《雙曲線的定義及其標準方程》說課教案

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1、 ?雙曲線的定義及其標準方程?說課教案 姜萍 各位專家，各位老師： 大家好！我叫姜萍，來自于牡丹江市第一高級中學。很快樂能在這里和大家進行交流。 我說課的題目是?雙曲線的定義及其標準方程?，內容選自于北師大版?高中數學實驗教材?高二下冊第九章第二單元第一小節(jié)，課時安排為兩課時，本課為第一課時。下面我將從教材分析與處理、教學方法與手段、教學過程與設計、教學設計想法說明四大方面來闡述我的教學設想。 一、教材分析與處理 〔一〕教材的地位與作用 學生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學習是對其研究內容的進一步深化和

2、提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學習就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向為雙曲線的簡單性質的學習打下根底。 〔二〕學生狀況分析 學生在學習本節(jié)課之前，已掌握了橢圓的定義和標準方程，也曾經嘗試過探究式的學習方式，所以說從知識和學習方式上來說學生已具備了自行探索和推導方程的根底。另外，高二學生思維活潑，敢于表現自己，不喜歡被動地接受別人現成的觀點，但同時也缺乏發(fā)現問題和提出問題的意識。 根據以上對教材和學生的分析，考慮到學生已有的認知規(guī)律，我希望學生能到達以下三個教學目標。 〔三〕教學目標 1、知識與技能

3、：理解雙曲線的定義并能獨立推導標準方程； 2、過程與方法：通過定義及標準方程的挖掘與探究 ，使學生進一步體驗類比、數形結合等思想方法的運用，提高學生的觀察與探究能力； 3、情感態(tài)度與價值觀：通過教師指導下的學生交流探索活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生用聯系的觀點認識問題。 〔四〕教學重點、難點 依據教學目標，根據學生的認知規(guī)律，確定本節(jié)課的重點為理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。難點為雙曲線標準方程的推導。 〔五〕教材處理 我對教學內容作了一點調整：教材中是借用細繩畫出的雙曲線圖形，而我改用幾何畫板畫出雙 曲線圖形。因為相比之下，幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板，學

4、生不僅可看到雙曲線形成的 過程，而且較易看出橢圓與雙曲線的聯系和區(qū)別。 二、教學方法與教學手段 〔一〕教學方法 著名數學家波利亞認為：“學習任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現。〞雙曲線的定義和標準方程 與橢圓很類似，學生已經有了一些學習橢圓的經驗，所以本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究〞式的教學方 式，重點突出以下兩點： 1、以類比思維作為教學的主線 2、以自主探究作為學生的學習方式 〔二〕教學手段 采用多媒體輔助教學，表達在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫給學生看，而是通過動畫啟發(fā)引導學生進行思考，調動學生學習的積極性。 三、教學過程與設計 為到達本節(jié)課的教學目標，更好地突出重

5、點，分散難點，我將教學過程分為四個階段。 （一） 知識引入---- 知識回憶、觀察動畫、概括定義 在課的開始我設置了這樣幾個問題，以幫助學生進行知識回憶： 1、橢圓的第一定義是什么？定義中哪些字非常關鍵？ 2、橢圓的標準方程是什么？ 3、如何判斷焦點位置？a、b、c是何種關系？ 通過回憶，既檢測了學生對前面知識的掌握情況，同時又為下面雙曲線的學習做好鋪墊。之后， 告訴學生：今天要學習一種新的曲線。翻開幾何畫板，首先通過動畫讓學生再一次回憶橢圓的生成過 程，然后改變圖中的條件，將距離變大，動畫生成一種新的曲線，學生易看出該曲線為雙曲線。 雙曲線的定義其實就是動點所滿足的關系，那

6、么雙曲線的定義是什么？也就是動點所滿足的關系是什 么？這個問題可讓學生進行探究。 解決這個問題有兩個難點：一是距離的運算關系的得出；二是運算關系的簡化。在探究中，學生 類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值，會認為這個定值必是正值，而會無視距離差為負值的 情況，其實這只能得到雙曲線的一支。對于這種情況，我會采取啟發(fā)引導，把P從一支移到另一支， 然后讓學生再次思考自己得到的關系是否正確。在引導下，學生會想到動點到兩定點的距離差為正值 或正值的相反數。但這個關系能不能加以簡化？學生這個時候會聯想到可利用絕對值進行簡化。這樣 就得到了動點所滿足的較為精煉的關系，也就是得到了雙曲線的定

