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1、第3章 3.1.5
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，則C的坐標是( )
A. B.
C. D.
解析：?。?－3，－2，－4)
＝
∴C.
答案： A
2．已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是( )
A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)
C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)
解析： 若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，
所以a∥b.
答案： D
3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a與b的
2、夾角的余弦為，則λ＝( )
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
解析： 因為a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因為a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··
＝，所以＝6－λ，
解得λ＝－2或.
答案： C
4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于( )
A．3 B．2
C. D．5
解析： ∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)
＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，
∴|a－b＋2c|＝3.
答案： A
二、填空題(每小題
3、5分，共10分)
5．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，則向量a＋b與a－b的夾角為________．
解析： a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，
a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，
∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，
∴a＋b與a－b的夾角為90°.
答案： 90°
6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b與b垂直，則k＝________.
解析： 因為(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
4、所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，
解得k＝7.
答案： 7
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．已知點A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求滿足DB∥AC，DC∥AB的點D的坐標．
解析： 設點D(x，y，z)，則＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)，
∵DB∥AC，DC∥AB，
∴∥，∥，
有
解得
所以D(－1,1,2)．
8．已知關于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有兩個實根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋
5、tb.
(1)當|c|取最小值時，求t的值；
(2)在(1)的情況下，求b和c夾角的余弦值．
解析： (1)因為關于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有兩個實根，
所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，
即－4≤t≤－.
又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，
所以|c|＝
＝.
因為t∈時，上述關于t的函數(shù)單調(diào)遞減，
所以當t＝－時，|c|取最小值.
(2)－
尖子生題庫☆☆☆
9．(10分)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AB和BC的中點，試在棱B1B上找一點M，使得D1M⊥平面EFB1.
解析： 如右圖所示，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(1,0,0)、B1(1,1,1)、
C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E、
M(1,1，m)．
連結AC.則＝(－1,1,0)．
而E、F分別為AB、BC的中點，
所以＝＝.
又因為＝，
＝(1,1，m－1)，
因為D1M⊥平面EFB1，
所以D1M⊥EF，且D1M⊥B1E，
即·＝0，且·＝0.
所以，
解得m＝.
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