【紅對(duì)勾 講與練】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二第二講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課時(shí)作業(yè)6 新人教A版

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1、 課時(shí)作業(yè)6　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 時(shí)間：45分鐘 A級(jí)—基礎(chǔ)必做題 一、選擇題 1．函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)等于(　　) A．1 B．2 C．0 D. 解析：由題意知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1， 故f(5)＋f′(5)＝2.故選B. 答案：B 2．當(dāng)x∈(0,5)時(shí)，函數(shù)y＝xlnx(　　) A．是單調(diào)增函數(shù) B．是單調(diào)減函數(shù) C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 解析：y′＝lnx＋1，令y′＝0，得x＝.在上y′<0，在上y′>0，∴y＝xlnx在上單調(diào)遞減，

2、在上單調(diào)遞增．故選D. 答案：D 3．函數(shù)f(x)＝ex－x(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[－1,1]上的最大值是(　　) A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1 解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0，令f′(x)>0得x>0，令f′(x)<0，得x<0，則函數(shù)f(x)在(－1,0)上遞減，在(0,1)上遞增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，∴f(1)>f(－1)．故選D. 答案：D 4．(2014·大慶質(zhì)量檢測(cè)(Ⅱ))下列四個(gè)圖象中，有一個(gè)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，

3、a≠0)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(1)＝(　　) A. B. C．－ D．1 解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－4，其對(duì)稱軸x＝－a≠0，且 f′(x)的圖象開(kāi)口向上，故y＝f′(x)圖象為③，過(guò)(0,0)得a2－4＝0，解得a＝±2，又對(duì)稱軸x＝－a>0，得a＝－2.從而f(1)＝－. 答案：C 5．(2014·廣東深圳市調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(－∞，3] 解析：由f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，可知f′(x

4、)＝x2＋2x－a在(1，＋∞)上恒大于等于0，又因函數(shù)f′(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以只需f′(1)＝1＋2－a≥0，即a≤3，又f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，所以f(1)f(2)<0，即0，則當(dāng)2

5、) 解析：∵對(duì)任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴x＝2是f(x)的對(duì)稱軸，又∵(x－2)f′(x)>0，∴當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x<2時(shí)，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)；又∵2

6、x3－2x＋3在x＝1處的切線方程為_(kāi)_______． 解析：當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，故切點(diǎn)為(1,2)，又y′＝3x2－2，所以切線斜率為k＝1，切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 8．函數(shù)f(x)＝x3－x2－3x－1的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 解析：f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函數(shù)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,3)上是減函數(shù)，由f(x)極小值＝f(3)＝－10<0，f(x)極大值＝f(－1)＝>0知函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3. 答案：3 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2bx2＋c

7、x＋1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，則f(－1)的取值范圍是________． 解析：由于f′(x)＝3x2＋4bx＋c，據(jù)題意方程3x2＋4bx＋c＝0有兩個(gè)根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]， 令g(x)＝3x2＋4bx＋c，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得只需此即為關(guān)于點(diǎn)(b，c)的線性約束條件，作出其對(duì)應(yīng)平面區(qū)域，f(－1)＝2b－c，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上述線性約束條件下確定目標(biāo)函數(shù)f(－1)＝2b－c的最值問(wèn)題，由線性規(guī)劃易知3≤f(－1)≤12. 答案：[3,12] 三、解答題 10．(2014·沈陽(yáng)質(zhì)量檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝lnx

8、，g(x)＝ax＋b. (1)若f(x)與g(x)在x＝1處相切，試求g(x)的表達(dá)式； (2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解：(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2. 又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. (2)φ(x)＝－f(x)＝－lnx在[1，＋∞)上是減函數(shù)， ∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立． 即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，則2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)， ∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2. 11．(2013·福建卷)已知函數(shù)f(x)＝

9、x－aln x(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； ②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a，

10、 又當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無(wú)極大值． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值； 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無(wú)極大值． 12．(2014·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－2. (1)求a； (2)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn)． 解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a. 曲線y＝f(x)在點(diǎn)

11、(0,2)處的切線方程為y＝ax＋2. 由題設(shè)得－＝－2，所以a＝1. (2)證明：由(1)知， f(x)＝x3－3x2＋x＋2. 設(shè)g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4. 由題設(shè)知1－k>0. 當(dāng)x≤0時(shí)，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實(shí)根． 當(dāng)x>0時(shí)，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)． h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)≥h(2

12、)＝0. 所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒(méi)有實(shí)根． 綜上，g(x)＝0在R上有唯一實(shí)根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個(gè)交點(diǎn)． B級(jí)—能力提升題 1．(2014·遼寧五校聯(lián)考)已知曲線f(x)＝3mx＋sinx上存在相互垂直的兩條切線，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A. B．－ C．1 D．0 解析：f′(x)＝3m＋cosx，因存在相互垂直的切線，所以設(shè)(3m＋cosx1)(3m＋cosx2)＝－1，整理得方程：9m2＋3(cosx1＋cosx2)m＋1＋cosx1cosx2＝0，關(guān)于m的方程有解，所以Δ＝9(cosx1－cosx2)2－36≥0恒成立，所以只有在

13、cosx1與cosx2中一個(gè)為1另一個(gè)為－1的時(shí)候才能成立，代入方程得9m2＝0，所以m＝0. 答案：D 2．(2014·遼寧卷)當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－5，－3] B．[－6，－] C．[－6，－2] D．[－4，－3] 解析：當(dāng)x＝0時(shí)，ax3－x2＋4x＋3≥0變?yōu)?≥0恒成立，即a∈R. 當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，ax3≥x2－4x－3，a≥， ∴a≥max. 設(shè)φ(x)＝， φ′(x)＝ ＝－＝－>0， ∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6. ∴a≥－6.

14、當(dāng)x∈[－2,0)時(shí)，a≤， ∴a≤min. 仍設(shè)φ(x)＝，φ′(x)＝－. 當(dāng)x∈[－2，－1)時(shí)，φ′(x)<0， 當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，φ′(x)>0. ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，φ(x)有極小值，即為最小值． 而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2. 綜上知－6≤a≤－2. 答案：C 3．(2014·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax3(a>0)，x∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)若對(duì)于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范圍． 解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0

15、)． 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 0 ↗ ↘ 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，. 當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極小值，且極小值f(0)＝0；當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極大值，且極大值f＝. (2)由f(0)＝f＝0及(1)知，當(dāng)x∈時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x∈時(shí)，f(x)<0. 設(shè)集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，則“對(duì)于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等價(jià)于A?B.顯然，0?B. 下面分三種情況討論： ①當(dāng)>2，即0時(shí)，有f(1)<0，且此時(shí)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集． 綜上，a的取值范圍是. - 6 -