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1、單元測試(五)
范圍:四邊形 限時:60分鐘 滿分:100分
一、選擇題(每小題5分,共30分)
1.若一個多邊形的每個外角都等于72°,則這個多邊形的邊數(shù)為 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.如圖D5-1,在菱形ABCD中,E是AC的中點,EF∥CB,交AB于點F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周長為 ( )
圖D5-1
A.24 B.18 C.12 D.9
3.如圖D5-2,將矩形ABCD沿GH折疊,點C落在點Q處,點D落在AB邊上的點E處,若∠AGE=32°,則∠GHC等于 ( )
圖D5-2
A.112° B.110° C.1
2、08° D.106°
4.如圖D5-3,?ABCD的周長為36,對角線AC,BD相交于點O,點E是CD的中點,BD=12,則△DOE的周長為 ( )
圖D5-3
A.15 B.18 C.21 D.24
5.如圖D5-4,點P是邊長為1的菱形ABCD對角線AC上的一個動點,點M,N分別是AB,BC邊上的中點,則MP+PN的最小值是 ( )
圖D5-4
A.12 B.1 C.2 D.2
6.如圖D5-5,在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于點G,給出下列結(jié)論:①BE=DF;②∠DAF=15°;③AC垂直平分EF
3、;④BE+DF=EF;⑤S△CEF=2S△ABE.其中正確的結(jié)論有 ( )
圖D5-5
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
二、填空題(每小題5分,共20分)
7.如圖D5-6,在平行四邊形ABCD中,∠A=130°,在AD上取DE=DC,則∠ECB的度數(shù)是 .?
圖D5-6
8.如圖D5-7,已知矩形ABCD的對角線長為8 cm,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點,則四邊形EFGH的周長等于 cm.?
圖D5-7
9.如圖D5-8,菱形ABCD的面積為120,正方形AECF的面積為50,則菱形的邊長為 .?
圖D5-8
4、
10.如圖D5-9,在矩形ABCD中,AB=3,對角線AC,BD相交于點O,AE垂直平分OB于點E,則AD的長為 .?
圖D5-9
?
三、解答題(共50分)
11.(10分)如圖D5-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E分別是AB,AC的中點,連接CD,過點E作EF∥CD交BC的延長線于點F.
(1)證明:四邊形CDEF是平行四邊形;
(2)若四邊形CDEF的周長是25 cm,AC的長為5 cm,求線段AB的長度.
圖D5-10
12.(12分)如圖D5-11,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為
5、D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為E.
(1)求證:四邊形ADCE為矩形.
(2)當△ABC滿足什么條件時,四邊形ADCE是正方形?并給出證明.
圖D5-11
13.(13分)如圖D5-12,在?ABCD中,AD>AB.
(1)實踐與操作:作∠BAD的平分線交BC于點E,在AD上截取AF=AB,連接EF;(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)猜想并證明:猜想四邊形ABEF的形狀,并給予證明.
圖D5-12
14.(15分)如圖D5-13①所示,將一個邊長為2的正方形ABCD和一
6、個長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起,構(gòu)成一個大的矩形ABEF,現(xiàn)將小矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn),得到矩形CE'F'D',旋轉(zhuǎn)角為α.
(1)當點D'恰好落在EF邊上時,求旋轉(zhuǎn)角α的值.
(2)如圖②,G為BC的中點,且0°<α<90°,求證:GD'=E'D.
(3)小矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,△DCD'與△CBD'能否全等?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值;若不能,說明理由.
圖D5-13
參考答案
1.A 2.A
3.D [解析] 根據(jù)折疊前后角相等,可知∠DGH=∠EGH,∵∠AGE=32°,∴∠EGH=74°.∵四邊形ABCD是矩形,
7、∴AD∥BC,∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE,∴∠GHC=106°,故選D.
4.A [解析] ∵?ABCD的周長為36,∴BC+CD=12×36=18,OB=OD=12BD=12×12=6,又∵點E是CD的中點,
∴OE=12BC,DE=12CD,∴△DOE的周長=OD+OE+DE=6+12BC+12CD=6+12(BC+CD)=6+12×18=15,故選A.
