文檔：圓錐曲線(xiàn)教案 雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案

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1、 第二章? 圓錐曲線(xiàn)教案 雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 ? 教學(xué)目標(biāo) 1．通過(guò)教學(xué)，使學(xué)生熟記雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，理解雙曲線(xiàn)的定義，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過(guò)程． 2．在與橢圓的類(lèi)比中獲得雙曲線(xiàn)的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)合情猜測(cè)，進(jìn)一步提高分析、歸納、推理的能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，獨(dú)立思考、勇于探索精神及實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其探索推導(dǎo)過(guò)程是本課的重點(diǎn)．定義中的“差的絕對(duì)值〞，a與c的關(guān)系的理解是難點(diǎn)． 教學(xué)過(guò)程 師：橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ (學(xué)生口述橢

2、圓的兩個(gè)定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，教師利用投影儀把橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和圖象放出來(lái)．) 師：橢圓的兩個(gè)定義雖然都是由軌跡的問(wèn)題引出來(lái)的，但所采用的方法是不同的．定義二是在認(rèn)識(shí)上已經(jīng)把橢圓和方程統(tǒng)一起來(lái)，在掌握了坐標(biāo)法根底上利用坐標(biāo)方法建立軌跡方程．這是通過(guò)方程去認(rèn)識(shí)軌跡曲線(xiàn)．定義中設(shè)定的常數(shù)2a，|F1F2|=2c，它們之間的變化對(duì)橢圓有什么影響？ 生：當(dāng)a=c時(shí)，相應(yīng)的軌跡是線(xiàn)段F1F2．當(dāng)a＜c時(shí)，軌跡不存在．這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中邊與邊之間的關(guān)系． 師：如果把橢圓定義中的“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和〞改寫(xiě)為“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差〞，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它

3、的方程又是怎樣的呢？ (師生共同做一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們把準(zhǔn)備好的實(shí)驗(yàn)用具拿出來(lái)，一起做實(shí)驗(yàn)．教師把教具掛在黑板上，同時(shí)板書(shū)：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之差為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線(xiàn)？邊畫(huà)、邊操作、邊說(shuō)明．) 師：做法是：適中選取兩定點(diǎn)F1、F2，將拉鎖拉開(kāi)一段，其中一邊的端點(diǎn)固定在F1處，在另一邊上截取一段AF2(＜F1F2)，作為動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1和F2距離之差．而后把它固定在F2處．這時(shí)將鉛筆(粉筆)置于P處，于是隨著拉鎖的逐漸翻開(kāi)鉛筆就徐徐畫(huà)出一條曲線(xiàn)；同理可畫(huà)出另一支．如圖2-36． 師：通過(guò)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，你們發(fā)現(xiàn)了什么？ 生：所畫(huà)的曲線(xiàn)不是橢圓，是兩條相同的曲線(xiàn)，只

4、是位置不同．其原因都是應(yīng)用“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常數(shù)的條件畫(huà)圖的． 師：所畫(huà)出圖象與橢圓完全不同，能說(shuō)出屬于哪一類(lèi)曲線(xiàn)嗎？ 生：屬于雙曲型曲線(xiàn)． 師：很好！我們把這類(lèi)曲線(xiàn)就叫做雙曲線(xiàn)．我們思考以下幾個(gè)問(wèn)題： 1．|MF1|和|MF2|哪個(gè)大？ 生：不一定．當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)右支時(shí)，有|MF1|＞|MF2|，當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)左支時(shí)，|MF1|＜|MF2|． 師：2．點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2距離之差是否就應(yīng)是|MF1|-|MF2|？ 生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|． 師：如何表示這兩種情況？ 生：假設(shè)要同時(shí)表示這兩種情

5、況，正確的表示是應(yīng)||MF1|-|MF2||．無(wú)論哪種情況總是成立的． 師：3．點(diǎn)M與點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值與|F1F2|的大小關(guān)系怎樣？ 生：由三角形的兩邊之差小于第三邊可知，應(yīng)是小于|F1F2|．否那么作不出圖形． 在上述討論的根底上，引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線(xiàn)的定義，教師板書(shū)課題． (學(xué)生試表達(dá)，教師協(xié)助完成．) 一、雙曲線(xiàn)的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)2a(a＞0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線(xiàn)．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，這兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做焦距，記作2c(c＞0)． 通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖，得到了雙曲線(xiàn)定義，同時(shí)進(jìn)一步讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)

