2018年高考數(shù)學(xué) 專題11 空間中的平行與垂直教學(xué)案 理

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1、 專題 11 空間中的平行與垂直 【2018年高考考綱解讀】 高考對本內(nèi)容的考查主要有： (1)主要考查空間概念，空間想象能力，點線面位置關(guān)系判斷，表面積與體積計算等，A級要求 (2)主要考查線線、線面、面面平行與垂直的證明，B級要求 【重點、難點剖析】 1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．平行

2、關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常常可以轉(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 4．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定

3、理：兩個平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個平面，當(dāng)題目中有面面垂直的條件時，一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題型示例】 題型一　空間幾何體的認(rèn)識及表面積與體積的計算 【例1】 【2017山東，理13】由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 . 【答案】 【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△

4、FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______. 【答案】 【解析】如下圖，連接DO交BC于點G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點，正三角形的邊長為x(x>0)，則 . ， ， 三棱錐的體積 . 設(shè)，x>0，則， 令，即，得，易知在處取得最大值. ∴. 【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】該幾何體直觀圖如圖所示： 是一個球被

5、切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個扇形面積之和 故選A． 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【方法技巧】空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾

6、何體的形狀，即可得到結(jié)果． 【舉一反三】(2015·北京，5)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(　　) A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5 解析　該三棱錐的直觀圖如圖所示：過D作DE⊥BC，交BC于E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2. 答案　C 【變式探究】(1)(2014·安徽)一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　) A．21＋ B．18＋ C．21 D．18 (2)(201

7、4·遼寧)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ 【特別提醒】(1)本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖，表面積的計算．能夠通過幾何體的三視圖還原出直觀圖，意在考查考生的空間想象能力，并通過對幾何體的表面積計算，考查考生的運(yùn)算求解能力． (2)本題主要考查三視圖、幾何體的體積等知識，意在考查考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力． 【答案】(1)A　(2)B (2)直觀圖為棱長為2的正方體割去兩個底面半徑為1的圓柱，所以該幾何體的體積為23－2×π×12×2×＝8－π，故選B. 【感悟提升】 1．根據(jù)幾何體的三

8、視圖求其表面積與體積的三步法 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀； (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個度量； (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計算求解． 2．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 【變式探究】 (2015·浙江，2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(　　) A．8 cm3 B．12

9、 cm3 C. cm3 D. cm3 解析　該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形，高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V＝2×2×2＋×2×2×2＝(cm3)．故選C. 答案　C 【規(guī)律方法】涉及柱、錐、臺、球及其簡單組合體的側(cè)面積和體積的計算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，進(jìn)行計算．另外要重視空間問題平面化的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用． 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，11)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖

10、所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1 　　　 B．2 C．4 　　　 D．8 解析　由題意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2. 答案　B 題型二　空間中點線面位置關(guān)系的判斷 【例2】 【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. (第15題) A D B C E F

11、 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因為AB⊥AD， ，所以. 又因為平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC. 【變式探究】【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】證明：（1）在直三棱柱中， 在三角形ABC中，因為D,E分別為AB,BC的中點. 所以，于是 又因為DE平面平面 所以直線DE//

12、平面 （2）在直三棱柱中， 因為平面，所以 又因為 所以平面 因為平面，所以 又因為 所以 因為直線，所以 【舉一反三】(2015·安徽，5)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AA′＝AC＝2，∠BAC＝，點D，E分別是BC，A′B′的中點． (1)求證：DE∥平面ACC′A′；

13、 (2)求二面角B′－AD－C′的余弦值． 【解析】(1)證明：取AC的中點F，連接DF，A′F， 則DF∥AB，又A′E∥AB， 所以DF∥A′E， 又因為DF＝AB，A′E＝AB， 所以DF＝AE，所以四邊形DFA′E是平行四邊形， 所以ED∥A′F，又A′F?平面ACC′A′， 所以ED∥平面ACC′A′. (2)在平面ABC中，以過點A且垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 所以點A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(0,2,0)，B′(，－1,2)，C′(0,2,2)，D. 所以＝，＝(，－1,2)，＝(0,2

14、,2)． 設(shè)平面B′AD的法向量為m＝(x，y，z)， 則由m·＝0和m·＝0，得 取m＝(1，－，－)． 同理，可取平面C′AD的法向量n＝(1，－，)． 設(shè)二面角B′－AD－C′的平面角為θ，易知0<θ<，則cos θ＝＝. 【變式探究】設(shè)α，β，γ是三個不重合的平面，l是直線，給出下列四個命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩點到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β. 其中正確命題的序號是________． 【解析】由線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理逐個判斷，真命題為②④. 【答案】②④ 【規(guī)律

15、方法】這類題為高考?？碱}型，其實質(zhì)為多項選擇．主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選、多選、錯選． 【變式探究】(2015·浙江，13)如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________． 題型三　線線、線面、面面平行與垂直的證明 【例3】(2017·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E⊥平面AB

16、CD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明：(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C. 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因為AC⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因為B1D1∥BD， 所以EM⊥B1D1

17、，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）在直三棱柱中， 因為平面，所以 又因為 所以平面 因為平面，所以 又因為 所以 因為直線，所以 【舉一反三】(2015

18、·江蘇，16)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 證明　(1)由題意知，E為B1C的中點， 又D為AB1的中點，因此DE∥AC. 又因為DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因為棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC

19、⊥平面BCC1B1. 又因為BC1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因為BC＝CC1， 所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因為AB1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 證明　(1)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所

20、以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因為AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1，又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點，所以A1F⊥B1C1. 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1

21、F∥平面ADE. 【規(guī)律方法】證明或探究空間中線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系，一要熟練掌握所有判定定理與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行．而證明線線平行常用的是三角形中位線性質(zhì)，或構(gòu)造平行四邊形；二要用分析與綜合相結(jié)合的方法來尋找證明的思路；三要注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論． 【變式探究】 如圖，在四棱錐P -ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1. (1)求證：AB∥平面PCD； (2)求證：BC⊥平面PAC； (3)若M是PC的中點，求三棱錐M -ACD的體積． (1)證明　∵AB∥DC，且AB?平面PCD，CD?平面PCD. ∴AB∥平面PCD. (3)解　∵M(jìn)是PC中點， ∴M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半 VM -ACD＝S△ACD·PA＝××＝. 17