2013年高考數(shù)學總復習 8-7圓錐曲線的綜合問題 理 新人教B版

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1、 8-7圓錐曲線的綜合問題(理) 基礎鞏固強化 1.(2012·濰坊教學質量監(jiān)測)橢圓＋＝1的離心率為e，點(1，e)是圓x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一條弦的中點，則此弦所在直線的方程是(　　) A．3x＋2y－4＝0　　　　　 B．4x＋6y－7＝0 C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0 [答案]　B [解析]　依題意得e＝，圓心坐標為(2,2)，圓心(2,2)與點(1，)的連線的斜率為＝，則所求直線的斜率等于－，所以所求直線方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，選B. 2．(2012·大連部分中學聯(lián)考)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且

2、斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的標準方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 [答案]　B [解析]　令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為拋物線的焦點F(，0)，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，將其代入y2＝2px＝2p(y＋)＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1，故選B. 3．(2011·長安一中、高新一中、交大附中、師大附中、西安中學一模)已知雙曲線x2－＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上

3、一點，則·的最小值為(　　) A．－2 B．－ C．1 D．0 [答案]　A [解析]　由已知得A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)．設P(x，y)(x≥1)，則·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，則f(x)在x≥1上單調遞增，所以當x＝1時，函數(shù)f(x)取最小值，即·取最小值，最小值為－2. 4．(2011·大綱全國理，10)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A、B兩點，則cos∠AFB＝(　　) A. B. C．－ D．－ [答案]　D [解析]　方法一：聯(lián)立 解得或不妨設A在x軸上

4、方， ∴A(4,4)，B(1，－2)， ∵F點坐標為(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)， cos∠AFB＝＝＝－. 方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2， 由余弦定理知， cos∠AFB＝＝－. 5．設F是拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點，點A是拋物線C1與雙曲線C2：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的一個公共點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B. C. D. [答案]　D [解析]　由題意可知，拋物線C1的焦點為F(，0)，因為AF⊥x軸，則A(，±p)，不妨取A(，p)，

5、則雙曲線C2的漸近線的斜率為＝，∴＝2， ∴＝4，∴e2＝5，∴e＝. 6．(2011·海南一模)若AB是過橢圓＋＝1(a>b>0)中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM、BM與兩坐標軸均不平行，kAM、kBM分別表示直線AM、BM的斜率，則kAM·kBM＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ [答案]　B [解析]　解法一(直接法)：設A(x1，y1)，M(x0，y0)，則B(－x1，－y1)， kAM·kBM＝·＝ ＝＝－. 解法二(特殊值法)：因為四個選項為確定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－. 7．(2012·安

6、徽文，14)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點．若|AF|＝3，則|BF|＝________. [答案]　 [解析]　本題考查拋物線定義、直線與拋物線的位置關系． 解法1：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及拋物線定義可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,2)，則直線AF斜率為k＝＝2， 所以AB方程為y＝2(x－1)， 由聯(lián)立消去y得，2x2－5x＋2＝0， 解之得x1＝2，x2＝，∴B(，－)， 所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝. 解法2：如圖，l為拋物線的準線， AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，BM⊥AA1于M，交FO于N，

7、 則由△BFN△BAM得， ＝，∴|BF|＝. 8．設直線l：y＝2x＋2，若l與橢圓x2＋＝1的交點為A、B，點P為橢圓上的動點，則使△PAB的面積為－1的點P的個數(shù)為________． [答案]　3 [解析]　設與l平行且與橢圓相切的直線方程為y＝2x＋b，代入x2＋＝1中消去y得，8x2＋4bx＋b2－4＝0， 由Δ＝16b2－32(b2－4)＝0得，b＝±2， 顯見y＝2x＋2與兩軸交點為橢圓的兩頂點A(－1,0)，B(0,2)， ∵直線y＝2x＋2與l距離d＝， ∴欲使S△ABP＝|AB|·h＝h＝－1，須使h＝，∵d＝h，∴直線y＝2x＋2與橢圓切點，及y＝2x＋4

