【紅對勾 講與練】2021屆高三數(shù)學二輪復習 專題二第二講 導數(shù)及其應用課時作業(yè)6 新人教A版

課時作業(yè)6　導數(shù)及其應用 時間：45分鐘 A級—基礎必做題 一、選擇題 1．函數(shù)y＝f(x)的圖象在點x＝5處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5)＋f′(5)等于(　　) A．1 B．2 C．0 D. 解析：由題意知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1， 故f(5)＋f′(5)＝2.故選B. 答案：B 2．當x∈(0,5)時，函數(shù)y＝xlnx(　　) A．是單調(diào)增函數(shù) B．是單調(diào)減函數(shù) C．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 解析：y′＝lnx＋1，令y′＝0，得x＝.在上y′<0，在上y′>0，∴y＝xlnx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．故選D. 答案：D 3．函數(shù)f(x)＝ex－x(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間[－1,1]上的最大值是(　　) A．1＋ B．1 C．e＋1 D．e－1 解析：f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0，令f′(x)>0得x>0，令f′(x)<0，得x<0，則函數(shù)f(x)在(－1,0)上遞減，在(0,1)上遞增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝＋2－e<＋2－e<0，∴f(1)>f(－1)．故選D. 答案：D 4．(2014·大慶質(zhì)量檢測(Ⅱ))下列四個圖象中，有一個是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－4)x＋1(a∈R，a≠0)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(1)＝(　　) A. B. C．－ D．1 解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－4，其對稱軸x＝－a≠0，且 f′(x)的圖象開口向上，故y＝f′(x)圖象為③，過(0,0)得a2－4＝0，解得a＝±2，又對稱軸x＝－a>0，得a＝－2.從而f(1)＝－. 答案：C 5．(2014·廣東深圳市調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(1,2)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(－∞，3] 解析：由f(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增，可知f′(x)＝x2＋2x－a在(1，＋∞)上恒大于等于0，又因函數(shù)f′(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以只需f′(1)＝1＋2－a≥0，即a≤3，又f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點，所以f(1)f(2)<0，即<a<，綜上<a≤3. 答案：C 6．(2014·江西七校聯(lián)考)定義域為R的連續(xù)函數(shù)f(x)，對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且其導函數(shù)f′(x)滿足(x－2)f′(x)>0，則當2<a<4時，有(　　) A．f(2a)<f(2)<f(log2a) B．f(2)<f(2a)<f(log2a) C．f(log2a)<f(2a)<f(2) D．f(2)<f(log2a)<f(2a) 解析：∵對任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴x＝2是f(x)的對稱軸，又∵(x－2)f′(x)>0，∴當x>2時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)；當x<2時，f′(x)<0，f(x)是減函數(shù)；又∵2<a<4，∴1<log2a<2,4<2a<16；由f(2＋x)＝f(2－x)，得f(x)＝f(4－x)，∴f(log2a)＝f(4－log2a)，由1<log2a<2，得－2<－log2a<－1，∴2<4－log2a<3；∴2<4－log2a<2a，∴f(2)<f(4－log2a)<f(2a)，即f(2)<f(log2a)<f(2a)，故選D. 答案：D 二、填空題 7．曲線y＝x3－2x＋3在x＝1處的切線方程為________． 解析：當x＝1時，y＝2，故切點為(1,2)，又y′＝3x2－2，所以切線斜率為k＝1，切線方程為y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 8．函數(shù)f(x)＝x3－x2－3x－1的圖象與x軸的交點個數(shù)是________． 解析：f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函數(shù)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,3)上是減函數(shù)，由f(x)極小值＝f(3)＝－10<0，f(x)極大值＝f(－1)＝>0知函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點個數(shù)為3. 答案：3 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有兩個極值點x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，則f(－1)的取值范圍是________． 解析：由于f′(x)＝3x2＋4bx＋c，據(jù)題意方程3x2＋4bx＋c＝0有兩個根x1，x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]， 令g(x)＝3x2＋4bx＋c，結合二次函數(shù)圖象可得只需此即為關于點(b，c)的線性約束條件，作出其對應平面區(qū)域，f(－1)＝2b－c，問題轉(zhuǎn)化為在上述線性約束條件下確定目標函數(shù)f(－1)＝2b－c的最值問題，由線性規(guī)劃易知3≤f(－1)≤12. 答案：[3,12] 三、解答題 10．(2014·沈陽質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋b. (1)若f(x)與g(x)在x＝1處相切，試求g(x)的表達式； (2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2. 