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1、
24.5 三角形的內(nèi)切圓
01 基礎(chǔ)題
知識(shí)點(diǎn)1 三角形的內(nèi)切圓及作圖
1．（2017·廣州）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，則點(diǎn)O是△ABC的（B）
A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)
B．三條角平分線的交點(diǎn)
C．三條中線的交點(diǎn)
D．三條高的交點(diǎn)
2．制作鐵皮桶，需在一塊三角形材料上截取一個(gè)面積最大的圓，請(qǐng)畫出該圓．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
解：如圖，作出三角形的角平分線BD，CE，角平分線交點(diǎn)O即為所畫圓的圓心，過點(diǎn)O作OF⊥BC，垂足為F，以O(shè)為圓心，OF為半徑，作⊙O即為所求作的圓．
知識(shí)點(diǎn)2 三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)
3．若三角形的內(nèi)心和外心重合，則
2、這個(gè)三角形是（D）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等邊三角形
4．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC＝130°，則∠BAC的度數(shù)為（C）
A．65°
B．50°
C．80°
D．100°
5．如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，它的內(nèi)切圓半徑為r，那么△ABC的面積為（B）
A．（a＋b＋c）·r B.（a＋b＋c）·r
C.（a＋b＋c）·r D.（a＋b＋c）·r
6．等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為（D）
A．2 B．3 C. D．2
7．（2018·黃石
3、）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，則△ABC的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為4π．
8．（教材P44習(xí)題T2變式）如圖，△ABC內(nèi)，內(nèi)切圓⊙O與BC，AC，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠FDE＝65°，求∠A的度數(shù)．
解：連接OE，OF.
∵AB，AC分別是⊙O的切線，∴∠AEO＝∠AFO＝90°.
∴∠A＋∠EOF＝180°.
由圓周角定理知：∠EOF＝
2∠EDF＝130°，
∴∠A＝180°－∠EOF＝50°.
9．（教材P44習(xí)題T3變式）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半徑．
解：連
4、接AF，則AF⊥BC.
在Rt△ABF中，
BF＝BC＝×10＝5，
∴AF＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AF＝×10×12＝60.
設(shè)⊙O的半徑是r，則×（13＋13＋10）·r＝60，
解得r＝.
∴⊙O的半徑為.
易錯(cuò)點(diǎn) 內(nèi)心與外心概念混淆不清
10．（教材P43例題變式）如圖，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心，∠A＝50°，則∠BPC的度數(shù)為115°．
02 中檔題
11．（2017·武漢）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5，7，8，則其內(nèi)切圓的半徑為（C）
A. B. C. D．2
12．等邊三角形內(nèi)切圓半徑，外
5、接圓半徑和高的比為1∶2∶3．
13．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，點(diǎn)O為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AOB＝135°．
14．如圖，已知在△ABC中，∠A＝90°.
（1）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出⊙P，使圓心P在AC邊上，且與AB，BC兩邊都相切；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面積．
解：（1）如圖所示．
（2）∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°.
∴BP＝2AP.
設(shè)AP＝x，則BP＝2x.由勾股定理，得
AB＝＝＝x.
∵AB＝3，
∴x＝3，解得x＝.
∴AP＝
6、.
∴S⊙P＝3π.
15．如圖，已知點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于點(diǎn)D，交外接圓⊙I于點(diǎn)E，連接EC.求證：
（1）IE＝EC；
（2）IE2＝ED·EA.
證明：（1）連接IC.
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.
又∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠CAE＝∠BCE.
∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.
∴∠EIC＝∠ICE.
∴IE＝EC.
（2）由（1）可知：∠CAE＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠CED，
∴△DCE∽△CAE.
∴＝.
∴CE2＝DE·EA.
∵IE＝EC，
∴IE2＝DE·EA.
03 鏈接中考
16．（2018·湖州）如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC邊相切于點(diǎn)D，連接OB，OD.若∠ABC＝40°，則∠BOD的度數(shù)是70°．
第16題圖 第17題圖
17．（2018·威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足為D，⊙E是△ACD的內(nèi)切圓，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為135°．
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