2021-2022年二年級數學 奧數講座 找規(guī)律（二）

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1、2021-2022年二年級數學 奧數講座 找規(guī)律（二） 　　例1 仔細觀察下面的圖形，找出變化規(guī)律，猜猜在第3組的右框空白格內填一個什么樣的圖？ 　　解：仔細觀察圖7—1，可知： 　　第1組左邊是個大菱形，右邊是個小菱形。 　　第2組左邊是個大三角形，右邊是個小三角形。 　　其規(guī)律是：每組中左右兩邊圖形的形狀相同，大小不同。都是左邊的圖形大，右邊的圖形小。 　　猜出答案：第3組中右邊空白格內應填個小長方形。（如圖7—3）。 　　仔細觀察圖7—2可知： 　　第1組左邊是個圓，而且左半圓涂有陰影線。右邊是左邊的陰影半圓順時針旋轉后放置的。 　　第2組左邊是個等腰三角形，而

2、且左半部（直角三角形）涂有陰影線，右邊是左邊陰影直角三角形順時針旋轉后放置的。 　　其規(guī)律是：每組的右邊格內的圖形都是左邊圖形左邊的一半，順時針旋轉放置后成為右邊圖形。 　　猜出答案：第3組中右框內應填個陰影小長方形。如圖7—4示。 　　例2 按順序仔細觀察圖7—5、7—6的形狀，猜一猜第3組的“？”處應填什么圖？ 　　解：圖7—5的？處應填○▲。注意觀察第1組和第2組，每組都是由三對小圖形組成；而每對小圖形都是由一個“空白”的和一個“黑色”的小圖形組成；而且它倆的排列順序都是“空白”的在左邊，“黑色”的在右邊。 　　再按著第1、第2、第3組的順序觀察下去，可發(fā)現每對小圖形在

3、各組中的位置的變化規(guī)律：它們都在向左移動，當一對小圖形移動到最左邊后，下一步它就回到了最右邊。按這個移動規(guī)律，可知圖7—5中第3組“？”處應填：○▲。 　　圖7—6的？處應填□△0。仔細觀察可發(fā)現第1組和第2組中間的部分都是由三個小圖形構成的。構成的規(guī)律是：當你按照第1、第2、第3組的順序觀察時，6個小圖形都在向左移動，而且移動的同時又在重新分組和組合，但排列順序保持不變，當某一個小圖形移動到了最左邊時，下一步它就回到了最右邊。按這個規(guī)律可知圖7—6中第3組中間“？”處是：□△0。 　　例3 觀察圖7—7的變化，請先回答：在方框（4）中應畫出怎樣的圖形？ 　　再答按（1）、（2）、（3）

4、、……的順序數下去，第（10）個方框中是怎樣的圖形？ 　　解：先按（1）、（2）、（3）、……的順序仔細觀察，可發(fā)現： 　　方框中的箭頭是按逆時針方向旋轉的；方框中的其他小圖形，如△、□和○也都是按逆時針方向旋轉的。 　　也就是說，方框連同內部的所有小圖形作為一個整體在按逆時針方向旋轉。 　　因此，方框（4）中的小圖形應畫成圖7—8狀。再按已找到的規(guī)律，進一步可發(fā)現圖形的變化是有“周期性”的，也就是說，每過4個方框后，同樣的圖形又重新出現一次。如，你可看到第（1）和第（5）是完全一樣的；因此，你可以想像得到，第（2）和第（6）及第（10）個圖形應當是完全一樣的。即第（10）

5、個方框中的圖形應是圖7—9所示的樣子。 　　例4 觀察圖7—10的變化，請先回答： 　　第（4）、（8）個圖中，黑點在什么地方？ 　　第（10）、（18）個圖中，黑點在什么地方？ 　　解：（1）按圖7—10中（1）、（2）、（3）、……的順序仔細觀察，可發(fā)現黑點位置的變化規(guī)律： 　　在（1）中，黑點在最上面第一條橫線上； 　　在（2）中，黑點下降了一格，在上面第二條橫線上； 　　在（3）中，黑點又下降了一格，在中間一條線上了。 　　按黑點位置的這種變化可推測出： 　　在（4）中，黑點又下降一格，它的位置應如圖7—11所示。 　　繼續(xù)觀察下去： 　　在（5）中，黑點

6、下降到最下面的一條橫線上； 　　在（6）中，黑點開始往上升一格； 　　在（7）中，黑點再上升一格，按著黑點位置的這種變化可推測出： 　　在（8）中，黑點又上升一格，它的位置應如圖7—12所示。 　?。?）進一步仔細觀察圖7—10（1）～（9），可發(fā)現黑點位置變化的“周期性”規(guī)律：也就是說，每隔8個小圖，黑點又回到原來的位置。 　　因為2+8=10，2+8+8=18。 　　所以第（10）、（18）個小圖中，黑點的位置應與第（2）個小圖相同，見圖7—13所示。 附送： 2021-2022年二年級數學 奧數講座 數數與計數（二） 　　例1 數一數，圖3－1中共有多少點？

7、 　　解：（1）方法1：如圖3－2所示從上往下一層一層數： 　　第一層 1個 　　第二層 2個 　　第三層 3個 　　第四層 4個 　　第五層 5個 　　第六層 6個 　　第七層 7個 　　第八層 8個 　　第九層 9個 　　第十層 10個 　　第十一層 9個 　　第十二層 8個 　　第十三層 7個 　　第十四層 6個 　　第十五層 5個 　　第十六層 4個 　　第十七層 3個 　　第十八層 2個 　　第十九層 1個 　　總數1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+

