2018年高考數(shù)學(xué) 專題11 空間中的平行與垂直教學(xué)案 理

專題 11 空間中的平行與垂直 【2018年高考考綱解讀】 高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有： (1)主要考查空間概念，空間想象能力，點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷，表面積與體積計(jì)算等，A級(jí)要求 (2)主要考查線線、線面、面面平行與垂直的證明，B級(jí)要求 【重點(diǎn)、難點(diǎn)剖析】 1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b. (3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2．平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化 兩平面平行問題常?？梢赞D(zhuǎn)化為直線與平面的平行，而直線與平面平行又可轉(zhuǎn)化為直線與直線平行，所以要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，以下為三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖． 3．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β. 4．垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化類似，它們之間的轉(zhuǎn)化如下示意圖． 在垂直的相關(guān)定理中，要特別注意記憶面面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面，當(dāng)題目中有面面垂直的條件時(shí)，一般都要用此定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題型示例】 題型一　空間幾何體的認(rèn)識(shí)及表面積與體積的計(jì)算 【例1】 【2017山東，理13】由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如右圖，則該幾何體的體積為 . 【答案】 【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______. 【答案】 【解析】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F(xiàn)重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長為x(x>0)，則 . ， ， 三棱錐的體積 . 設(shè)，x>0，則， 令，即，得，易知在處取得最大值. ∴. 【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】該幾何體直觀圖如圖所示： 是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和 故選A． 【變式探究】【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【方法技巧】空間幾何體的三視圖是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三視圖問題時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果． 【舉一反三】(2015·北京，5)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是(　　) A．2＋ B．4＋ C．2＋2 D．5 解析　該三棱錐的直觀圖如圖所示：過D作DE⊥BC，交BC于E，連接AE，則BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2. 答案　C 【變式探究】(1)(2014·安徽)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為(　　) A．21＋ B．18＋ C．21 D．18 (2)(2014·遼寧)某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．8－2π B．8－π C．8－ D．8－ 【特別提醒】(1)本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖，表面積的計(jì)算．能夠通過幾何體的三視圖還原出直觀圖，意在考查考生的空間想象能力，并通過對(duì)幾何體的表面積計(jì)算，考查考生的運(yùn)算求解能力． (2)本題主要考查三視圖、幾何體的體積等知識(shí)，意在考查考生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力． 【答案】(1)A　(2)B (2)直觀圖為棱長為2的正方體割去兩個(gè)底面半徑為1的圓柱，所以該幾何體的體積為23－2×π×12×2×＝8－π，故選B. 【感悟提升】 1．根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三步法 (1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀； (2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量； (3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解． 2．求解幾何體的表面積及體積的技巧 (1)求幾何體的表面積及體積問題，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上． (2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 【變式探究】 (2015·浙江，2)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是(　　) A．8 cm3 B．12 cm3 C. cm3 D. cm3 解析　該幾何體是棱長為2 cm的正方體與一底面邊長為2 cm的正方形，高為2 cm的正四棱錐組成的組合體，V＝2×2×2＋×2×2×2＝(cm3)．故選C. 答案　C 【規(guī)律方法】涉及柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的側(cè)面積和體積的計(jì)算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，進(jìn)行計(jì)算．另外要重視空間問題平面化的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用． 【變式探究】(2015·新課標(biāo)全國Ⅰ，11)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝(　　) A．1 　　　 B．2 C．4 　　　 D．8 解析　由題意知，2r·2r＋·2πr·2r＋πr2＋πr2＋·4πr2＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2. 答案　B 題型二　空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷 【例2】 【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD， BC⊥BD， 平面ABD⊥平面BCD， 點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）AD⊥AC. (第15題) A D B C E F 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】證明：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD， ，所以. 又因?yàn)槠矫鍭BC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC. 【變式探究】【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 【解析】證明：（1）在直三棱柱中， 在三角形ABC中，因?yàn)镈,E分別為AB,BC的中點(diǎn). 所以，于是 又因?yàn)镈E平面平面 所以直線DE//平面 （2）在直三棱柱中， 因?yàn)槠矫妫? 