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1、大題加練(一)
姓名：________ 班級(jí)：________ 用時(shí)：______分鐘
1．(2018·無(wú)棣一模)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE＝∠ACD，BE，CD交于點(diǎn)F.
(1)求證：＝；
(2)請(qǐng)?zhí)骄烤€段DE，CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(3)若CD⊥AB，AD＝2，BD＝3，求線段EF的長(zhǎng)．
2．(2018·濱州一模)如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，將正方形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處(點(diǎn)P與點(diǎn)C，D不重合)，折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于
2、點(diǎn)G.
(1)觀察操作結(jié)果，找到一個(gè)與△EDP相似的三角形，并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí)，(1)問(wèn)中你找到的三角形與△EDP周長(zhǎng)的比是多少．
3．(2018·濱州一模)直線y＝－x＋分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，⊙E經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及A，B兩點(diǎn)，C是⊙E上一點(diǎn)，連接BC交OA于點(diǎn)D，∠COD＝∠CBO.
(1)求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)求經(jīng)過(guò)O，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
(3)直線AB上是否存在點(diǎn)P，使得△COP的周長(zhǎng)最?。舸嬖冢?qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答
3、案
1．解：(1)證明：∵∠ABE＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝.
(2)DE＝CE.理由如下：
∵＝，∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，
∴∠AED＝∠ABC.
∵∠AED＝∠ACD＋∠CDE，∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，
∴∠ACD＋∠CDE＝∠ABE＋∠CBE.
∵∠ABE＝∠ACD，∴∠CDE＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠CDE＝∠ABE＝∠ACD，
∴DE＝CE.
(3)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝∠CDE＋∠ADE＝90°.
∵∠ABE＝∠ACD
4、，∠CDE＝∠ACD，
∴∠A＝∠ADE，∠BEC＝∠ABE＋∠A＝∠A＋∠ACD＝90°，
∴AE＝DE，BE⊥AC.
∵DE＝CE，∴AE＝DE＝CE，∴AB＝BC.
∵AD＝2，BD＝3，∴BC＝AB＝AD＋BD＝5.
在Rt△BDC中，CD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，AC＝＝＝2，
∴DE＝AE＝CE＝.
∵∠ADC＝∠FEC＝90°，
∴tan∠ACD＝＝，
∴EF＝＝＝.
2．解：(1)與△EDP相似的三角形是△PCG.
證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠C＝∠D＝90°.
由折疊知∠EPQ＝∠A＝90°，
∴∠DPE＋∠DEP＝90°
5、，∠DPE＋∠CPG＝90°，
∴∠DEP＝∠CPG.
∴△EDP∽△PCG.
(2)設(shè)ED＝x，則AE＝2－x，
由折疊可知EP＝AE＝2－x.
∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，∴DP＝1.
∵∠D＝90°，∴ED2＋DP2＝EP2，即x2＋12＝(2－x)2，
解得x＝，∴ED＝.
∵△EDP∽△PCG，
∴＝＝，
∴△PCG與△EDP周長(zhǎng)的比為.
3．解：(1)∵直線y＝－x＋分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3，
∴點(diǎn)A(3，0)，點(diǎn)B(0，)，
∴AB＝＝2，
∴AE＝BE＝AB＝.
如圖，連接EC，交x軸于點(diǎn)H.
∵∠CO
6、D＝∠CBO，
∴＝，
∴EC⊥OA，OC＝AC，
∴OH＝AH＝OA＝.
在Rt△AEH中，EH＝＝，
∴CH＝EC－EH＝，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，－)．
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)O，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax(x－3)．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(，－)，
∴－＝a××(－3)，
解得a＝，
∴經(jīng)過(guò)O，C，A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝x2－x.
(3)存在．
∵OC＝，
∴當(dāng)OP＋CP最小時(shí)，△COP的周長(zhǎng)最小，
如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)K，連接CK交直線AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．
∵∠OAB＝30°，∴∠AOF＝60°.
∵∠COD＝30°，∴∠COK＝90°，
∴CK是直徑．
∵點(diǎn)P在直線AB上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．
由A，B點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AB的解析式為y＝x＋，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，
∴y＝－×＋＝，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)．
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（山東濱州專(zhuān)用）2019中考數(shù)學(xué) 大題加練(一)