又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. (2)φ(x)＝－f(x)＝－lnx在[1，＋∞)上是減函數(shù)， ∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立． 即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，則2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)， ∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2. 11．(2013·福建卷)已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 解：函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)， 因而f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0知： ①當a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a， 又當x∈(0，a)時，f′(x)<0； 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， 從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值． 綜上，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值； 當a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 12．(2014·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲線y＝f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為－2. (1)求a； (2)證明：當k<1時，曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點． 解：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a. 曲線y＝f(x)在點(0,2)處的切線方程為y＝ax＋2. 由題設得－＝－2，所以a＝1. (2)證明：由(1)知， f(x)＝x3－3x2＋x＋2. 設g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4. 由題設知1－k>0. 當x≤0時，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)單調(diào)遞增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一實根． 當x>0時，令h(x)＝x3－3x2＋4，則g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)． h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，＋∞)單調(diào)遞增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0. 所以g(x)＝0在(0，＋∞)沒有實根． 綜上，g(x)＝0在R上有唯一實根，即曲線y＝f(x)與直線y＝kx－2只有一個交點． B級—能力提升題 1．(2014·遼寧五校聯(lián)考)已知曲線f(x)＝3mx＋sinx上存在相互垂直的兩條切線，則實數(shù)m的值為(　　) A. B．－ C．1 D．0 解析：f′(x)＝3m＋cosx，因存在相互垂直的切線，所以設(3m＋cosx1)(3m＋cosx2)＝－1，整理得方程：9m2＋3(cosx1＋cosx2)m＋1＋cosx1cosx2＝0，關于m的方程有解，所以Δ＝9(cosx1－cosx2)2－36≥0恒成立，所以只有在cosx1與cosx2中一個為1另一個為－1的時候才能成立，代入方程得9m2＝0，所以m＝0. 答案：D 2．(2014·遼寧卷)當x∈[－2,1]時，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－5，－3] B．[－6，－] C．[－6，－2] D．[－4，－3] 解析：當x＝0時，ax3－x2＋4x＋3≥0變?yōu)?≥0恒成立，即a∈R. 當x∈(0,1]時，ax3≥x2－4x－3，a≥， ∴a≥max. 設φ(x)＝， φ′(x)＝ ＝－＝－>0， ∴φ(x)在(0,1]上遞增，φ(x)max＝φ(1)＝－6. ∴a≥－6. 當x∈[－2,0)時，a≤， ∴a≤min. 仍設φ(x)＝，φ′(x)＝－. 當x∈[－2，－1)時，φ′(x)<0， 當x∈(－1,0)時，φ′(x)>0. ∴當x＝－1時，φ(x)有極小值，即為最小值． 而φ(x)min＝φ(－1)＝＝－2，∴a≤－2. 綜上知－6≤a≤－2. 答案：C 3．(2014·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝x2－ax3(a>0)，x∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (2)若對于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1，求a的取值范圍． 解：(1)由已知，有f′(x)＝2x－2ax2(a>0)． 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ 0 ↗ ↘ 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，. 當x＝0時，f(x)有極小值，且極小值f(0)＝0；當x＝時，f(x)有極大值，且極大值f＝. (2)由f(0)＝f＝0及(1)知，當x∈時，f(x)>0；當x∈時，f(x)<0. 設集合A＝{f(x)|x∈(2，＋∞)}，集合B＝，則“對于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f(x1)·f(x2)＝1”等價于A?B.顯然，0?B. 下面分三種情況討論： ①當>2，即0<a<時，由f＝0可知，0∈A，而0?B，所以A不是B的子集． ②當1≤≤2，即≤a≤時，有f(2)≤0，且此時f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，故A＝(－∞，f(2))，因而A?(－∞，0)；由f(1)≥0，有f(x)在(1，＋∞)上的取值范圍包含(－∞，0)，則(－∞，0)?B.所以A?B. ③當<1，即a>時，有f(1)<0，且此時f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故B＝，A＝(－∞，f(2))，所以A不是B的子集． 綜上，a的取值范圍是. - 6 -