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1、第三講 數(shù)列
命 題 者 說
考 題 統(tǒng) 計
考 情 點 擊
2018·全國卷Ⅰ·T4·等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式
2018·全國卷Ⅰ·T14·數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系
2018·浙江高考·T10·數(shù)列的綜合應(yīng)用
2018·北京高考·T4·數(shù)學(xué)文化、等比數(shù)列的通項公式
2017·全國卷Ⅰ·T4·等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式
1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn)。
2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題是高考考查的重點，考查分析問題、解決問題的綜合能力。
考向一 等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量運算
【例1】 (1)(201
2、8·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1＝3，a2＋a5＝36，則{an}的通項公式為________。
(2)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn。已知S3＝，S6＝，則a8＝________。
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，所以d＝6，所以an＝3＋(n－1)·6＝6n－3。
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得則a8＝a1q7＝×27＝32。
答案 (1)an＝6n－3 (2)32
在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯
3、，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量。
變|式|訓(xùn)|練
1．(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)在等差數(shù)列{an}中，若Sn為前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是( )
A．55 B．11
C．50 D．60
解析 解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，則S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55。故選A。
解法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55。故選A。
答案
4、 A
2．(2018·湖南湘東五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項之和S3＝21，則公比q的值是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析 當(dāng)q＝1時，an＝7，S3＝21，符合題意；當(dāng)q≠1時，得q＝－。綜上，q的值是1或－。故選C。
答案 C
考向二 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用
【例2】 (1)(2018·湖北荊州一模)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＝3，a8＝8，則a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
(2)等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n
5、的值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(3)(2018·洛陽聯(lián)考)在等比數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為( )
A．－ B．－
C． D．－或
解析 (1)因為a3＋a4＋a5＝3，所以3a4＝3，a4＝1，又2a8＝a4＋a12，所以a12＝2a8－a4＝2×8－1＝15。故選A。
(2)由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，所以a6＋a11＝a8＋a9＝0，又d>0，所以a8<0，a9>0，所以前8項和為前n項和的最小值。故選C。
(3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因
6、為a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－。故選B。
答案 (1)A (2)C (3)B
等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用策略
(1)項數(shù)是關(guān)鍵：解題時特別關(guān)注條件中項的下標(biāo)即項數(shù)的關(guān)系，尋找項與項之間、多項之間的關(guān)系選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題。
(2)整體代入：計算時要注意整體思想，如求Sn可以將與a1＋an相等的式子整體代入，不一定非要求出具體的項。
(3)構(gòu)造不等式函數(shù)：可以構(gòu)造不等式函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)求范圍或最值。
變|式|訓(xùn)|練
1．(2018·太原一模)已知等差數(shù)列{an
7、}的前n項和為Sn，若a2＋a3＋a10＝9，則S9＝( )
A．3 B．9
C．18 D．27
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2＋a3＋a10＝9，所以3a1＋12d＝9，即a1＋4d＝3，所以a5＝3，所以S9＝＝9a5＝27。故選D。
答案 D
2．(2018·西安八校聯(lián)考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為( )
A．10 B．11
C．12 D．13
解析 由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a
8、7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為12。故選C。
答案 C
3．已知－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，則等于( )
A． B．
C．－ D．或－
解析 因為－2，a1，a2，－8成等差數(shù)列，所以a2－a1＝d＝＝－2，因為－2，b1，b2，b3，－8成等比數(shù)列，所以b2＝－＝－4，所以＝＝。故選B。
答案 B
考向三 數(shù)列的遞推關(guān)系
【例3】 (1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通
9、項公式an＝( )
A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2
C．8n2 D．(2n＋1)2－1
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________。
