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1、勾股定理
章末小結(jié)與提升
類型1 勾股定理
典例1 如圖,已知∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°.求BC的長.
【解析】∵∠ABD=90°,∠DAB=30°,∴BD=12AD=12×12=6.
在Rt△ABD中,AB2=AD2-BD2,∴AB=122-62=63.
在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,
根據(jù)勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2=108,
∴BC=36.
【針對訓(xùn)練】
1.如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直
2、角三角形的兩直角邊(x>y),下列四個說法:①x2+y2=49;②x-y=2;③2xy+4=49;④x+y=9.其中說法正確的是(B)
A.①② B.①②③
C.①②④ D.①②③④
2.如圖,P為等腰△ABC內(nèi)一點,過點P分別作三條邊的垂線,垂足分別為D,E,F,已知AB=AC=10,BC=12,且PD∶PE∶PF=1∶3∶3,則AP的長為(B)
A.43 B.203 C.7 D.8
3.(綿陽中考)如圖,沿AC方向開山修建一條公路,為了加快施工進度,要在小山的另一邊尋找點E同時施工,從AC上的一點B取∠ABD=150°,沿BD的方向前進,取∠BDE=60°,測得BD=52
3、0 m,BC=80 m,并且AC,BD和DE在同一平面內(nèi),那么公路CE段的長度為(C)
A.180 m B.2603 m
C.(2603-80) m D.(2602-80) m
4.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=3,DC=4,∠A=60°,∠D=150°,試求BC的長度.
解:連接DB,∵AB=AD,∠A=60°,
∴△ABD是等邊三角形,
∴BD=AD=3,∠ADB=60°,
又∵∠ADC=150°,
∴∠CDB=∠ADC-∠ADB=150°-60°=90°,
∵DC=4,∴BC=DC2+DB2=42+32=5.
類型2 勾股定理的逆定理
典例2 在△A
4、BC中,a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2+2n+1(n>0)為三邊,這個三角形是直角三角形嗎?
【解析】∵c-a=(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=1>0,c-b=(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0,
∴c邊為三角形的最大邊,
又∵c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,
a2+b2=(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,
∴a2+b2=c2.
∴△ABC為直角三角形.
【針對訓(xùn)練】
1.在△ABC中,a=3,b=7,c2=58,則S△ABC= 10.5 .?
2.已知在△ABC中,AD⊥BC于點D,若A
5、B=13,AC=8,則BD2-DC2= 105 .?
3.如圖,在△ABC中,D為邊BC的中點,AB=5,AD=6,AC=13.求證:AB⊥AD.
解:延長AD至點E,使DE=AD,連接CE,BE.
∵D為BC的中點,∴CD=BD.
又∵AD=DE,∠ADC=∠BDE,
∴△ADC≌△EDB,∴BE=AC=13.
在△ABE中,AE=2AD=12,
∴AE2+AB2=122+52=169.
又∵BE2=132=169,∴AE2+AB2=BE2,
∴△ABE是直角三角形,且∠BAE=90°,即AB⊥AD.
類型3 勾股數(shù)
1.若3,4,a和5,b,13是兩組勾股數(shù),則a
6、+b的值是 17 .?
2.畢達哥拉斯學(xué)派提出了一個構(gòu)造勾股數(shù)組的公式,根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn),4=1×(3+1),12=2×(5+1),24=3×(7+1),…,分析上面規(guī)律,第5個勾股數(shù)組為 (11,60,61) .?
類型4 逆命題與逆定理
典例3 寫出下列各命題的逆命題,并判斷逆命題的真假.
(1)如果a,b都是無理數(shù),那么ab也是無理數(shù);
(2)三邊分別相等的兩個三角形全等.
【解析】(1)逆命題:如果ab是無理數(shù),那么a,b都是無理數(shù),此命題是假命題.
(2)逆命題:如
7、果兩個三角形全等,那么它們的對應(yīng)邊分別相等,此命題是真命題.
【針對訓(xùn)練】
1.下列命題:①若ba>1,則a>b;②若a+b=0,則|a|=|b|;③等邊三角形的三個內(nèi)角都相等;④底角相等的兩個等腰三角形全等.其中原命題與逆命題均為真命題的有(A)
A.1個 B.2個
C.3個 D.4個
2.說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題并證明這個逆命題是真命題.
【解析】“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題為“到線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上”.此逆命題為真命題.
已知:如圖,CA=CB.
求證:點C在線段AB的垂直平分線上.
證明:作CD⊥AB.∵∠ADC=∠BDC=90°,
在Rt△ADC和Rt△BDC中,CD=CD,AC=BC,
∴Rt△ADC≌Rt△BDC,∴AD=BD,
∴CD垂直平分AB,即點C在線段AB的垂直平分線上.
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