8、－2與橢圓交點均滿足，∴這樣的點P有3個． 9．已知F是橢圓＋＝1(a>0，b>0)的左焦點，若橢圓上存在點P，使得直線PF與圓x2＋y2＝b2相切，當直線PF的傾斜角為時，此橢圓的離心率是________． [答案]　 [解析]　解法1：設直線PF與圓x2＋y2＝b2的切點為M，則依題意得OM⊥MF，∵直線PF的傾斜角為， ∴∠OFP＝，∴sin＝＝，橢圓的離心率e＝＝＝＝＝. 解法2：依題意可知PF：y＝－(x＋c)(c＝)， 又O到PF的距離為b，即＝b，∴＝b2＝a2－c2， ∴4a2＝7c2，∴e＝＝. 10．(2012·昆明一中測試)過拋物線C：x2＝2py(p>0

9、)的焦點F作直線l與拋物線C交于A、B兩點，當點A的縱坐標為1時，|AF|＝2. (1)求拋物線C的方程； (2)若直線l的斜率為2，問拋物線C上是否存在一點M，使得MA⊥MB，并說明理由． [解析]　(1)由拋物線的定義得|AF|等于點A到準線y＝－的距離， ∴1＋＝2，∴p＝2， ∴拋物線C的方程為x2＝4y. (2)拋物線C的焦點為F(0,1)，直線l的方程y＝2x＋1， 設點A、B、M的坐標分別為(x1，)、(x2，)、(x0，)， 由方程組消去y得，x2＝4(2x＋1)， 即x2－8x－4＝0， 由韋達定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4. ∵MA⊥MB，∴

10、·＝0， ∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0， ∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0. ∵M不與A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0， ∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0， ∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0. ∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即拋物線C上存在一點M，使得MA⊥MB. 能力拓展提升 11.(2011·新課標全國文，9)已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點，|AB|＝12，P為C的準線上一點，則△

11、ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 [答案]　C [解析]　設拋物線為y2＝2px，則焦點F，準線x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到準線距離為6，所以三角形面積為S＝×12×6＝36. 12．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左右焦點分別為F1、F2，P為右支上一點，點Q滿足＝λ1(λ1>0)且||＝2a，＝λ2，·＝0，則|OT|的值為(　　) A．4a B．2a C．a(chǎn) D. [答案]　C [解析]　由題知Q、F1、P三點共線，F(xiàn)2、T、Q三點共線．∵|PF1|－|PF2|＝2a＝|F1Q|，∴|PQ|＝|PF

12、2|，又PT⊥QF2，∴T為等腰三角形QPF2底邊QF2的中點，連接OT，則OT為△F1QF2的中位線，所以|OT|＝a. 13．(2011·海南五校聯(lián)考)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線與y軸的交點為M，N為拋物線上的一點，且|NF|＝|MN|，則∠NMF＝________. [答案]　30° [解析]　作NH垂直于準線于H，由拋物線的定義得 |NH|＝|NF|， ∴＝＝＝sin∠HMN， 得∠HMN＝60°， ∴∠NMF＝90°－60°＝30°. 14．(2012·山東蒼山縣期末)已知圓C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂

13、點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為________． [答案]?。? [解析]　在⊙C方程中，令x＝0得y2－4y＋8＝0無解，令y＝0得x2－6x＋8＝0，∴x＝2或4，故雙曲線方程中a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝12， ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 15．(2011·安徽模擬)點A、B分別為橢圓＋＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點P的坐標； (2)設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值． [解析]　(1)由已知可得點A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)，設

14、點P的坐標是(x，y)，則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)． 由已知得 消去y得，2x2＋9x－18＝0，∴x＝或x＝－6， 由于y>0，只能x＝，于是y＝， 所以點P的坐標是(，)． (2)直線AP的方程是x－y＋6＝0. 設點M的坐標是(m,0)，則M到直線AP的距離是 ，于是＝|m－6|， 又－6≤m≤6，解得m＝2. ∵橢圓上的點(x，y)到點M的距離是d， ∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2 ＝(x－)2＋15， 由于－6≤x≤6，所以當x＝時d取最小值. 16.(2012·吉林省實驗中學模擬)如圖所示，在△DEM中，⊥，＝(0，－8)

15、，N在y軸上，且＝(＋)，點E在x軸上移動． (1)求點M的軌跡方程； (2)過點F(0,1)作互相垂直的兩條直線l1、l2，l1與點M的軌跡交于點A、B，l2與點M的軌跡交于點C、Q，求·的最小值． [解析]　(1)設M(x，y)，E(a,0)，由條件知D(0，－8)， ∵N在y軸上且N為EM的中點，∴x＝－a， ∵⊥，∴·＝(－a，－8)·(x－a，y)＝－a(x－a)－8y＝2x2－8y＝0，∴x2＝4y(x≠0)， ∴點M的軌跡方程為x2＝4y(x≠0)． (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Q(x4，y4)，直線l1：y＝kx＋1(k≠0)