又因?yàn)? 所以平面 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以 因?yàn)橹本€，所以 【舉一反三】(2015·安徽，5)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是(　　) A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行 B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行 C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線 D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面 【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝AA′＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D，E分別是BC，A′B′的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面ACC′A′； (2)求二面角B′－AD－C′的余弦值． 【解析】(1)證明：取AC的中點(diǎn)F，連接DF，A′F， 則DF∥AB，又A′E∥AB， 所以DF∥A′E， 又因?yàn)镈F＝AB，A′E＝AB， 所以DF＝AE，所以四邊形DFA′E是平行四邊形， 所以ED∥A′F，又A′F?平面ACC′A′， 所以ED∥平面ACC′A′. (2)在平面ABC中，以過點(diǎn)A且垂直于AC的直線為x軸，直線AC為y軸，AA′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 所以點(diǎn)A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(0,2,0)，B′(，－1,2)，C′(0,2,2)，D. 所以＝，＝(，－1,2)，＝(0,2,2)． 設(shè)平面B′AD的法向量為m＝(x，y，z)， 則由m·＝0和m·＝0，得 取m＝(1，－，－)． 同理，可取平面C′AD的法向量n＝(1，－，)． 設(shè)二面角B′－AD－C′的平面角為θ，易知0<θ<，則cos θ＝＝. 【變式探究】設(shè)α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，l是直線，給出下列四個(gè)命題： ①若α⊥β，l⊥β，則l∥α；②若l⊥α，l∥β，則α⊥β； ③若l上有兩點(diǎn)到α的距離相等，則l∥α；④若α⊥β，α∥γ，則γ⊥β. 其中正確命題的序號(hào)是________． 【解析】由線線、線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理逐個(gè)判斷，真命題為②④. 【答案】②④ 【規(guī)律方法】這類題為高考常考題型，其實(shí)質(zhì)為多項(xiàng)選擇．主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選、多選、錯(cuò)選． 【變式探究】(2015·浙江，13)如圖，三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________． 題型三　線線、線面、面面平行與垂直的證明 【例3】(2017·山東卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱錐C1－B1CD1后得到的幾何體如圖所示．四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E⊥平面ABCD. (1)證明：A1O∥平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM⊥平面B1CD1. 證明：(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1∥OC，A1O1＝OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C. 又O1C?平面B1CD1，A1O?平面B1CD1， 所以A1O∥平面B1CD1. (2)因?yàn)锳C⊥BD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)， 所以EM⊥BD， 又A1E⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， 所以A1E⊥BD， 因?yàn)锽1D1∥BD， 所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1. 又A1E，EM?平面A1EM，A1E∩EM＝E， 所以B1D1⊥平面A1EM. 又B1D1?平面B1CD1， 所以平面A1EM⊥平面B1CD1. 【2016高考江蘇卷】(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且 ，. 求證：（1）直線DE∥平面A1C1F； （2）平面B1DE⊥平面A1C1F. 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 （2）在直三棱柱中， 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以平面 因?yàn)槠矫?，所? 又因?yàn)? 所以 因?yàn)橹本€，所以 【舉一反三】(2015·江蘇，16)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 證明　(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)， 又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC. 又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因?yàn)锽C1?平面BCC1B1， 所以BC1⊥AC. 因?yàn)锽C＝CC1， 所以矩形BCC1B1是正方形， 因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1?平面B1AC， 所以BC1⊥AB1. 【變式探究】如圖，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直線A1F∥平面ADE. 證明　(1)因?yàn)锳BC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因?yàn)锳D⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1，又AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因?yàn)锳1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1C1. 因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因?yàn)镃C1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 【規(guī)律方法】證明或探究空間中線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系，一要熟練掌握所有判定定理與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行．而證明線線平行常用的是三角形中位線性質(zhì)，或構(gòu)造平行四邊形；二要用分析與綜合相結(jié)合的方法來尋找證明的思路；三要注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論． 【變式探究】 如圖，在四棱錐P ­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1. (1)求證：AB∥平面PCD； (2)求證：BC⊥平面PAC； (3)若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐M ­ACD的體積． (1)證明　∵AB∥DC，且AB?平面PCD，CD?平面PCD. ∴AB∥平面PCD. (3)解　∵M(jìn)是PC中點(diǎn)， ∴M到面ADC的距離是P到面ADC距離的一半 VM ­ACD＝S△ACD·PA＝××＝. 17