6、中觀(guān)察定義中兩個(gè)常數(shù)間大小關(guān)系對(duì)于動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的影響．激發(fā)學(xué)生探求知識(shí)的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知的渴望．師生共同歸納： 師：由定義知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，請(qǐng)大家討論以下幾個(gè)問(wèn)題： (1)當(dāng)0＜a＜c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？ 學(xué)生略思考一下，答復(fù)出是雙曲線(xiàn)． (2)當(dāng)a=c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？ 分析? 假設(shè)a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如圖2-37所示： 可以看出，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是分別以點(diǎn)F1、F2為端點(diǎn)，方向指向F1F2外側(cè)的兩條射線(xiàn)． (3)當(dāng)a＞c＞0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么？ 由前面歸納動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存

7、在．這是因?yàn)閍、c的關(guān)系違背了三角形中兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)． 二、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 師：現(xiàn)在來(lái)研究雙曲線(xiàn)的方程．我們可以參照求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線(xiàn)的方程．首先建立直角坐標(biāo)系，即以?xún)啥c(diǎn)連線(xiàn)為x軸，兩定點(diǎn)的垂直平分線(xiàn)為y軸．然后，觀(guān)察雙曲線(xiàn)的特征，猜測(cè)雙曲線(xiàn)方程的結(jié)構(gòu)與橢圓方程的結(jié)構(gòu)是否有類(lèi)似之處？(如圖2-38) 當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到x軸上點(diǎn)A1、A2時(shí)，如何求點(diǎn)A1、A2的坐標(biāo)？ 生：點(diǎn)A1、A2是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a． 所以點(diǎn)A1和A2的坐標(biāo)分別是(-a，0

8、)和(a，0)． 師：請(qǐng)同學(xué)們對(duì)照橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過(guò)程導(dǎo)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 生：1．建立直角坐標(biāo)系． 2．設(shè)雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x、y)，|F1F2|=2c，并設(shè)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)． 3．由兩點(diǎn)間距離公式，得 4．由雙曲線(xiàn)定義，得 |MF1|-|MF2|=±2a，即 5．化簡(jiǎn)方程 兩邊平方，得 化簡(jiǎn)得： 兩邊再平方，整理得 (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)． (為使方程簡(jiǎn)化，更為對(duì)稱(chēng)和諧起見(jiàn)．) 由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得 b2x

9、2-a2y2＝a2b2， 也就是 師：利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)類(lèi)比地推導(dǎo)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，它同樣具有方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱(chēng)，具有和諧美的特點(diǎn)，便于我們今后研究雙曲線(xiàn)的有關(guān)性質(zhì)．這一簡(jiǎn)化的方程稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 結(jié)合圖形再一次理解方程中a＞b＞0的條件是不可缺少的．b的選取不僅使方程得到了簡(jiǎn)化、和諧，也有實(shí)際的幾何意義．具有c2=a2+b2與橢圓中a2=b2+c2的不同之處． 師：與橢圓方程一樣，如果雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，這時(shí)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程形式又怎樣呢？我們可以從所畫(huà)的圖形上觀(guān)察，比照來(lái)看一看互相間的轉(zhuǎn)化．(圖2-39、圖2-40)

10、 生：從圖形的對(duì)稱(chēng)來(lái)看，只要交換一下x軸、y軸的名稱(chēng)，然后逆時(shí)針?lè)D(zhuǎn)90°使之y軸向上、下，x軸水平放置即可得到焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)． 師：從方程上來(lái)分析，只要將方程(1)的x、y互換就可以得到它的方程 此方程也是雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 師：如何記憶這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程？ 生：雙曲線(xiàn)的方程右邊為1，左邊是兩個(gè)完全平方項(xiàng)，符號(hào)一正一負(fù)，為正的項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為實(shí)軸，焦點(diǎn)在該軸上，且分母為a2．負(fù)項(xiàng)相應(yīng)的坐標(biāo)軸為虛軸，且分母為b2． 師：用一句話(huà)概括“以正負(fù)定實(shí)虛〞． 三、舉例 例1? 兩點(diǎn)F1(-4，0)和F2(4，0)，曲線(xiàn)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為6，求曲線(xiàn)方程．