16、，則直線l2：y＝－x＋1， 由消去y得，x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 由消去y得，x2＋x－4＝0， ∴x3＋x4＝－，x3x4＝－4. ∵A、B在直線l1上，∴y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∵C、Q在直線l2上，∴y3＝－x3＋1，y4＝－x4＋1. ∴·＝(x3－x1，y3－y1)·(x2－x4，y2－y4) ＝(x3－x1)(x2－x4)＋(y3－y1)·(y2－y4) ＝(x3－x1)(x2－x4)＋(－x3－kx1)(kx2＋x4) ＝x3x2－x1x2－x3x4＋x1x4－x2x3－k2x1x2－x3x4－x1x4 ＝

17、(－1－k2)x1x2＋(－1－)x3x4＝4(1＋k2)＋4(1＋)＝8＋4(k2＋)≥16等號在k2＝時取得， 即k＝±1時成立．∴·的最小值為16. 1．(2011·遼寧沈陽二中檢測)已知曲線C：y＝2x2，點A(0，－2)及點B(3，a)，從點A觀察點B，要使視線不被曲線C擋住，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(4，＋∞) B．(－∞，4] C．(10，＋∞) D．(－∞，10] [答案]　D [解析]　過點A(0，－2)作曲線C：y＝2x2的切線，設方程為y＝kx－2，代入y＝2x2得， 2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4， 當k＝4時

18、，切線為l， ∵B點在直線x＝3上運動，直線y＝4x－2與x＝3的交點為M(3,10)，當點B(3，a)滿足a≤10時，視線不被曲線C擋住，故選D. 2.(2011·海南五校聯(lián)考)如圖，正六邊形ABCDEF的兩個頂點A、D為雙曲線的兩個焦點，其余4個頂點都在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是(　　) A.＋1 B.－1 C. D. [答案]　A [解析]　設正六邊形的邊長為1，則AE＝，ED＝1， AD＝2，∴2a＝AE－ED＝－1,2c＝AD＝2， ∴e＝＝＝＋1. 3．已知橢圓＋＝1(a>b>0)、雙曲線－＝1和拋物線y2＝2px(p>0)的離心率分別為e1、

19、e2、e3，則(　　) A．e1e2>e3 B．e1e2＝e3 C．e1e2b>0，∴0<4<1，∴e1e2<1＝e3. 4．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x＋y＋4＝0有且僅有一個公共點，則橢圓的長軸長為(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　根據(jù)題意設橢圓方程為＋＝1(b>0)，則將x＝－y－4代入橢圓方程得， 4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0， ∵橢圓與

20、直線x＋y＋4＝0有且僅有一個公共點， ∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0， 即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3， 長軸長為2＝2，故選C. 5．已知雙曲線－＝1　(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) [答案]　C [解析]　 ∵漸近線l1：y＝x與過焦點F的直線l平行，或漸近線l1從該位置繞原點按逆時針旋轉時，直線l與雙曲線的右支交于一個點． ∴≥，即c2＝a2＋b

21、2≥4a2，∴e≥2，故選C. 6．已知橢圓C：＋y2＝1(a>1)的上頂點為A，左、右焦點為F1、F2，直線AF2與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切． (1)求橢圓C的方程； (2)若橢圓內存在動點P，使|PF1|、|PO|、|PF2|成等比數(shù)列(O為坐標原點)，求·的取值范圍． [解析]　(1)圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化為(x－3)2＋(y－1)2＝3， 則圓M的圓心為M(3,1)，半徑r＝. 由A(0,1)，F(xiàn)2(c,0)，(c＝)，得直線AF2： ＋y＝1， 即x＋cy－c＝0， 由直線AF2與圓M相切，得＝， 解得c＝或c＝－(舍去)． 則a2＝c2＋1＝3，故橢圓C的方程為：＋y2＝1. (2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，設P(x，y)， 由題意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|， 即()2＝·， 化簡得：x2－y2＝1，則x2＝y(tǒng)2＋1≥1. 因為點P在橢圓內，故＋y2<1，即＋x2－1<1， ∴x2<，∴1≤x2<， 又·＝x2－2＋y2＝2x2－3， ∴－1≤·<0. 12