7、義。 這一設計讓學生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程，在此根底上，再通過教師的引導， 學生就可在觀察思考中一步一步地由感性認識上升到理性認識，最終得到雙曲線定義，從而培養(yǎng)了學 生的觀察能力及概括能力。另外，這一設計也在形的方面實現了橢圓與雙曲線的比擬，也為下面雙曲 線定義的挖掘及兩種曲線的比照打下根底。 隨著雙曲線定義的得出，教學進入第二階段---知識探索 〔二〕 知識探索---- 定義的挖掘、標準方程的推導、方程的比照 1、定義的挖掘 在這一環(huán)節(jié)中，我們要認識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數的大小關系二者對曲線的影響。 首先，我設置了這樣兩個問題： 〔1〕類比橢圓

8、尋找雙曲線定義中的關鍵字； 〔2〕假設分別去掉這幾個關鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化？ 然后讓學生帶著問題進行合作探究，教師可適當引導，對于學生難以理解的地方適時給予幫助指導。 雖然學生學習橢圓定義時也接觸過類似問題，但雙曲線較為復雜，比方 ：增加了“絕對值〞等等。學生要獨立完成會較為困難，所以采取合作探究。這個過程既可以加深學生對定義的理解，又讓可學生在相互交流中互相啟發(fā)、鼓勵、共同進步提高，從而培養(yǎng)學生的表達能力和協作能力。 在得出結論后，我又為學生提供了以下題目： 請說出以下方程對應曲線的名稱 〔3〕 | 〔4〕 〔5〕 〔6〕 這

9、些題目由淺入深，前面兩題學生可由雙曲線定義直接認識到動點的幾何含義，后四題需根據兩點間距離公式及橢圓雙曲線定義間接認識到動點的幾何含義。這樣設置有了過渡，學生不會覺得跨度很大，處理起來比擬順手。通過這些題的練習可以加深學生對定義的理解，更重要的這些題目就是學生對自己研究結果的應用。讓學生體驗到應用自己探究果實的喜悅，對學生來說是一種鼓勵，一舉兩得。 2、 標準方程的推導 這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點，為了突破它，我設置了這樣幾個問題讓其貫穿推導過程以將難點分 解： 〔1〕回憶橢圓標準方程的推導步驟及方法； 〔2〕類比橢圓試著推導雙曲線的標準方程； 〔3〕換元處理與橢圓有沒有區(qū)別？ 〔4

10、〕猜證雙曲線焦點在 y軸上的標準方程。 然后讓學生獨立完成推導過程。這樣設置的目的是考慮到由定義求方程，其實就是求軌跡方程的問題，并且雙曲線的標準方程推導過程與橢圓十分類似，學生有能力獨立完成。但在化簡根式時由于運算量較大，學生可能會出現一些運算錯誤。另外，變形時絕大多數學生會想到先移項再平方，少局部學生會直接平方。假設直接平方，就會出現4次方，較為復雜。如果在實際教學中，有學生提出這種做法，我會讓讓大家參與分析討論，看看哪種做法更為簡便。以讓學生認識到今后在變形時要考慮清楚不要盲目去做。整個這個推導過程，不僅提高了學生的變形能力、運算能力，而且也提高學生的分析問題和解決問題的能力。 3、

11、方程的比照 此時，學生接觸的方程已比擬多，很容易混淆，有必要加以比照。 我引導學生進行以下兩組比照： 〔1〕雙曲線方程的兩種形式的比照； 〔2〕橢圓方程與雙曲線方程的比照。 比照時會讓學生注意方程結構的區(qū)別和聯系，比方說：到底是平方差還是平方和。另外，還要注意橢圓方程和雙曲線方程都涉及到的三個量a、b、c它們的區(qū)別和聯系。比照后，學生可初步的分清四個標準方程及知道如何判斷a、b 、c。之后，我又準備了這樣一組題，以檢測學生對四個方程的掌握程度。請說出以下方程所表示曲線的焦點位置及a、 b 、c的值： 〔三〕知識應用----例題與穩(wěn)固練習 1、例題： 首先，我為

