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1、課時訓練(二十七) 與圓有關的計算
(限時:45分鐘)
|夯實基礎|
1.[2017·天門] 一個扇形的弧長是10π cm,面積是60π cm2,則此扇形的圓心角的度數(shù)是 ( )
A.300° B.150°
C.120° D.75°
2.120°的圓心角所對的弧長是6π,則此弧所在圓的半徑是 ( )
A.3 B.4 C.9 D.18
3.若圓內(nèi)接正三角形的邊心距為1,則這個三角形的面積為 ( )
A.23 B.33 C.43 D.63
4.[2018·淄博] 如圖K27-1,☉O的直徑AB=6,若∠BAC=50°,則劣弧AC的長為 ( )
圖K27
2、-1
A.2π B.8π3
C.3π4 D.4π3
5.[2018·涼山州] 如圖K27-2,AB與☉O相切于點C,OA=OB,☉O的直徑為6 cm,AB=63 cm,則陰影部分的面積為 ( )
圖K27-2
A.(93-π)cm2 B.(93-2π)cm2
C.(93-3π)cm2 D.(93-4π)cm2
6.[2017·溫州] 已知扇形的面積為3π,圓心角為120°,則它的半徑為 .?
7.[2018·永州] 如圖K27-3,在平面直角坐標系中,已知點A(1,1),以點O為旋轉中心,將點A逆時針旋轉到點B的位置,則弧AB的長為 .?
圖
3、K27-3
8.[2018·白銀] 如圖K27-4,分別以等邊三角形的每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段圓弧,三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形.若等邊三角形的邊長為a,則勒洛三角形的周長為 .?
圖K27-4
9.關注數(shù)學文化 [2017·岳陽] 我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)立了“割圓術”,認為圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時,周長就越接近圓的周長,由此求得了圓周率π的近似值.設半徑為r的圓內(nèi)接正n邊形的周長為L,圓的直徑為d.如圖K27-5所示,當n=6時,π≈Ld=6r2r=3,那么當n=12時,π≈Ld= .(結果精確到0.01,參考數(shù)據(jù):sin1
4、5°=cos75°≈0.259)?
圖K27-5
10.[2018·衡陽] 如圖K27-6,☉O是△ABC的外接圓,AB為直徑,∠BAC的平分線交☉O于點D,過點D作DE⊥AC,分別交AC,AB的延長線于點E,F.
(1)求證:EF是☉O的切線;
(2)若AC=4,CE=2,求BD的長.(結果保留π)
圖K27-6
11.[2018·達州] 已知,如圖K27-7,以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作☉O,分別交AB,AC于點D,E,過點D作DF⊥AC于點F.
(1)求證:DF是☉O的切線;
(2)若等邊三角形ABC的邊長為8,求由DE,DF,E
5、F圍成的陰影部分的面積.
圖K27-7
|拓展提升|
12.[2018·吉林] 如圖K27-8是由邊長為1的小正方形組成的8×4網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,點A,B,C,D均在格點上,在網(wǎng)格中將點D按下列步驟移動:
第一步,點D繞點A順時針旋轉180°得到點D1;
第二步,點D1繞點B順時針旋轉90°得到點D2;
第三步,點D2繞點C順時針旋轉90°回到點D.
(1)請用圓規(guī)畫出點D→D1→D2→D經(jīng)過的路徑;
(2)所畫圖形是 對稱圖形;?
(3)求所畫圖形的周長(結果保留π).
圖K
6、27-8
13.[2018·貴陽] 如圖K27-9,AB為☉O的直徑,且AB=4,點C在半圓上,OC⊥AB,垂足為點O,P為半圓上任意一點,過P點作PE⊥OC于點E,設△OPE的內(nèi)心為M,連接OM,PM.
(1)求∠OMP的度數(shù);
(2)當點P在半圓上從點B運動到點A時,求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長.
圖K27-9
參考答案
1.B [解析] 根據(jù)S扇形=12lr,求得半徑r=12,由弧長公式l=nπr180,得10π=nπ·12180,解得n=150.
2.C [解析] 設圓的半徑為r,根據(jù)弧長公式,得6π=120πr180,解得r=9
.
