《江蘇省徐州市2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 相似三角形綜合問題習(xí)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《江蘇省徐州市2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 相似三角形綜合問題習(xí)題（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
提分專練(五) 相似三角形綜合問題
|類型1| 平面直角坐標(biāo)系中的相似
1.[2018·鄂州] 如圖T5-1,已知直線y=x+與拋物線y=ax2+bx+c相交于A(-1,0),B(4,m)兩點(diǎn),拋物線y=ax2+bx+c交y軸于
點(diǎn)C0,-,交x軸正半軸于D點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為M.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAB的面積最大時(shí),求△PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q為x軸上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn),當(dāng)△QMN∽△MAD(點(diǎn)Q與點(diǎn)M對(duì)應(yīng))時(shí),求Q點(diǎn)的坐標(biāo).
圖T5-1
|類型2|
2、相似三角形與四邊形
2.[2017·大連] 如圖T5-2①,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+
∠ADB=∠ACB.
(1)填空:∠BAD與∠ACB的數(shù)量關(guān)系為 ;?
(2)求的值;
(3)將△ACD沿CD翻折,得到△A'CD(如圖②),連接BA',與CD相交于點(diǎn)P.若CD=,求PC的長(zhǎng).
圖T5-2
|類型3| 相似三角形與平行四邊形
3.[2018·重慶A卷] 如圖T5-3,在?ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),且AB=AE,連接EO并延長(zhǎng)交AD
于點(diǎn)F
3、.過點(diǎn)B作AE的垂線,垂足為H,交AC于點(diǎn)G.
(1)若AH=3,EH=1,求△ABE的面積;
(2)若∠ACB=45°,求證:DF=CG.
圖T5-3
|類型4| 相似三角形與圓
4.[2017·蘇州] 如圖T5-4,已知△ABC內(nèi)接于☉O,AB是直徑,點(diǎn)D在☉O上,OD∥BC,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,連接CD
交OE邊于點(diǎn)F.
(1)求證:△DOE∽△ABC;
(2)求證:∠ODF=∠BDE;
(3)連接OC,設(shè)△DOE的面積為S1,四邊形BCOD的面積為S2,若=,求sinA的值.
圖T5-4
4、
|類型5| 相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題
5.[2015·宿遷] 如圖T5-5,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,4),直線y=x-3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)M是直線
AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PM長(zhǎng)的最小值為 .?
圖T5-5
6.如圖T5-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=3 cm.動(dòng)點(diǎn)M,N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā),均以每秒1 cm的速度分別沿CA,CB
向終點(diǎn)A,B移動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2 cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng),連接PM,PN,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(單
位:s,0
5、為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值?若存在,求出S的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
圖T5-6
參考答案
1.[解析] (1)將B(4,m)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可解得點(diǎn)B的坐標(biāo),再將A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式即可求出其關(guān)系式,再將其化為頂點(diǎn)式就能得到點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)過點(diǎn)P作PE⊥x軸,交AB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F,則S△PAB=PE·AF.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,n2-n-,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為n,n+,即可得到S△PAB的函數(shù)關(guān)系式,將
6、其化為頂點(diǎn)式即可求出最大值;(3)由勾股定理的逆定理可證得△MAD是等腰直角三角形,則△QMN也是等腰直角三角形,從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
解:(1)將B(4,m)的坐標(biāo)代入y=x+,得m=×4+=,∴B4,.
將A(-1,0),B4,,C0,-的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c得解得∴拋物線的解析式為y=x2-x-,∴y=(x2-2x)-=(x-1)2-2,故頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,-2).
(2)如圖①,過點(diǎn)P作PE⊥x軸,交AB于點(diǎn)E,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F.∵A(-1,0),B4,,∴AF=4―(―1)=5.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為n,n2-n-,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為n,n+.
∵點(diǎn)P在直
7、線AB下方,
∴PE=n+-n2-n-=-n2+n+2,∴S△PAB=S△APE+S△BPE=PE·AG+PE·FG=PE·(AG+FG)=PE·AF=×5-n2+n+2=-+,∴當(dāng)n=時(shí),△PAB的面積最大,且最大面積為,當(dāng)n=時(shí),n2-n-=×--=-,
故此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,-.
(3)∵拋物線的解析式為y=x2-x-=-2,
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1.
又∵A(-1,0),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0),
又∵M(jìn)的坐標(biāo)為(1,-2),∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,AM2=[1-(-1)]2+(-2)2=8,DM2=(1―3)2+(―2―0)2=8,∴AD2=
8、AM2+DM2,且AM=DM,
∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°,
又∵△QMN∽△MAD,
∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,∠MQN=90°,∠QMN=45°,
又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°,此時(shí)點(diǎn)D(或點(diǎn)A)與點(diǎn)N重合(如圖②),此時(shí)MQ⊥x軸,故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0).