12、學生準備了兩道例題，例題可由學生講解，教師指導補充。 例1、雙曲線焦點的坐標為 ，雙曲線上一點P到的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。 這道題學生可直接利用定義求標準方程，也可以按求軌跡方程的方法求標準方程，學生不會出現太大問題。但是要向學生指明，如果某種軌跡適合某種曲線的定義，就不必再用列方程求解，只要利用定義求出常規(guī)待定函數即可。 例2、雙曲線的焦點在y 軸上，并且雙曲線上兩點的坐標為〔3，-4，〔 ，求雙曲線的標準方程。 這道題可采用待定系數法求標準方程。此題中雙曲線焦點在y軸上，學生在求解過程中很可能會無視這個條件，易將方程設成焦點在x軸的。教師可及時加以強調，讓學生

13、注意審題，以培養(yǎng)學生緊密的思維和嚴謹的學習態(tài)度。設置兩道題是考慮到他們都來源于教材，而且緊緊圍繞雙曲線的定義和標準方程，題目典型也有梯度，可使學生初步掌握定義及標準方程的應用。 2、穩(wěn)固練習 練習是學習活動中不可缺少的環(huán)節(jié)，通過練習可穩(wěn)固對知識的理解，在這一環(huán)節(jié)我為學生準備了三道練習題。 〔1〕雙曲線的實軸長為6，焦距為10，那么該雙曲線的標準方程為〔 〕 A、 B、 C、或 D、 或 第〔1〕題是求焦點不確定的雙曲線標準方程，學生易無視焦點在y軸的情況，通過此題的練習可以提醒學生考慮問題要全面。 〔2〕 方程表示雙曲線，

14、求m取值范圍。 第〔2〕題限制條件為m+2 和m+1同號，即二者乘積大于0，學生易認為二者均大于0，而無視了均小于0的情況，因此會丟解，所以通過這道題的練習會提醒學生考慮問題要認真、全面，同時又可加深學生對定義及標準方程的理解。 〔3〕相距2km的兩個哨所A，B都聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲，當時的聲速為330m\s，在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B處遲4s。試判斷爆炸點在什么上，并求出曲線的方程。 第〔3〕題是從生活中提煉出的數學問題，可以加強學生的應用能力及應用意識，以讓學生感悟到數學是源于生活，效勞于生活的辨證唯物主義觀點。 〔四〕知識小結----知識總結與布置作業(yè) 1、知識總結：

15、 〔1〕雙曲線的定義 〔與橢圓的區(qū)別〕 〔2〕標準方程 〔兩種形式〕 〔3〕焦點位置的判斷 〔與橢圓的區(qū)別〕 〔4〕a 、b、 c的關系〔與橢圓的區(qū)別〕〔片〕 在課的尾聲，我讓學生對本節(jié)課進行了總結。目的是幫助他們認清這節(jié)課的知識結構， 培養(yǎng)他們的歸納總結能力。 2、作業(yè)： （1） 用表格形式整理雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯系 （2） 142頁第1、2題 （3） 〔選做〕M是雙曲線上一點，是雙曲線的焦點， ，求的面積。假設使雙曲線的方程和角度任意變化，你能得出一般性的結論？ 教學內涵是不局限于課堂的，為了幫助學

16、生課下能夠繼續(xù)探索和研究，我設置了幾組不同層次的作業(yè)，以幫助學生穩(wěn)固對定義和標準方程的理解，同時可全面照顧到不同層次的學生，激發(fā)他們的能動性。 雙曲線的定義及其標準方程 一、 雙曲線的定義 三 例1： 定義的挖掘 二、 雙曲線的標準方程 例2 1、 推導： 2、 比照： 板書設計 這樣的板書設計目的是為了突出這節(jié)課的主要內容和重點，幫助學生理清思緒，起到提綱挈領的作用。 四、教學設計的想法說明： 我在教學過程

17、設計方面注重了三點： 〔一〕教學過程的著力點放在了如何激發(fā)學生的學習動機，培養(yǎng)學生的學習興趣上，這是喚醒學生主體認識的關鍵。 〔二〕教學過程的重點放在了培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力上，而把握重點的關鍵是如何選擇好創(chuàng)新精神、實踐能力與課堂教學的結合點，這個結合點從學科來說，就是以科學知識為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維方法；從教師來說就是“思路、教路、學路〞三者有機結合的教學過程設計，及其在課堂中的藝術展現；從學生來說，就是親歷、體驗、探究、思考和創(chuàng)造性的解決問題的過程，從而在過程中獲得逐步開展。 〔三〕教學過程的根本點放在了夯實根底知識和訓練根本技能上，根底知識的教學注重了層次性、針對性。