解析 (1)當(dāng)n＝1時，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得a1＝8。當(dāng)n≥2時，4(Sn＋1)＝，則4(Sn－1＋1)＝，兩式相減得，4an＝－，整理得，＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3。檢驗知，a1＝8也符合，所以an＝(n＋1)3。故選A。
(2)根據(jù)a1＋＋＋…＋＝an， ①
有a1＋＋＋…＋＝an－1(n≥2)，
10、 ②
①－②得，＝an－an－1，
即n2an－1＝(n2－1)an(n≥2)，
所以＝＝(n≥2)，
所以n≥2時，an＝a1×××…×＝1×××…×＝＝＝，檢驗a1＝1也符合，所以an＝。
答案 (1)A (2)
由an與Sn的關(guān)系求通項公式的注意事項
(1)應(yīng)重視分類整合思想的應(yīng)用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2。
(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)。
(3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時，a1不適合，則數(shù)列的通項公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an＝
11、
變|式|訓(xùn)|練
1．(2018·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，則＋＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
解析 由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2＝2＝。故選A。
答案 A
2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則S5＝________。
解析 因為an＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，所以Sn＋1＝3Sn＋1，所以Sn＋1＋＝
12、3，所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，所以＝3。又S2＝4，所以S1＝1，所以S5＋＝×34＝×34＝，所以S5＝121。
答案 121
考向四 數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合問題
【例4】 (2018·浙江高考)已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)。若a1>1，則( )
A．a(chǎn)1a3，a2a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4
解析 解法一：因為函數(shù)y＝lnx在點(1,0)處的切線方程為y＝x－1，所以lnx≤x－1(x>0)，所以a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)
13、≤a1＋a2＋a3－1，所以a4≤－1，又a1>1，所以等比數(shù)列的公比q<0。若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)>a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2
14、1，所以等比數(shù)列的公比q<0。若q≤－1，則a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)(1＋q2)≤0，而a1＋a2＋a3≥a1>1，所以ln(a1＋a2＋a3)>0，與ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4≤0矛盾，所以－10，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，所以a1>a3，a2
15、a2＝2，若an－2，若n＝1，則λ∈R，若n>1，則λ>－，所以λ≥0。當(dāng)n為偶數(shù)時，由an－2，所以λ>－，即λ≥0。綜上，實數(shù)λ的取值范圍為[0，＋∞)
16、。
答案 [0，＋∞)
1．(考向一)(2018·山東淄博一模)已知{an}是等比數(shù)列，若a1＝1，a6＝8a3，數(shù)列的前n項和為Tn，則T5＝( )
A． B．31
C． D．7
解析 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a1＝1，a6＝8a3，所以q3＝8，解得q＝2。所以an＝2n－1。所以＝n－1。所以數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列。則T5＝＝。故選A。
答案 A
2．(考向二)(2018·湖南衡陽一模)在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則a2＋a14的值為( )
A．6 B．12 C．24 D．48
解析 因
17、為在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以a2＋a14＝2a8＝48。故選D。
答案 D
3．(考向二)(2018·廣東汕頭模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，－＝－4，則Sn取最大值時的n為( )
A．4 B．5
C．6 D．4或5
解析 由{an}為等差數(shù)列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2，由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，所以Sn取最大值時的n為5。故選B。
答案 B
4．(考向三)(2018·合肥質(zhì)檢)已
18、知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝( )
A．22 018－1 B．32 018－6
C．2 018－ D．2 018－
解析 因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3。當(dāng)n≥2時，3Sn＝2an－3n,3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列，所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，則a2 018＝22 018－1。故選A。
答案 A
5．(考向四)(2018·江蘇高考)已知集合A＝{x|x＝
19、2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N*}。將A∪B的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列{an}。記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為________。
解析 所有的正奇數(shù)和2n(n∈N*)按照從小到大的順序排列構(gòu)成{an}，在數(shù)列{an}中，25前面有16個正奇數(shù)，即a21＝25，a38＝26。當(dāng)n＝1時，S1＝1<12a2＝24，不符合題意；當(dāng)n＝2時，S2＝3<12a3＝36，不符合題意；當(dāng)n＝3時，S3＝6<12a4＝48，不符合題意；當(dāng)n＝4時，S4＝10<12a5＝60，不符合題意；…；當(dāng)n＝26時，S26＝＋＝441＋62＝503<12a27＝516，不符合題意；當(dāng)n＝27時，S27＝＋＝484＋62＝546>12a28＝540，符合題意。故使得Sn>12an＋1成立的n的最小值為27。
答案 27
9
2019高考高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 第三講 數(shù)列學(xué)案 理
