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1、
提分專練(四) 二次函數(shù)小綜合
|類型1| 二次函數(shù)與方程(不等式)的綜合
1.[2019·湖州]已知拋物線y=2x2-4x+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求c的取值范圍;
(2)若拋物線y=2x2-4x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(3,n),試比較m與n的大小,并說(shuō)明理由.
|類型2| 二次函數(shù)與直線的綜合
2.[2018·蘇州]如圖T4-1,已知拋物線y=x2-4與x軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)),C為頂點(diǎn).直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)D.
(1)求線段AD的長(zhǎng);
(2)平移該拋物線得到一條新拋物線,設(shè)新拋物
2、線的頂點(diǎn)為C'.若新拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,并且新拋物線的頂點(diǎn)和原拋物線的頂點(diǎn)的連線CC'平行于直線AD,求新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
圖T4-1
|類型3| 二次函數(shù)與幾何圖形的綜合
3.[2019·長(zhǎng)沙中考適應(yīng)性考試一]如圖T4-2,在平面直角坐標(biāo)系中有一直角三角形AOB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=1,tan∠BAO=3,將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DOC,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為t,設(shè)拋物線對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)E,連接PE,交CD于點(diǎn)F,求以C,E,F為
3、頂點(diǎn)的三角形與△COD相似時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
圖T4-2
4.[2019·連云港節(jié)選]如圖T4-3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線L1:y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)C(0,-3),與拋物線L2:y=-12x2-32x+2的一個(gè)交點(diǎn)為A,且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)P,Q分別是拋物線L1,L2上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)若以點(diǎn)A,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
圖T4-3
5.[2019·長(zhǎng)沙一模]如圖T4-4,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=12x-
4、1與拋物線y=-512x2+bx+c相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-6,點(diǎn)P是拋物線上位于直線AB上方的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)連接PA,PB,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在某一位置,使得△PAB恰好是一個(gè)以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)過(guò)點(diǎn)P作PD∥y軸交直線AB于點(diǎn)D,以PD為直徑的圓與直線AB相交于點(diǎn)G,求DG的最大值.
圖T4-4
【參考答案】
1.解:(1)∵拋物線y=2x2-4x+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
∴方程2x2-4
5、x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴Δ=(-4)2-4×2×c>0,
解得c<2.
(2)m0,拋物線開(kāi)口向上,
∴在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而增大.
∵2<3,
∴m
6、=x2+bx+2=x+b22+2-b24.
∵直線CC'平行于直線AD,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,-4),
∴直線CC'的函數(shù)表達(dá)式為y=x-4.
∴2-b24=-b2-4,整理得b2-2b-24=0,
解得b1=-4,b2=6.
∴新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-4x+2或y=x2+6x+2.
3.解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=OBOA=3,∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1.
∴點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(1,0),(0,3),(-3,0),代入拋物線解析
7、式,
得a+b+c=0,9a-3b+c=0,c=3,解得a=-1,b=-2,c=3,
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.
(2)由(1)得拋物線的解析式為y=-x2-2x+3,∴對(duì)稱軸l為直線x=-b2a=-1,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1,0).
①當(dāng)∠CEF=90°時(shí),△CEF∽△COD,此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上,即點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn),P(-1,4).
②當(dāng)∠CFE=90°時(shí),△CFE∽△COD,過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M,如圖,易得△EFC∽△EMP,
∴EMMP=EFCF=ODCO=13,∴MP=3ME.
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,∴P(t,-t2-2t+3).
∵點(diǎn)P在第二象
8、限,∴PM=-t2-2t+3,ME=-1-t,∴-t2-2t+3=3(-1-t),
解得t1=-2,t2=3(與點(diǎn)P在第二象限,橫坐標(biāo)小于0矛盾,舍去),∴t=-2.
當(dāng)t=-2時(shí),y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,
∴P(-2,3),
∴當(dāng)以C,E,F為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,4)或(-2,3).
4.[解析](1)先求出點(diǎn)A的坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出拋物線L1的函數(shù)解析式即可;
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-2t-3),分兩種情況討論:AC為平行四邊形的一條邊,AC為平行四邊形的一條對(duì)角線.用t表示出Q點(diǎn)坐標(biāo),再把Q點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線L2:y=-
9、12x2-32x+2中,列出方程求解即可.
解:(1)將x=2代入y=-12x2-32x+2,得y=-3,故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,-3).
將A(2,-3),C(0,-3)代入y=x2+bx+c,
得-3=22+2b+c,-3=c,解得b=-2,c=-3,
∴拋物線L1對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=x2-2x-3.
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t2-2t-3).
第一種情況:AC為平行四邊形的一條邊.
①當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P右側(cè)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t+2,t2-2t-3),
將Q(t+2,t2-2t-3)代入y=-12x2-32x+2,得t2-2t-3=-12(t+2)2-32(t+2)+2,
解得
10、t=0或t=-1.
因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,不符合題意,所以舍去t=0,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0).
②當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)P左側(cè)時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t-2,t2-2t-3),
將Q(t-2,t2-2t-3)代入y=-12x2-32x+2,得t2-2t-3=-12(t-2)2-32(t-2)+2,
解得t=3或t=-43,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或-43,139.
第二種情況:當(dāng)AC為平行四邊形的一條對(duì)角線時(shí),
由AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2-t,-t2+2t-3),
將Q(2-t,-t2+2t-3)代入y=-12x
11、2-32x+2,得-t2+2t-3=-12(2-t)2-32(2-t)+2,
解得t=0或t=-3,
因?yàn)楫?dāng)t=0時(shí),點(diǎn)P與點(diǎn)C重合,不符合題意,所以舍去t=0,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,12).
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,0)或(3,0)或-43,139或(-3,12).
5.解:(1)在y=12x-1中,當(dāng)y=0時(shí),x=2,
∴A(2,0),當(dāng)x=-6時(shí),y=-4,∴B(-6,-4).
將A(2,0),B(-6,-4)代入y=-512x2+bx+c,
得-512×22+2b+c=0,-512×(-6)2-6b+c=-4,
解得b=-76,c=4,
∴該拋物線的解析式
12、為y=-512x2-76x+4①.
(2)存在.設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)C,則C(0,-1),∴AC=5.
如圖①所示,作線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F、交AB于點(diǎn)E.
由點(diǎn)A,B的坐標(biāo)得,點(diǎn)E(-2,-2),則AE=(-2-2)2+(-2)2=25.
由△OAC∽△EAF,得AOAE=ACAF,即225=5AF,則AF=5,故點(diǎn)F(-3,0).
由點(diǎn)E(-2,-2),F(-3,0)得直線EF的解析式為y=-2x-6②.
聯(lián)立①②并解得:x=-4或6(舍去x=6),故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,2).
∵PE=(-4+2)2+(2+2)2=25,
∴AE=PE=BE,
∴∠PAB=∠PBA=45°,
∴△BPA為等腰直角三角形,∴存在滿足條件的點(diǎn)P,坐標(biāo)為(-4,2).
(3)連接PG,如圖②所示,∵PD為直徑,
∴∠PGD=90°,即PG⊥AC.
∠OAC=90°-∠PDC=∠DPG,在Rt△AOC中,sin∠OAC=15=sin∠DPG,則GD=PD·sin∠DPG,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x,-512x2-76x+4,則點(diǎn)Dx,12x-1,GD=PD·sin∠DPG=15-512x2-76x+4-12x+1,
當(dāng)x=-2時(shí),GD最大,最大值為453.
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（湖南專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練04 二次函數(shù)小綜合