18、 我在教學理念方面注重了四點： 第一是能動性：師生互動、生生互動，學生主動參與研究過程。 第二是開放性：教學過程中關注每個學生的個性開展，尊重每個學生開展的特殊需要，學生的思維開放。 第三是生成性：在教學過程中，學生的認識和體驗不斷加深，創(chuàng)造性的火花不斷進發(fā)，學生的思維資源被開發(fā)出來，充分利用。 第四是注重了學生學習方式的轉變：既注重了研究性學習，又注重了接受性學習，教師不把結論告訴學生，而是學生自己在教師指導下自主地發(fā)現問題、探究問題獲得結論，從而解決問題。 以上就是我對這節(jié)課的全部認識，我的說課到此結束，謝謝！ 教學過程 一．問題情境

19、1．情境： 我們知道，橢圓上的點到兩個定點的距離的和等于常數．當焦點在 軸上時，橢圓的標準方程為 ． 2．問題： 雙曲線上的點到兩個定點距離的差的絕對值等于常數，那么，雙曲線的標準方程是什么形式呢？ 二．學生活動 設雙曲線的焦距為 ，雙曲線上任意一點到焦點 ， 的距離的差的絕對值等于常數 ． 以 ， 所在直線為 軸，線段 的垂直平 分線為 軸，建立直角坐標系 〔如圖〕，那么 ， 的坐標分別為 ． 設 為雙曲線上任意義點，根據雙曲線定義知 ，即 ．化簡，得 ． ∵ ，∴令 ，得 ，兩邊除以 ，得 ． 由上述過程可知，雙曲線上的點的坐標 都滿足上面這個方程，并

20、且滿足上面這個方程的點 都在的雙曲線上． 三．建構數學 雙曲線的標準方程： 焦點在 軸上的雙曲線的標準方程： ， 焦點在 軸上的雙曲線的標準方程： 其中 思考：怎樣推導出焦點在 軸上的雙曲線標準方程？ 說明：〔1〕雙曲線的標準方程是與選擇的坐標系有關的，當且僅中選擇對稱軸為坐標軸時有其標準形式． 〔2〕兩個標準方程的區(qū)別： 與 的系數符號決定了焦點所在的坐標軸，當 系數為正時焦點在 軸上，當 的系數為正時焦點在 軸上，而與分母的大小無關． 〔3〕以坐標軸為對稱軸的雙曲線可用方程 表示． 四．數學運用 1．例題： 例1．雙曲線的兩個焦點分別為 ，雙曲線上一點 到 ， 的距離

21、的差的絕對值等于 ，求雙曲線的標準方程． 解 由題意，可設雙曲線的標準方程為 ． 因為 ，所以 因而所求雙曲線的標準方程為 ． [變式]將條件中絕對值去掉，求雙曲線的標準方程． 例2．求適合以下條件的雙曲線的標準方程： 〔1〕 ，焦點在 軸上； 〔2〕 ，經過點 ，焦點在 軸上． 解〔1〕依題意 ，且焦點在 軸上，所以雙曲線方程為 〔2〕焦點在 軸上的雙曲線方程可設為 ，由 ，且經過點 ，可得 解得 ．因此，所求雙曲線的方程為 ． [變式]上題可不明確焦點所在的坐標軸． 例3． 兩地相距 ，一炮彈在某處爆炸，在 處聽到爆炸聲的時間比在 處遲 ，設聲速為 ．〔1〕爆炸點在什么曲線上？〔2〕求這條曲線的方程． 解 〔1〕設 為爆炸點，由題意得 ．因為爆炸點離 點比離 點距離更遠，所以爆炸點在以 為焦點且距 較近的雙曲線的一支上．〔如圖〕 〔2〕如右圖，以直線 為 軸，線段 的垂直平分線為 軸建立直角坐標系 ．設 為曲線上一點．由 ，得 ．由 ，得 ．∴ ． ∵ ，∴ ． 因此，所求曲線的方程為 ． 五．回憶小結： 1．雙曲線的標準方程； 2．用定義和待定系數法求雙曲線的方程．