11、 解? 由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知c=4，2a=6， 所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7． 所以，所求的雙曲線(xiàn)方程為 例2? 求滿(mǎn)足以下條件的雙曲線(xiàn)方程 1．假設(shè)a=4，b=3，焦點(diǎn)在x軸上； 解? (1)因?yàn)閍=4，b=3，并且焦點(diǎn)在x軸上， 所以所求的雙曲線(xiàn)方程為 (2)由題意設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 所以代入雙曲線(xiàn)方程得 所以 b2=16， 所以所求的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 例1和例2可由學(xué)生自行解答，黑板上板演，并對(duì)照檢查對(duì)錯(cuò)． 四、小結(jié)(師生共同參與完成) 1．知識(shí)方面 雙曲線(xiàn)的定義和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；方程中的3個(gè)常數(shù)a、b、c間的關(guān)

12、系：c2=a2+b2． 理解“以正負(fù)定實(shí)虛〞的意義，會(huì)確定實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)所在位置，會(huì)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程． 2．在教學(xué)中體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美，幾何圖形的對(duì)稱(chēng)美． 五、作業(yè)：第89頁(yè)習(xí)題七1，2． 六、課后思考題 2．結(jié)合圖形的演示，試討論||MF1|-|MF2||=2a，在2a趨近于零的過(guò)程中雙曲線(xiàn)的變化趨勢(shì)． 設(shè)計(jì)說(shuō)明 1．關(guān)于教學(xué)目標(biāo) (1)由于雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程是本章的重點(diǎn)之一，因而作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)之一． (2)MM教育方式的根本要求，其課堂教學(xué)要師生共同參與．每個(gè)環(huán)節(jié)都應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的時(shí)機(jī)．運(yùn)用教具的演示，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)教學(xué)

13、的直觀(guān)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、比擬、分析、抽象、歸納及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的運(yùn)用能力．對(duì)全面提高學(xué)生素質(zhì)起著十分重要作用，待此制定了教學(xué)目標(biāo)2和3． 2．關(guān)于教學(xué)重點(diǎn) 為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，把充分展現(xiàn)雙曲線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過(guò)程和知識(shí)形成過(guò)程作為本節(jié)課的重點(diǎn)． 3．關(guān)于教學(xué)方法 按照MM教育方式“學(xué)習(xí)、教學(xué)、研究同步協(xié)調(diào)原那么〞和“二主方針〞，在教學(xué)中充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用．運(yùn)用問(wèn)題性，給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境，一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的時(shí)機(jī)，使學(xué)生在開(kāi)放、民主、愉悅和諧的教學(xué)氣氛中獲取新知識(shí)，提高能力，促進(jìn)思維開(kāi)展．因此，采用討論式、啟發(fā)式的教學(xué)方法． 4．關(guān)于教學(xué)

14、過(guò)程 (1)利用學(xué)生已清楚的知識(shí)，轉(zhuǎn)換條件提出問(wèn)題，通過(guò)自己動(dòng)手和聯(lián)想，為類(lèi)比地探索雙曲線(xiàn)的定義奠定根底，最后推出雙曲線(xiàn)的定義． (2)在雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，揭示科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律，巧妙地把學(xué)生從舊知識(shí)引向新知識(shí)，使知識(shí)過(guò)渡那么自然，學(xué)生學(xué)起來(lái)不感到困難．表達(dá)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力、邏輯思維能力、科學(xué)思維方式、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度及勇于探索的精神． (3)例題比擬簡(jiǎn)單，由學(xué)生自行解答，同時(shí)由學(xué)生板演，在解題過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生合理地思考問(wèn)題，清楚地表達(dá)思想和有條不紊的學(xué)習(xí)習(xí)慣．同時(shí)隨時(shí)注意糾正學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的偏差． (4)以學(xué)生為主，教師協(xié)助的方式進(jìn)行本節(jié)課的小結(jié)，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性，提高學(xué)生分析、概括、綜合、抽象能力，注意把學(xué)生本節(jié)課所學(xué)到的新知識(shí)納入學(xué)生已有知識(shí)體系中，使學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何內(nèi)容形成一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生掌握解析幾何的學(xué)習(xí)是大有益處的．