7、3.B [解析] 如圖,過點A作AD⊥BC于點D,連接OB,
則AD經(jīng)過圓心O,∠ODB=90°,OD=1.∵△ABC是等邊三角形,∴BD=CD,∠OBD=12∠ABC=30°,∴OA=OB=2OD=2,
∴AD=3,BD=3,∴BC=23,∴△ABC的面積S=12BC·AD=12×23×3=33.
4.D 5.C
6.3 [解析] 設扇形的半徑為r,由扇形的面積公式得120πr2360=3π,得r=3.
7.24π [解析] 由點A(1,1),可得OA=12+12=2,點A在第一象限的角平分線上,則∠AOB=45°,再根據(jù)弧長公式得,弧AB的長為45×2180π=24π.
8
8、.πa [解析] 每段圓弧的半徑等于a,圓心角都等于60°,由弧長公式可求出一段圓弧的長,然后再乘3即可.
9.3.11 [解析] 如圖所示,∠AOB=30°,∠AOC=15°.
在直角三角形AOC中,sin15°=ACAO=ACr=0.259,所以AC=0.259r,
AB=2AC=0.518r,L=12AB=6.216r,所以π≈Ld=6.216r2r=3.108≈3.11.
10.解:(1)證明:如圖,連接OD,交BC于點G.
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠EAB,
∴∠OAD=∠DAE,
∴∠DAE=∠ODA,
∴OD∥AE.
∵DE⊥A
9、E,
∴OD⊥EF,
∴EF是☉O的切線.
(2)∵AB為☉O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴BC∥EF.
又∵OD∥AE,
∴四邊形CEDG是平行四邊形.
∵DE⊥AE,
∴∠E=90°,
∴四邊形CEDG是矩形,
∴DG=CE=2.
∵OD⊥EF,BC∥EF,
∴OG⊥BC,
∴CG=BG.
∵OA=OB,
∴OG=12AC=2,
∴OB=OD=4,
∴∠BOD=60°,
∴BD的長=60180π×4=43π.
11.解:(1)證明:如圖,連接OD,CD.
∵BC是直徑,∴∠BDC=90°.
∵△ABC是等邊三角形,
∴點D是AB的中點.
10、
∵點O是BC的中點,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF.
∵OD是半徑,
∴DF是☉O的切線.
(2)如圖,連接OD,OE,DE.
∵同(1)可知點E是AC的中點,
∴DE是△ABC的中位線,
∴△ADE是等邊三角形.
∵等邊三角形ABC的邊長為8,
∴等邊三角形ADE的邊長為4.
∵DF⊥AC,∴EF=2,DF=23.
∴△DEF的面積=12·EF·DF=12×2×23=23.
△ADE的面積=△ODE的面積=43.
扇形ODE的面積=60×π×42360=8π3.
∴陰影部分的面積=△DEF的面積+△ODE的面積-扇形ODE的面積=23+
11、43-83π=63-8π3.
12.解:(1)點D→D1→D2→D經(jīng)過的路徑如圖所示.
(2)觀察圖形可知所畫圖形是軸對稱圖形.
(3)周長=12×2π×4+14×2π×4×2=8π.
13.解:(1)∵△OPE的內(nèi)心為M,∴∠MOP=12∠EOP,∠MPO=12∠EPO.
∵PE⊥OC,∴∠PEO=90°,∠EOP+∠EPO=90°,
∴∠MOP+∠MPO=12(∠EOP+∠EPO)=12×90°=45°,
∴∠OMP=180°-45°=135°.
(2)如圖所示,連接CM.∵OM=OM,∠COM=∠POM,CO=PO,∴△COM≌△POM.∴∠CMO=∠PMO=135°
12、.
∴點M在以OC為弦,并且所對的圓周角為135°的兩段圓弧上.
設劣弧CMO所在圓的圓心為O1,∵∠CMO=135°,
∴弦CO所對的劣弧的圓周角為45°,∴∠CO1O=90°,
在Rt△CO1O中,CO1=sin45°×OC=22×2=2.
當點P在半圓上從點B運動到點C時,內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑為☉O1的劣弧OC.
∴劣弧OC的長=90×π×2180=22π.
同理,當點P在半圓上從點C運動到點A時,內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑為☉O2對應的劣弧OC.
與☉O1的劣弧OC的長度相等.
因此,當點P在半圓上從點B運動到點A時,內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為22π+22π=2π.
10
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