2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 2 指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì) 2.1 指數(shù)概念的擴(kuò)充 2.2 指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修1

2.1　指數(shù)概念的擴(kuò)充 2.2　指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì) 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化．(重點(diǎn)) 2．了解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的概念，了解無(wú)理數(shù)指數(shù)冪可以用實(shí)數(shù)指數(shù)冪逼近的思想方法．(易混點(diǎn)) 3．掌握指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能熟練地進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算．(重難點(diǎn)) 1.通過(guò)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過(guò)運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 閱讀教材P64～P66的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題． (1)定義 給定正實(shí)數(shù)a，對(duì)于任意給定的整數(shù)m，n(m，n互素)，存在唯一的正實(shí)數(shù)b，使得bn＝am，把b叫作a的次冪，記作b＝a，它就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪． (2)幾個(gè)結(jié)論 ①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的根式形式：a＝(a>0)． ②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：a＝ (a>0，m，n∈N＋，且n>1)． ③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義． 思考1：(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a可以理解為個(gè)a相乘嗎？ (2)在分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念中，我們只對(duì)正數(shù)和零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行了定義，那么負(fù)數(shù)也有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪嗎？ [提示]　(1)當(dāng)是正整數(shù)時(shí)，可以；當(dāng)不是正整數(shù)時(shí)，不可以． (2)有的負(fù)數(shù)有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，例如(－2) ；有的負(fù)數(shù)沒(méi)有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，例如(－2) . 2．指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì) 閱讀教材P66～P67的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問(wèn)題． 若a>0，b>0，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n指數(shù)運(yùn)算有以下性質(zhì)： (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝am_n； (3)(ab)n＝anbn. 思考2：＝＝(－2)3＝－8，上述計(jì)算正確嗎？若不正確，應(yīng)如何計(jì)算． [提示]　不正確. ＝(26) ＝＝23＝8. 1．下列等式一定成立的是(　　) A.＝4　　　　 B．＝ C．a(chǎn)0＝1 D．＝ D　[當(dāng)a<0時(shí)，＝|a|，故A錯(cuò)；＝，故B錯(cuò)； 當(dāng)a＝0時(shí)，a0不存在，故C錯(cuò)； 因?yàn)椋?>0， 所以＝(－1) ＝(－1) ＝] 2.化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為_(kāi)_______． a　[＝＝＝a×＝a] 3．(0.027) ＝________. 　[(0.027) ＝＝＝ ＝.] 4．化簡(jiǎn)的結(jié)果為_(kāi)_______． 16　[＝＝＝24＝16.] 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化 【例1】　(1)將各式化為根式： (2)將各式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪： [解]　 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的關(guān)鍵與技巧 (1)關(guān)鍵：解決根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用(a>0，m，n∈N＋，且n>1). (2)技巧：當(dāng)表達(dá)式中的根號(hào)較多時(shí)，要搞清被開(kāi)方數(shù)，由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式寫(xiě)出來(lái)，然后再利用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn). 1．將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式． [解]　 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 【例2】　計(jì)算下列各式． [解]　 進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算要熟練掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并靈活運(yùn)用.一般地，進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)還要注意運(yùn)算順序問(wèn)題. 2．(1) ＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．m C．m D．m (2)化簡(jiǎn) (a>0，b>0)的結(jié)果是(　　) A．6a B．－a C．－9a D．9a (1)A　(2)C　 條件求值 [探究問(wèn)題] 1．已知a＋a＝3，求 a＋a－1的值． 提示：法一： 2． 提示：∵ 3．在探究1的條件下，求a－a－1的值． 提示：a－a－1＝(a＋a－)(a－a－)＝3×(±)＝±3. 【例3】　 [解]　 1．(變條件)若將本例條件“x＋x＝3”改為“x－x＝1”，如何求值？ [解]　將x－x＝1兩邊平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3， 則＝＝. 2．(變結(jié)論)在本例條件下，如何求x2＋x－2的值？ [解]　將x＋x＝3兩邊平方可得x＋x－1＋2＝9，則x＋x－1＝7， 兩邊再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47. 解決此類問(wèn)題的思路步驟如下： 1．掌握兩個(gè)公式：(1)()n＝a(n∈N＋)；(2)n為奇數(shù)且n∈N＋，＝a，n為偶數(shù)且n∈N＋，＝|a|＝ 2．根式一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算．在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過(guò)程中，一般采用由內(nèi)到外逐層變換的方法，然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解． 1．思考辨析 (1)2表示個(gè)2相乘．(　　) (2)a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)．(　　) (3)＝()n.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 　 　 [解] - 8 -