5.B [解析] 取AD的中點M',連接M'N交AC于點P,則由菱形的軸對稱性可知M,M'關(guān)于直線AC對稱,從而PM'=PM,此時MP+PN的值最小,而易知四邊形CDM'N是平行四邊形,故M'N=CD=1,于是,MP+
8、PN的最小值是1,因此選B.
6.C [解析] ∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.∵△AEF是等邊三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°,∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,AE=AF,AB=AD,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,∠BAE=∠DAF=15°,故①②正確.
∵BC=CD,∴BC-BE=CD-DF,即CE=CF.
∵AE=AF,∠EAC=∠FAC,
∴AC垂直平分EF,故③正確.
設(shè)EC=x,由勾股定理,得
EF=2x,CG=22x,AG=6
9、2x,∴AC=6x+2x2,
∴AB=3x+x2,∴BE=3x+x2-x=3x-x2,
∴BE+DF=3x-x≠2x,故④錯誤.
易知S△CEF=x22,S△ABE=3x-x2·3x+x22=x24,
∴2S△ABE=x22=S△CEF,故⑤正確.
綜上所述,正確的結(jié)論有4個.故選C.
7.65° [解析] 在平行四邊形ABCD中,∠A=130°,則∠D=50°.又DE=DC,所以∠DEC=(180°-50°)÷2=65°,所以∠ECB=∠DEC=65°.
8.16
9.13 [解析] 連接AC,BD,根據(jù)正方形AECF的面積為50,得AC=10.
因為菱形ABCD的面積=1
10、2AC·BD=120,所以BD=24,所以菱形的邊長為 (102)?2+(242)?2=13.
10.33 [解析] 在矩形ABCD中,OA=OB.
∵AE是OB的垂直平分線,∴AB=AO,∴OA=AB=OB=3,∴BD=2OB=6,
∴AD=BD2-AB2=33.
11.解:(1)證明:∵D,E分別是AB,AC的中點,∴DE∥CF,又∵EF∥CD,∴四邊形CDEF是平行四邊形.
(2)∵在Rt△ABC中,D是AB的中點,∴AB=2CD.∵D,E分別是AB,AC的中點,∴BC=2DE.∵2CD+2DE=25,∴AB+BC=25.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴AB2=52
11、+(25-AB)2,解得AB=13,即線段AB的長度為13 cm.
12.解:(1)證明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線,∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°.
又∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,
∴四邊形ADCE為矩形.
(2)當△ABC是等腰直角三角形時,四邊形ADCE是正方形.下面給出證明:
∵∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于點D,
∴∠ACD=∠DAC=45°,∴DC=AD.
由(1)知四邊形ADCE為矩形,
∴矩形ADC
12、E是正方形.
13.解:(1)如圖所示.
(2)四邊形ABEF是菱形.證明如下:
在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE,
∴∠BAE=∠AEB,∴BE=AB.
由(1)得AF=AB,∴BE=AF.
又∵BE∥AF,∴四邊形ABEF是平行四邊形.
∵AF=AB,∴四邊形ABEF是菱形.
14.解:(1)∵矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至矩形CE'F'D',∴CD'=CD=2,
在Rt△CED'中,CD'=2,CE=1,∴∠CD'E=30°.
∵CD∥EF,∴α=30°.
(2)證明:∵G為BC中點,∴CG=
13、1,∴CG=CE.
∵矩形CEFD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至矩形CE'F'D',
∴∠D'CE'=∠DCE=90°,CE'=CE=CG,
∴∠GCD'=∠DCE'=90°+α.
在△GCD'和△E'CD中,CD'=CD,∠GCD'=∠DCE',CG=CE',
∴△GCD'≌△E'CD(SAS),∴GD'=E'D.
(3)能,旋轉(zhuǎn)角α的值為135°或315°.理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,∴CB=CD.∵CD'=CD,
∴△BCD'與△DCD'為腰相等的兩等腰三角形,
當∠BCD'=∠DCD'時,△CBD'≌△CDD'.
當△BCD'與△DCD'為鈍角三角形時,則旋轉(zhuǎn)角α=360°-90°2=135°;
當△BCD'與△DCD'為銳角三角形時,∠BCD'=∠DCD'=12∠BCD=45°,則α=360°-90°2=315°,
即旋轉(zhuǎn)角α的值為135°或315°時,△CBD'與△DCD'全等.
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