8、9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1） 　　=55+45=100（利用已學過的知識計算）。 　?。?）方法2：如圖3－3所示：從上往下，沿折線數 　　第一層 1個 　　第二層 3個 　　第三層 5個 　　第四層 7個 　　第五層 9個 　　第六層 11個 　　第七層 13個 　　第八層 15個 　　第九層 17個 　　第十層 19個 　　總數：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已學過的知識計算）。 　　（3）方法3：把點群的整體轉個角度，成為如圖3－4所示的樣子，變成為10行10列的點陣。顯然點的總數為10×10=100（

9、個）。 　　想一想： 　?、贁禂蹬c計數，有時有不同的方法，需要多動腦筋。 　?、谟煞椒?和方法3得出下式： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 　　即等號左邊這樣的一串數之和等于中間數的自乘積。由此我們猜想： 　　1=1×1 　　1+2+1=2×2 　　1+2+3+2+1=3×3 　　1+2+3+4+3+2+1=4×4 　　1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5 　　1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6 　　1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7 　　1+2+3+4+5

10、+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10 　　這樣的等式還可以一直寫下去，能寫出很多很多。 　　同學們可以自己檢驗一下，看是否正確，如果正確我們就發(fā)現了一條規(guī)律。 　?、塾煞椒?和方法3也可以得出下式： 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10。 　　即從1開始的連續(xù)奇數的和等于奇數個數的自乘積。由此我們猜想： 　　1+3=2×2 　　1+3+5=3×3 　　1+3+5+

11、7=4×4 　　1+3+5+7+9=5×5 　　1+3+5+7+9+11=6×6 　　1+3+5+7+9+11+13=7×7 　　1+3+5+7+9+11+13+15=8×8 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10 　　還可往下一直寫下去，同學們自己檢驗一下，看是否正確，如果正確，我們就又發(fā)現了一條規(guī)律。 　　例2 數一數，圖3－5中有多少條線段？ 　　解：（1）我們已知，兩點間的直線部分是一條線段。以A點為共同端點的線段有： 　　AB AC AD AE AF 5條。 　　以B點為共同左

12、端點的線段有： 　　BC BD BE BF 4條。 　　以C點為共同左端點的線段有： 　　CD CE CF 3條。 　　以D點為共同左端點的線段有： 　　DE DF 2條。 　　以E點為共同左端點的線段有： 　　EF1條。 　　總數5+4+3+2+1=15條。 　?。?）用圖示法更為直觀明了。見圖3－6。 　　總數5+4+3+2+1=15（條）。 　　想一想：①由例2可知，一條大線段上有六個點，就有：總數=5+4+3+2+1條線段。由此猜想如下規(guī)律（見圖3－7）： 　　還可以一直做下去?？傊?，線段總條線是從1開始的一串連續(xù)自然數之和，其中最大的自然數比總數小1。

13、我們又發(fā)現了一條規(guī)律。它說明了點數與線段總數之間的關系。 　?、谏厦娴氖聦嵰部梢赃@樣說：如果把相鄰兩點間的線段叫做基本線段，那么一條大線段上的基本線段數和線段總條數之間的關系是： 　　線段總條數是從1開始的一串連續(xù)自然數之和，其中最大的自然數等于基本線段的條數（見圖3－8）。基本線段數 線段總條數 　　還可以一直寫下去，同學們可以自己試試看。 　　例3 數一數，圖3－9中共有多少個銳角？ 　　解：（1）我們知道，圖中任意兩條從O點發(fā)出的射線都組成一個銳角。 　　所以，以OA邊為公共邊的銳角有： 　　∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE， 　　∠AOF共5個。 　　

14、以OB邊為公共邊的銳角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4個。 　　以OC邊為公共邊的銳角有：∠COD，∠COE，∠COF共3個。以OD邊為公共邊的銳角有：∠DOE，∠DOF共2個。以OE邊為一邊的銳角有：∠EOF只1個。 　　銳角總數5+4+3+2+1＝15（個）。 　?、谟脠D示法更為直觀明了：如圖3－10所示，銳角總數為：5+4+3+2+1=15（個）。 　 　　想一想：①由例3可知：由一點發(fā)出的六條射線，組成的銳角的總數=5+4+3+2+1（個），由此猜想出如下規(guī)律：（見圖3－11～15） 　　兩條射線1個角（見圖3－11） 　　三條射線2+1個角（見圖3－1

15、2） 　　四條射線3+2+1個角（見圖3－13） 　　五條射線4+3+2+1個角（見圖3－14） 　　六條射線5+4+3+2+1個角（見圖3－15） 　　總之，角的總數是從1開始的一串連續(xù)自然數之和，其中最大的自然數比射線數小1。 　　②同樣，也可以這樣想：如果把相鄰兩條射線構成的角叫做基本角，那么有共同頂點的基本角和角的總數之間的關系是： 　　角的總數是從1開始的一串連續(xù)自然數之和，其中最大的自然數等于基本角個數。 　　③注意，例2和例3的情況極其相似。雖然例2是關于線段的，例3是關于角的，但求總數時，它們有同樣的數學表達式。同學們可以看出，一個數學式子可以表達表面上完全不同的事物中的數量關系，這就是數學的魔力。