2.解:(1)由于∠ABD+∠ADB=∠ACB,
所以∠BAD+∠ACB=∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,
故答案為:∠BAD+∠ACB=180°.
(2)作DE∥AB,交AC于點(diǎn)E,
則∠DEA=∠BAE,∠OBA=∠ODE,
又∵OB=OD,
9、
∴△OAB≌△OED(AAS),
∴AB=DE,OA=OE,
設(shè)AB=DE=CE=x,OA=OE=y,
∵∠EDA+∠DAB=180°,∠BAD+∠ACB=180°,∴∠EDA=∠ACB.
∵∠DEA=∠EAB,
∴△EDA∽△ACB,
∴===,
即=,4y2+2xy-x2=0,
∴2+-1=0,
解得=(舍負(fù)),∴=.
(3)作DE∥AB交AC于E.易知DE=CE,∴∠EDC=∠ECD,
∵∠DCA=∠DCA',
∴∠EDC=∠DCA',
∴DE∥CA',
∵AB∥DE,∴AB∥CA',
∴∠ABC+∠A'CB=180°,
∵△EAD∽△ABC,
10、
∴∠DAE=∠ABC=∠DA'C,
∴∠DA'C+∠BCA'=180°,
∴A'D∥BC,∴△PA'D∽△PBC,
∴==,∴=,
即=,∵CD=,∴PC=1.
3.解:(1)∵BH⊥AE于點(diǎn)H,AB=AE,AH=3,EH=1,
∴AE=AH+EH=4=AB.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得BH==.
∴S△ABE=AE·BH=×4×=2.
(2)證明:∵O是AC的中點(diǎn),∴OA=OC.
∵在?ABCD中,AD∥BC,AD=BC,
∴△AOF∽△COE.
∴==1,從而AF=CE.∴DF=BE.
過點(diǎn)A作AM⊥BC,過點(diǎn)G作GN⊥BC,垂足分別為M,N,AM交BH
11、于點(diǎn)K,如圖.
∵AB=AE,AM⊥BC,
∴BM=ME=BE,
∠BAM=∠EAM,
∠AMB=∠AHK=90°.
又∵∠BKM=∠AKH,
∴∠KBM=∠BAM.
∵∠AMC=90°,∠ACB=45°,∠GNC=90°,
∴∠MAC=45°=∠GCN.
∵∠AGB=∠GBC+∠GCN,∠BAG=∠BAM+∠MAC,
∴∠AGB=∠BAG.∴AB=BG.
又∵∠AMB=∠BNG=90°,∠MAB=∠GBN,
∴△ABM≌△BGN.∴BM=NG.
又∵BE=2BM,GN=GC,
∴BE=2×GC=GC.∴DF=CG.
4.解:(1)證明:∵AB是☉O的直徑,∴
12、∠ACB=90°.
∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°.
∴∠DEO=∠ACB.
∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC,
∴△DOE∽△ABC.
(2)證明:∵△DOE∽△ABC,∴∠ODE=∠A.
∵∠A和∠BDC都是所對(duì)的圓周角,
∴∠A=∠BDC,
∴∠ODE=∠BDC.
∴∠ODF=∠BDE.
(3)∵△DOE∽△ABC,
∴=2=,
即S△ABC=4S△DOE=4S1,
∵OA=OB,∴S△BOC=S△ABC,
即S△BOC=2S1.
∵=,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE,
∴S△DBE=S1,
∴BE=OE,
即O
13、E=OB=OD,
∴sinA=sin∠ODE==.
5. [解析] 根據(jù)垂線段最短,所以PM長(zhǎng)的最小值就是當(dāng)PM⊥AB時(shí)PM的長(zhǎng).
根據(jù)直線y=x-3與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,
令x=0,求得y=-3,所以B(0,-3),即OB=3;
令y=0,求得x=4,所以A(4,0),即OA=4.
在Rt△AOB中,根據(jù)勾股定理得:
AB===5.
在Rt△PMB與Rt△AOB中,
∵∠PBM=∠ABO,∠PMB=∠AOB,
∴Rt△PMB∽R(shí)t△AOB,
∴=,即=.
∴PM=.
6.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.根據(jù)勾股定理,得AB==5.
14、(1)以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,分兩種情況:
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí),=,
即=,
解得t=.
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí),=,
即=,
解得t=0(不合題意,舍去).
綜上所述,當(dāng)t=時(shí),以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.
(2)存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.理由如下:
假設(shè)存在某一時(shí)刻t,使四邊形APNC的面積S有最小值.
如圖,過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H.則PH∥AC,
∴=,即=,
∴PH=t,
∴S=S△ABC-S△BPN
=×3×4-×(3-t)·t
=t-2+(00,∴S有最小值.當(dāng)t=時(shí),S最小值=.
即當(dāng)t=時(shí),四邊形APNC的面積S有最小值,其最小值是 cm2.
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江蘇省徐州市2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練05 相似三角形綜合問題習(xí)題
