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1、專題訓(xùn)練(六)
[分類討論思想]
1.[2017·聊城]如圖ZT6-1是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上,如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是 ( )
圖ZT6-1
A.2個(gè) B.3個(gè)
C.4個(gè) D.5個(gè)
2.[2017·義烏]如圖ZT6-2,∠AOB=45°,點(diǎn)M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn),若使P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè),則x的值是 .?
圖ZT6-2
3.[2017·齊齊哈爾]如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=
2、10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個(gè)三角形,用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形,則這個(gè)平行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是 .?
圖ZT6-3
4.[2017·綏化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直線BC于點(diǎn)D,若AD=12BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為 .?
5.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長(zhǎng)為 .?
6.[2017·眉山]如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知A(3,0),且M1,-83是拋
3、物線上一點(diǎn).
圖ZT6-4
(1)求a,b的值;
(2)連接AC,設(shè)點(diǎn)P是y軸上任一點(diǎn),若以P,A,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)N是x軸正半軸上且在拋物線內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(不與O,A重合),過(guò)點(diǎn)N作NH∥AC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)H.設(shè)ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
7.[2017·煙臺(tái)]如圖ZT6-5①,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長(zhǎng)DC交拋物線于點(diǎn)E.
圖ZT6-5
(1)求拋物線的表達(dá)式.
(2)如圖ZT6-5②,點(diǎn)P是直線E
4、O上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線EO于點(diǎn)G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長(zhǎng)為l,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫(xiě)出m的取值范圍),并求出l的最大值.
(3)如果點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得以M,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
8.從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.
5、
圖ZT6-6
(1)如圖ZT6-6①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng).
參考答案
1.B [解析] 由圖可知,矩形的長(zhǎng)是寬的2倍,以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有2個(gè),以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的點(diǎn)P有1個(gè),∴滿足條件的有3個(gè).
2.0
6、或42-4或4
7、行四邊形較長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)是10或413或273.
4.30°或90°或150° [解析] 應(yīng)分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖①,AD=12BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°;(2)若角A不是頂角,當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí),如圖②,則在△ACD中,AD=12BC=12AC,所以頂角為30°;若三角形是鈍角三角形,如圖③,則∠ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°.
5.3或65 [解析] 由題意知,點(diǎn)P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點(diǎn)P在AD的垂直平分線上,故點(diǎn)P為BD的中點(diǎn),PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC
8、=3;
(2)如圖所示,
若DA=DP,則DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴PEDC=BPBD=15,∴PE=15CD=65.
綜上所述,PE的長(zhǎng)為3或65.
6.解:(1)由題意,得9a+3b-2=0,a+b-2=-83,
解得a=23,b=-43.
(2)由(1)得,拋物線的關(guān)系式為y=23x2-43x-2,當(dāng)x=0時(shí),y=-2,∴C(0,-2).
∵以P,A,C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,∴分三種情況:
①若AC=AP(如圖①),
由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);
9、②若CA=CP(如圖②),
∵AC=OA2+OC2=32+22=13,
∴P2(0,-2+13),P3(0,-2-13);
③若AP=PC(如圖③),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=54,
∴P40,54.
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P有4個(gè),坐標(biāo)分別為P1(0,2),P2(0,-2+13),P3(0,-2-13),P40,54.
(3)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,
∵拋物線y=23x2-43x-2的對(duì)稱軸為直線x=1,
∴D(1,0).
又∵tan∠OAC=DEDA=OCO
10、A,
∴DE2=23,
∴DE=43.
∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA,
∴DHDE=DNDA,即DH43=|t-1|2,
∴DH=23|t-1|.
分兩種情況:
①當(dāng)0
11、B=4,∴A(-3,0).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1).
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得-3a=2,
解得a=-23,
∴拋物線的解析式為y=-23x2-43x+2.
(2)∵點(diǎn)E在CD上,∴yE=2.
將y=2代入拋物線的解析式,得-23x2-43x+2=2,解得x=0或x=-2.
∴E(-2,2).
∴EC=OC=2,∴∠COE=45°.
∵PG∥y軸,
∴∠PGH=∠COE=45°.
又∵PH⊥OE,
∴PH=22PG.
設(shè)直線OE的解析式為y=kx,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入,得-2k=2,解得k=-1.
∴直線OE的解析式為y=-x.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為m,-2
12、3m2-43m+2,則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,-m).
∴PG=-23m2-43m+2+m=-23m2-13m+2.
∴l(xiāng)=22×-23m2-13m+2=-23m2-26m+2=-23m+142+49248.
∴l(xiāng)的最大值為49248.
(3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-b2a=-1.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-1,n),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).
①當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知-1+x2=0-32,解得x=-2.
將x=-2代入拋物線的解析式得y=2.
∴M(-2,2).
②當(dāng)AM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知-3+x2=-1+02,
解得x=2
13、.
將x=2代入拋物線的解析式得y=-23×4-43×2+2=-103.
∴M2,-103.
③當(dāng)AN為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),依據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知0+x2=-1+(-3)2,解得x=-4.
將x=-4代入拋物線的解析式得y=-103.
∴M-4,-103.
綜上所述,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,2)或2,-103或-4,-103.
8.解:(1)證明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,
∴△ABC不是等腰三角形,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD為等腰三角形,
∵∠DCB=∠A=40°,∠
14、CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC,
∴CD是△ABC的完美分割線.
(2)①當(dāng)AD=CD時(shí),如圖①,∠ACD=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②當(dāng)AD=AC時(shí),如圖②,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③當(dāng)AC=CD時(shí),如圖③,∠ADC=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.
∴∠ACB=96°或114°.
(3)由已知AC=AD=2,
∵△BCD∽△BAC,
∴BCBA=BDBC,設(shè)BD=x,
∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1,
∵△BCD∽△BAC,
∴CDAC=BDBC=3-12,∴CD=3-12×2=6-2.
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廣西柳州市2019年中考數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練06 分類討論思想
