；假設(shè)，任取，即有，下證．假設(shè) ，不妨先設(shè)，由于是一個在上單調(diào)遞增的函數(shù)，故，與矛盾！同理,也將導(dǎo)致矛盾！故，即，從而有． 綜合〔1〕證得．

12、 【方法小結(jié)】： 【真題訓(xùn)練】 一． 選擇題 1.〔2009復(fù)旦〕“要使函數(shù)成立，只要不在區(qū)間就可以了〞的意思是〔 〕． （A） 如果，如此 〔B〕如果，如此 〔C〕如果，如此 〔D〕前面3個解釋都不準(zhǔn)確 2.〔2009復(fù)旦〕設(shè)是含個元素的集合，是中兩個互不相交的子集，分別含有，如此中即不包含也不包含的子集的個數(shù)是〔 〕 （A） 〔B〕 〔C〕 〔D〕 3.〔2010復(fù)旦〕設(shè)集合是全集的子集，，，如此如下選項中正確的答案是〔 〕 （A） 如果或，如此 （B） 如果，如此， （C） 如果，如此，

13、 （D） 上述各項都不正確 4.〔2010復(fù)旦〕設(shè)時區(qū)間上的函數(shù)，如果對任意滿足的都有，如此稱是上的遞增函數(shù)，那么，是上非遞增函數(shù)應(yīng)滿足〔 〕 （A） 存在滿足的，使得 （B） 不存在，滿足，且 （C） 對任意滿足的，都有 （D） 存在滿足的，使得 5.〔2010復(fù)旦〕對于原命題“單調(diào)函數(shù)不是周期函數(shù)〞，如下述正確的答案是〔 〕 （A） 逆命題為“周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)〞 （B） 否命題為“單調(diào)函數(shù)是周期函數(shù)〞 （C） 逆否命題為“周期函數(shù)是單調(diào)函數(shù)〞 （D） 以上三者都不正確 6.〔2010復(fù)旦〕設(shè)集合，，假設(shè)，如此的取值圍是〔 〕 （A） 〔B〕 〔

14、C〕 〔D〕 二． 填空題 7. 〔2009交大〕集合A滿足：假設(shè)，如此，假設(shè)，如此滿足條件的元素個數(shù)最少的集合A為． 8.〔2008科大〕，，，如此的取值圍是． 三． 解答題 9.〔2009浙大〕給出五個數(shù)字，排列這5個數(shù)字，要求第一個到第位置不能由得數(shù)字組成．如不可，因為第一位到第二位由組成，同理也不可．求滿足要求的所有可能的組合數(shù)． 10.〔2007清華〕對于集合〔表示二維點(diǎn)集〕，稱為開集，當(dāng)且僅當(dāng)，，使得．判斷集合與是否為開集，并證明你的結(jié)論．〔注：“〞表示“任意〞；“〞表示“

15、存在〞〕 【參考答案】 1. C。 “要使函數(shù)成立，只要不在區(qū)間就可以了〞這句話等價于“不在區(qū)間“函數(shù)〞 2. C。令中包含的子集組成的集合記為，包含的子集組成的集合記為，如此由容斥原理，中包含或者包含的子集的個數(shù)是，從而中既不包含也不包含的子集的個數(shù)是 3. D。選項A的反例，如圖〔a〕，此時；選項B的反例，如圖〔b〕，假設(shè)，如此；選項C的反例，如圖〔c〕，易見． C A D C D B A B B A C D 〔a〕

16、〔b〕 〔c〕 4.A 。問題等價于命題“如果對于任意滿足的都有，如此稱是上的遞增函數(shù)〞的逆否命題． 5.D 原命題可改寫為：如果一個函數(shù)單調(diào)函數(shù)，那么它不是周期函數(shù)． 逆命題：如果一個函數(shù)不是周期函數(shù)，那么它是單調(diào)函數(shù)． 否命題：如果一個函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，那么它是周期函數(shù)． 逆否命題：如果一個函數(shù)是周期函數(shù)，那么它不是單調(diào)函數(shù)． 6.D 。集合，假設(shè)，如此，．由知，中元素均滿足，而時，成立，但不成立；假設(shè)，如此，而恒成立，由．得：．故． 7.。 由，由；又由，此時集合元素個數(shù)最少．〔又如，等也符合要求〕 8.。 先不妨做一個平移，將坐標(biāo)原點(diǎn)移到，即相當(dāng)于，，對集合，令，其中，．設(shè)，而，故． 。用容斥原理來解決：令為1,2,3,4,5的排列所組成的集合，它的任一個元素的前個數(shù)是的一個排列． ． ， ， ． 所以，所以符合題意的數(shù)組的個數(shù)為． 是開集．理由如下： 如圖，，令到直線的距離為，一旦給定后，是一個大于零的常數(shù)．令〔取值不唯一〕，顯然 集合不是開集，理由如下： 令為y軸正半軸上的點(diǎn)，如此無論多么小，總有． 11 / 11